沪科版八年级数学上册 13.2 命题与证明（第4课时） 教案

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第4课时　直角三角形的性质与判定
教学目标 1.引导学生发现直角三角形两个锐角的关系. 2.掌握直角三角形的判定 3.引导学生用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 教学重难点 重点：直角三角形两个锐角的关系的应用. 难点：用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 教学过程 复习回顾 问题：1.什么样的三角形是直角三角形？ 【学生讨论并回答，老师引出】 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 其中，构成直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边. 2. 直角三角形有什么性质呢？ 探究新知 一、直角三角形的性质 探究：如图，在Rt△中，∠C＝90 那么两锐角的度数之和为多少 【学生分组讨论】 在Rt△ABC中，因为∠C＝90 由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C＝90°， 即∠A +∠B＝90. 【老师总结】直角三角形的性质（推论1）：直角三角形的两锐角互余． 应用格式：在Rt△ABC 中， ∵　∠C＝90°， ∴　∠A+∠B＝90°． 说明：直角三角形可以用符号“Rt△”表示. 如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC． 例1 如图，∠C＝∠D＝90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ 解：在Rt△ACE中， ∠CAE＝90°-∠∠AEC. 在Rt△BDE中,∠DBE＝90°-∠∠BED. ∵ ∠AEC＝∠BED， ∴ ∠CAE＝∠DBE. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 二、直角三角形的判定 思考：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 【学生分组讨论】 如图，在△ABC中， ∠A +∠B＝90°， 又因为 ∠A +∠B +∠C＝180°， 所以∠C＝90°. 于是△ABC是直角三角形. 【老师总结】直角三角形的判定（推论2）：有两个角互余的三角形是直角三角形． 例2 如图，在△ 中，∠＝90°，∠＝∠. 求证：△ 是直角三角形. 分析：要证△是直角三角形，可证明∠ ∠ . 在△中，已知∠＝90°，∠＝∠，易证△是直角三角形. 证明：∵ ∠＝90°， ∴ ∠+∠＝90°. ∵ ∠∠∠， ∴ ∠+∠ ＝90°， ∴ △ 是直角三角形. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 例3 如图，在△中，是边上的高，是上一点， 交于点，且∠＝∠. 求证：△ 是直角三角形. 分析：要证△是直角三角形，只要证明∠ ∠即可. 证明：∵ 是边上的高， ∴ ∠ ∠. 又∵ ∠∠∠，∠ ＝∠， ∴ ∠+∠＝＝90°， ∴ △ 是直角三角形. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 课堂练习 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A-∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C 3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 4.在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数分别为　 度. 5.在△中，⊥于，是∠的平分线，∠，∠，求： （1）∠的度数； （2）∠的度数． 参考答案 1.B 2.D 3.C 4.18 5. 解：（1）∵ ⊥，∴ ∠=＝90°. ∵∠＝60°，∴ ∠=＝90°-∠=＝90°-60°＝30°. （2）∵ ∠＝20°，∠＝60°，∠+∠+∠=＝180°， ∴ ∠=＝100°. ∵ 是∠的平分线，∴ ∠＝∠＝50°， ∴ ∠＝∠+∠＝20°+50°＝70°，∠＝90°-70°＝20°． 课堂小结 布置作业 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A＝∠C，求证：△ABD是直角三角形. 板书设计 直角三角形的性质与判定 1.推论1：直角三角形的两锐角互余. 2.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形．