2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件课后作业练习(word解析版)

4.4探索三角形相似的条件 九年级数学课后作业练习（基础+提升）
【北师大版】
基础
一、单选题
1．将一个三角形的各边都缩小到原来的 后，得到三角形与原三角形（　　）
A．一定不相似 B．不一定相似
C．无法判断是否相似 D．一定相似
2．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形(　　)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞BM，AD=AM，FB=BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交与点N，则以下结论正确的有（　　）
①N是GM的黄金分割点 ②S1=S4③ ．
A．①② B．①③ C．③ D．①②③
二、填空题
6．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，连接DE、EF。若DE∥BC，EF∥AB，则图中共有　 　对相似三角形.
7．已知线段MN＝6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是　 　.
8．已知 中，D是BC上一点，添加一个条件使得 ，则添加的条件可以是　 　．
三、解答题
9．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
10．如图，在△ABC和OACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
11．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．
提升
一、单选题
1．下列命题正确的是（　　）
A．任意两个矩形一定相似
B．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
C．相似图形就是位似图形
D．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
2．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（　　）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
4．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上。下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似。(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
5．如图，AB⊥CB于点B，AC⊥CD于点C，AB=6，AC=10，当CD= 　 　时，△ABC∽△ACD．
6．已知B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝6，则AB的长为　 　.（结果保留根号）
7．如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　 　个．
三、解答题
8．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
9．如图，点 在 的边 上， ，求证： ．
10．如图，已知AD AC＝AB AE，∠DAE＝∠BAC．求证：△DAB∽△EAC．
11．如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过A作 AF⊥DE，垂足为F．△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
答案解析部分
基础
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的 ，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为 ，
∴得到三角形与原三角形一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可判断得到三角形与原三角形一定相似.
2．【答案】A
【解析】【解答】根据黄金比的定义得： ，得 .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据AB=4计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，DC∥AB
∴△ADF∽△EBA∽△ECF
∴有三对.
故答案为：C．
【分析】相似三角形的判定，有两个角对应相等的两个三角形相似。
5．【答案】A
【解析】【解答】因为四边形ABCD是矩形，AM=AD，BM=BF，
所以四边形AMGD，四边形BMNF都是正方形，
所以AM=AD=MG=BC，MB-BF=MN=FN，
因为点M是线段AB的黄金分割点，AM>BM，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故②正确，
所以 ，
所以N是GM的黄金分割点，故①正确，
因为 ，
因为 ，
所以 ，故③错误，
故答案为：A.
【分析】利用矩形的正方形的性质，可证得AM=AD=MG=BC，MB-BF=MN=FN，再根据黄金分割点的定义，可证得AM是MB、AB的比例中项，就可证得S1=S4，可对②作出判断；就可证得MN2=NG GM ，再利用黄金分割点的定义，可对①作出判断；再求出s1与s2的比值，结合MN与GM的比值，可求出GN与GM的比值，可对③作出判断；综上所述，可得出答案。
6．【答案】3
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△EFC.
共有3对相似三角形.
故答案为：3.
【分析】根据平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得出△ADE∽△ABC和△EFC∽△ABC. 再根据相似的传递性，得出△ADE∽△EFC.
7．【答案】（3 －3）cm
【解析】【解答】解：MP= ×6=（3 －3）cm，
故答案为：（3 －3）cm.
【分析】所谓黄金分割点，就是指把一条线段分割成两部分，使较长线段与整个线段的比等于较短线段与较长线段的比的点，根据定义，列出比例式求解即可。
8．【答案】∠B＝∠DAC（本题答案不唯一）
【解析】【解答】添加：∠B＝∠DAC
在△ABC和△DAC中，
∵∠BAC＝∠C，∠B＝∠DAC
∴△ABC∽△DAC
故答案为：∠B＝∠DAC（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法判断即可。
9．【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
10．【答案】添加条件：AB∥CD．
证明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA
∴△ABC∽△CAD．
【解析】【分析】本题的已知条件中已经有 AD⊥CD，AC⊥BC，即∠ADC=∠ACB=90° ，要想使 △ABC∽△CAD， 只需再找一组对应角相等，或夹角两边对应成比例，添加 AB∥CD，利用两直线平行内错角相等，即为∠CAB=∠DCA .
11．【答案】解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，
理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴=
∴，
∴AE=；
②当∠ADE=∠C时，如：2：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴AE=．
∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．
【解析】【分析】画出符合条件的两种情况的图形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
提升
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故A错误；
B、两个相似图形不一定是位似图形，故B错误；
C、如果C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC时，故C错误；
D、有一个锐角相等，再加上一个直角相等，利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据多边形相似的判定、位似图形的定义、黄金分割的定义、三角形相似的判定，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP2=BP×AB，
即 ，故A符合题意，B、C不符合题意；
，故D不符合题意；
故答案为A.
【分析】由于点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，故有AP2=BP×AB，那么 .
3．【答案】B
【解析】解答：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA共5对，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，
∴△ABC≌△CDA，即△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ABC∽△CDA，
∵GE∥BC，AD∥BC，
∴GE∥AD，
∴△BGE∽△BAF，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE．
故选B．
分析：根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，推出△ABC≌△CDA，即可推出△ABC∽△CDA，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似即可推出其它各对三角形相似．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
A、此三角形的三边长分别为：
∵
∴
∴此三角形与是矩形ABC相似，故A符合题意；
B、此三角形的三边长为：
∵
∴，
∴此三角形与△ABC不相似，故B不符合题意；
C、此三角形的三边长为：
∵
∴此三角形与△ABC不相似，故C不符合题意；
D、
∴此三角形是等腰三角形，
∵△ABC不是等腰三角形，
∴此三角形与△ABC不相似，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理分别求出△ABC和各个选项中的三角形的三边长，再利用相似三角形的判定：三边对应成比例的两三角形相似，进行判断，即可得答案。
5．【答案】
【解析】【解答】∵AB⊥CB，AC⊥CD，AB=6，AC=10，
∴∠B=∠ACD=90°，BC=8，
∵△ABC∽△ACD
∴当AB：BC=AC：CD时
∴ ＝ ，
解得CD= ．
【分析】根据已知，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，根据相似三角形的边对应成比例求得CD的长．
6．【答案】
【解析】【解答】解： B是线段AC的黄金分割点，
AC＝6
故答案为：3 －3.
【分析】所谓黄金分割，就是将一条线段一分为二，使较长线段的长与整个线段的长的比等于较小线段的长与较长线段的长的比，据此可得 ，然后将AC=6代入计算即可.
7．【答案】2
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
8．【答案】解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段
【解析】【分析】他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，则x：1.70=0.618，然后解方程即可．
9．【答案】证明：∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴
【解析】【分析】先求出 ，再证明 即可作答。
10．【答案】证明：∵AD AC＝AB AE，
∴ ，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【解析】【分析】 由AD AC＝AB AE，可得∠DAE＝∠BAC，可得∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即得∠DAB＝∠EAC，根据两边对应成比例且夹角相等的两个角的两个三角形相似即证结论.
11．【答案】解：相似．理由如下：
在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△DEC∽△ADF．
【解析】【分析】相似，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断。