2022-2023学年苏科版八年级数学上册第2章轴对称图形 解答专项练习（word,含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第2章轴对称图形》解答专项练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）求证：CD＝BE．
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
3．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
4．如图，在四边形ABCD中，DE垂直平分AB，DF垂直平分BC，垂足分别为E，F．
（1）试说明DA＝DC；
（2）如果∠A＝70°，∠C＝60°，求∠ADC的度数．
5．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．
（1）OD与OE是否相等．请说明理由；
（2）若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于D点，连接AD．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若CD＝3，求BD的长．
7．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是点D，连结CD交OA于点M，交OB于点N．
（1）①若∠AOB＝60°，求∠COD的度数．
②若∠AOB＝n°，则∠COD＝　 　°（用含n的代数式表示）．
（2）若CD＝4，则△PMN的周长为 　 　．
8．如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
9．在△ABC中，AB＝AC，DB为ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
10．如图，在ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：∠ABF＝∠ACF；
（2）若∠BAC＝48°，求∠CFE的度数．
11．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，
连接DE．
（1）求证：∠DEC＝∠DCE；
（2）若AC＝BC，BE＝CE．
①求∠B的度数；
②试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由．
12．如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 　 　，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 　 　，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 　 　．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
15．四边形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD交AB于点E，ED⊥CD于点D，已知∠B＝40°，∠BCD＝70°．
（1）求∠CED的度数；
（2）求证：AD＝AE．
16．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图1中，先画△ABC的高CD，再画出AD的中点E；
（2）在图2中，P是AB与网格线的交点，先画PH⊥AC交AC于点H，再画点P关于AC的对称点Q．
17．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形边长为1，点A、B均在格点上．只用直尺，分别按照下列要求画图．
（1）在图1中，画一个△ABC，使它的面积为3，且点C在格点上；
（2）在图2中，画∠ADB，使得∠ADB＝45°，且点D在格点上；
（3）在图3中，画一个锐角△ABE，使它是轴对称图形，且点E在格点上．
18．如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE．将线段AB分别向两方延长，得到直线FG．
（1）若∠C＝50°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）若∠EAB与∠DBG的平分线交于点P，探索∠APB与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AM、BN分别是∠FAE、∠DBG的平分线，反向延长射线AM、BN交于点Q，直接写出∠AQB与∠1+∠2之间的数量关系．
19．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
（1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 　 　．
（2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
20．已知△ABC中∠BAC＝120°，BC＝26，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB，AC分别交于点D、G．
求：（1）直接写出∠B与∠C的角度之和．
（2）求∠EAF的度数．
（3）求△AEF的周长．
参考答案
1．证明：（1）∵DE∥AC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠5+∠4＝90°，
∴∠5＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）由（1）知，∠4＝∠2，
∴AE＝DE，
∵AD＝AD，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝AE，
∴CD＝AE＝DE＝BE．
2．（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，，
∴∠CBE+∠BCF＝∠ABC+ACB＝＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，
在△FBP和△QBP中，
，
∴△FBP≌△QBP（SAS），
∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
∴∠BFP+∠CEP＝180°，
∵∠CQP+∠BQP＝180°，
∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
，
∴△CQP≌△CEP（AAS），
∴EF＝QP，
∵FP＝EP，
∴△EFP是等腰三角形．
3．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE＝3，
∴DF＝3，
∵AB+AC＝10，
∴△ABC的面积＝
＝
＝15．
4．解：（1）如图，连接DB，
∵DE垂直平分AB，DF垂直平分BC，
∴DA＝DB，DC＝DB，
∴DA＝DC；
（2）∵DA＝DB，∠A＝70°，
∴∠DBA＝∠A＝70°，
∵DC＝DB，∠C＝60°，
∴∠DBC＝∠C＝60°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝130°，
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，
∴∠ADC＝100°．
5．解：（1）OD＝OE，
理由：∵O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD＝OF，OF＝OE，
∴OD＝OE；
（2）连接OA，
∴△ABC的面积＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝AB OD+BC OF+AC OE，
∵OE＝OD＝OF，
∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC） OF＝×30×3＝45．
6．（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE；
（2）解：∵DC＝DE，CD＝3，
∴DE＝3．
∵∠B＝30°，DE⊥AB，
∴BD＝2DE＝6．
7．解：（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD
＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD
＝2（∠AOP+∠BOP）
＝2∠AOB
＝2×60°
＝120°；
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC＝∠AOP，
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD＝∠BOP，
∴∠COP
＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD
＝2（∠AOP+∠BOP）
＝2∠AOB
＝2n°，
故答案为：2n；
（2）∵点C和点P关于OA对称，
∴CM＝PM，
∵点P关于OB对称点是D，
∴DN＝PN，
∵CD＝4，
∴CM+MN+DN＝4，
∴PM+MN+PN＝4，
即△PMN的周长为4，
故答案为：4．
8．（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C；
（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，
∴∠AHB＝∠EFB＝90°．
∴AH∥EF．
∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．
∴∠E＝∠AME．
∴AM＝AE＝2．
∵AB＝AC＝5，
∴CM＝AC﹣CM＝3．
∵AH∥EF，
∴MF＝．
9．解：∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x+2x＝12，解得x＝4，
BC+x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
10．（1）证明：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴CD＝BD，∠ABC＝∠ACB，
∴BF＝CF，
∴∠CBF＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠CBF＝∠ACB﹣∠BCF，
∴∠ABF＝∠ACF；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝48°，
∴∠ABC＝∠ACB＝66°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAC＝42°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝24°，
由（1）得：∠CBF＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠BCF＝24°，
∴∠CFE＝∠CBF+∠BCF＝48°．
11．（1）证明：∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE；
（2）①解：∵AC＝BC，BE＝CE，AE＝AC，
∴∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，
∴∠ACE＝∠AEC＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠B+∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝36°；
②解：AB﹣AC＝BC﹣DE，理由如下：
∵∠DCE＝∠DEC＝36°＝∠B，
∴∠BDE＝72°，
∴∠BED＝72°＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴AB﹣AC＝BC﹣DE．
12．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°，
∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）∠CFD＝∠ABC，理由如下：
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
513．
解：BD∥MF，理由如下：
（1）过点D作DH⊥BC，
∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，AD＝AD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADB＝∠HDB，
又∵∠AMF＝∠CMF，MF⊥DH，
∴∠AMF＝∠ADB，
∵FM∥BD．
（2）BD⊥MF，理由如下：
延长MF交BD于点H，
∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠CME，
∴∠AMF＝∠ABD．
∵∠AFM＝∠BFM，
∴∠BHM＝∠MAB＝90°，
∴MF⊥BD．
（3）如下图：MF⊥BD．
证明方法同理（2）.
14．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
15．解：（1）∵CE平分∠BCD交AB于点E，∠BCD＝70°，
∴∠BCE＝∠DCE＝35°，
∵ED⊥CD于点D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CED＝90°﹣∠DCE＝55°；
（2）过E点作EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE＝35°，∠AEF＝∠B＝40°，
∴∠DEF＝∠CED﹣∠CEF＝55°﹣35°＝20°，
∴∠AED＝∠AEF﹣∠DEF＝20°，
∵AD∥BC，
∴AD∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF＝20°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE．
16．解：（1）如图1中，线段CD，点E即为所求；
（2）如图2中，直线PH，点Q即为所求．
17．解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，∠ADB即为所求；
（3）如图3中，△ABE即为所求．
18．解：（1）∵∠1＝∠CDE+∠C，∠2＝∠CED+∠C，
∴∠1+∠2＝∠CDE+∠C+∠CED+∠C＝180°+∠C＝180°+50°＝230°（三角形的外角定义不相邻的两个内角的和），
故答案为：230；
（2）结论：∠P＝（∠1+∠2）﹣90°．
理由：设∠PAC＝∠PAB＝x，∠PBG＝∠PBD＝y，
∴y＝x+∠P，2y＝2x+∠C（三角形的外角等于不相邻的两个内角的和），
∴2（x+∠P）＝2x+∠C，
∴∠P＝∠C，
∵∠C＝∠1+∠2﹣180°，
∴∠P＝（∠1+∠2）﹣90°；
（3）∵AM平分∠CAF，AP平分∠CAB，
∴∠PAM＝∠CAM+∠CAP＝（∠CAF+∠CAB）＝90°（角平分线的定义），
∴∠Q＝180°﹣∠P＝180°﹣（∠1+∠2）．
19．解：（1）AB＝PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BQO，
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB＝PB，
故答案为：AB＝PB．
（2）存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO＝BQ，
∴∠BOQ＝∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON，
∴∠AOF＝∠FON＝∠BQC，
∴∠BQP＝∠AOB，
∵OA＝PQ，
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB＝PB．
20．解：（1）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝180°﹣120°＝60°；
（2）∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE，
∵FG垂直平分AC，
∴∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝∠B+∠C＝60°，
∴∠EAF＝120°﹣60°＝60°；
（3）∵BC＝26，
∴BE+FE+FC＝26，
∵EB＝AE，AF＝FC，
∴EA+AF+EF＝26，
∴△AEF的周长为26．