沪科版八年级数学上册 13.2 命题与证明（第5课时） 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学上册 13.2 命题与证明（第5课时） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 728.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-08 07:31:22 | ||
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文档简介
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第5课时 三角形的外角
教学目标 1.引导学生理解三角形的外角的概念. 2.使学生掌握三角形外角的性质. 3.让学生灵活运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题. 教学重难点 重点：三角形外角的性质. 难点：运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.． 教学过程 导入新课 三角形的内角和等于180°. 如图，在△中，∠＝45°，∠=＝80°，则∠=＝55°. 如果我们将延长至点，则可以得到一个新角∠ 思考： ∠还是△的内角吗？ 【学生讨论，老师引出新课】 探究新知 一、三角形的外角的概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. 二、三角形的外角的性质 问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 【学生讨论，老师总结】 ∠BCD与∠ACB互补. 问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ 【学生讨论，老师总结】 ∠A+∠B＝∠BCD 问题2：你会证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD＝∠A+∠B. 证明：过C作CE∥AB， ∴∠1＝ ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2＝ ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD＝ ∠1+ ∠2＝ ∠A+ ∠B. 【老师总结】三角形内角和定理的推论3： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD＝∠A+∠B. 例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于90°，∠，∠ 应分别是21°和32°，检验工人量得∠，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？ 解：如图所示，延长交 于点. 因为∠是△ 的一个外角， 所以∠＝∠+∠. 又因为∠ 是△ 的一个外角， 所以∠＝∠+∠. 所以∠＝∠+∠+∠＝90°+21°+32°＝ 143°≠148°. 所以可以断定这个零件不合格. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 探究1： 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小. 解：∵ ∠2＝∠1+∠B, ∴ ∠2＞∠1. 探究2： 如图，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 解：∵∠2＝∠1+∠B, ∠3＝∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 【学生分小组交流，老师总结】 三角形内角和定理的推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 例2 如图，△中，是延长线上一点， 是延长线上一点，是上一点，连接.求证：∠>＞∠. 证明：∵ ∠ 是△ 的一个外角， ∴ ∠＞∠. ∵ ∠是△ 的一个外角， ∴ ∠＞∠， ∴ ∠＞∠. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 三、三角形的外角和 例3 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE＝∠2+∠3， ∠CBF＝∠1+∠3, ∠ACD＝∠1+∠2. 又知∠1+∠2+∠3＝180 °， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2(∠1+∠2+∠3)＝360 °. 你还有其他解法吗？ 【学生分组交流讨论】 解法2：如图，∠BAE+∠1＝180°， ① ∠CBF+∠2＝180°，② ∠ACD+∠3＝180°.③ 又知∠1+∠2+∠3＝180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD+（∠1+∠2+∠3)＝540 °， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°-180°＝360°. 解法3 ：如图所示，过点作射线，使∥. ∵ ∥， ∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠. ∴ ∠+∠+∠ ＝∠+∠+∠. 结论：三角形的外角和等于360°. 课堂练习 1.已知△的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形 2.如图，AB∥CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ） A.26° B.28° C.30° D.32° 3.将一副直角三角尺如图所示放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上， 则∠1 的度数为（ ） A.75° B.65° C.45° D.30° 4.如图，在△中，∠,点延长线上一点，∠，则∠＝ . 5.如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°， 求∠A的度数． 6.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 参考答案 1．B 2．A 3. A 4.70° 5. 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC+∠PCE， ∠PEC＝∠ABE+∠A， ∴∠PEC＝∠BPC-∠PCE＝150°-30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC-∠ABE＝120°-20°＝100°. 6.解：如图，∵ ∠1是△FBE的外角, ∴∠1＝∠B+ ∠E, 同理∠2＝∠A+∠D. 在△CFG中，∠C+∠1+∠2＝180 , ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180 . 课堂小结 布置作业 P83练习 板书设计 三角形的外角 1.三角形外角的概念 2.三角形外角的性质 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 3.三角形的外角和等于360°
13.2 命题与证明
第5课时 三角形的外角
教学目标 1.引导学生理解三角形的外角的概念. 2.使学生掌握三角形外角的性质. 3.让学生灵活运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题. 教学重难点 重点：三角形外角的性质. 难点：运用三角形内角和定理及外角的性质解决相关问题.． 教学过程 导入新课 三角形的内角和等于180°. 如图，在△中，∠＝45°，∠=＝80°，则∠=＝55°. 如果我们将延长至点，则可以得到一个新角∠ 思考： ∠还是△的内角吗？ 【学生讨论，老师引出新课】 探究新知 一、三角形的外角的概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. 二、三角形的外角的性质 问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ 【学生讨论，老师总结】 ∠BCD与∠ACB互补. 问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ 【学生讨论，老师总结】 ∠A+∠B＝∠BCD 问题2：你会证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD＝∠A+∠B. 证明：过C作CE∥AB， ∴∠1＝ ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2＝ ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD＝ ∠1+ ∠2＝ ∠A+ ∠B. 【老师总结】三角形内角和定理的推论3： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴ ∠ACD＝∠A+∠B. 例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于90°，∠，∠ 应分别是21°和32°，检验工人量得∠，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？ 解：如图所示，延长交 于点. 因为∠是△ 的一个外角， 所以∠＝∠+∠. 又因为∠ 是△ 的一个外角， 所以∠＝∠+∠. 所以∠＝∠+∠+∠＝90°+21°+32°＝ 143°≠148°. 所以可以断定这个零件不合格. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 探究1： 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小. 解：∵ ∠2＝∠1+∠B, ∴ ∠2＞∠1. 探究2： 如图，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 解：∵∠2＝∠1+∠B, ∠3＝∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 【学生分小组交流，老师总结】 三角形内角和定理的推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 例2 如图，△中，是延长线上一点， 是延长线上一点，是上一点，连接.求证：∠>＞∠. 证明：∵ ∠ 是△ 的一个外角， ∴ ∠＞∠. ∵ ∠是△ 的一个外角， ∴ ∠＞∠， ∴ ∠＞∠. 教师活动：巡视指导，精讲点拨. 学生活动：学生自己写出过程，小组内交流. 三、三角形的外角和 例3 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE＝∠2+∠3， ∠CBF＝∠1+∠3, ∠ACD＝∠1+∠2. 又知∠1+∠2+∠3＝180 °， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2(∠1+∠2+∠3)＝360 °. 你还有其他解法吗？ 【学生分组交流讨论】 解法2：如图，∠BAE+∠1＝180°， ① ∠CBF+∠2＝180°，② ∠ACD+∠3＝180°.③ 又知∠1+∠2+∠3＝180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD+（∠1+∠2+∠3)＝540 °， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°-180°＝360°. 解法3 ：如图所示，过点作射线，使∥. ∵ ∥， ∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠. ∴ ∠+∠+∠ ＝∠+∠+∠. 结论：三角形的外角和等于360°. 课堂练习 1.已知△的一个外角为50°，则△ABC一定是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形 2.如图，AB∥CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ） A.26° B.28° C.30° D.32° 3.将一副直角三角尺如图所示放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上， 则∠1 的度数为（ ） A.75° B.65° C.45° D.30° 4.如图，在△中，∠,点延长线上一点，∠，则∠＝ . 5.如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°， 求∠A的度数． 6.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 参考答案 1．B 2．A 3. A 4.70° 5. 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC+∠PCE， ∠PEC＝∠ABE+∠A， ∴∠PEC＝∠BPC-∠PCE＝150°-30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC-∠ABE＝120°-20°＝100°. 6.解：如图，∵ ∠1是△FBE的外角, ∴∠1＝∠B+ ∠E, 同理∠2＝∠A+∠D. 在△CFG中，∠C+∠1+∠2＝180 , ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180 . 课堂小结 布置作业 P83练习 板书设计 三角形的外角 1.三角形外角的概念 2.三角形外角的性质 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 3.三角形的外角和等于360°