专题03 多边形及其内角和
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 认识多边形
1．一个正多边形的内角是135°，这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为（ ）
A．S△ABC＞S△ABD B．S△ABC＝S△ABD
C．S△ABC＜S△ABD D．无法确定
3．一个四边形切掉一个角后变成（ ）
A．四边形 B．五边形
C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形
4．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．等腰梯形 D．平行四边形
考查题型二 多边形的对角线条数
5．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
6．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（ ）
A．n个 B．(n-2) 个 C．(n-3)个 D．（n-1）个
7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（ ）
A．104条 B．90条 C．77条 D．65条
考查题型三 多边形的内角和问题
9．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．一个n边形的内角和为360°，则n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C．D．
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )
A．60° B．65° C．55° D．50°
考查题型四 正多边形的内角和问题
13．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
14．将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
15．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则为
A． B． C． D．
16．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
考查题型五 多边形裁角后的内角和问题
17．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
18．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（ ）.
A． B． C． D．
19．如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C=35°，过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向将它剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大的内角的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
20．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为
A．13 B．14 C．15 D．16
考查题型六 正多边形的外角问题
21．五边形的外角和等于（）
A．180° B．360° C．540° D．720°
22．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
23．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
24．一个正多边形的边长为2，每个外角都为60°，则这个多边形的周长是( )
A．8 B．12 C．16 D．18
考查题型七 多边形的内角和与外角和综合
25．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
26．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
27．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
28．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
29．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
考查题型八 平面镶嵌
30．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
31．用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是正八边形，则另一种正多边形可以是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
32．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正十边形专题03 多边形及其内角和
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 认识多边形
1．一个正多边形的内角是135°，这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【详解】
试题解析：∵内角与外角互为邻补角，
∴正多边形的一个外角是180°-135°=45°，
∵多边形外角和为360°，
∴360°÷45°=8，
则这个多边形是八边形．
故选C.
2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为（ ）
A．S△ABC＞S△ABD B．S△ABC＝S△ABD
C．S△ABC＜S△ABD D．无法确定
【详解】
解：∵S△ABC＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD，
故选：B．
3．一个四边形切掉一个角后变成（ ）
A．四边形 B．五边形
C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形
【详解】
如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
故选D．
4．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．等腰梯形 D．平行四边形
【详解】
A.正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错；
B.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B错；
C. 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错；
D. 平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D正确；
故选D.
考查题型二 多边形的对角线条数
5．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
【详解】
∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n﹣2），
解得：n=10，
这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，
故选：C．
6．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（ ）
A．n个 B．(n-2) 个 C．(n-3)个 D．（n-1）个
【详解】
解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）．
故选B．
7．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【详解】
解：根据题意，得：（n﹣2） 180=360°×2+180°，解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为=14，故选C．
8．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（ ）
A．104条 B．90条 C．77条 D．65条
【详解】
解：，则正多边形的边数是11+2+1=14．
∴这个多边形的对角线共有条．
故选：C．
考查题型三 多边形的内角和问题
9．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），
可得方程180（n﹣2）=1080，
解得：n=8．
故选C．
10．一个n边形的内角和为360°，则n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】
根据n边形的内角和公式，得：
，
解得n=4．
故选：B．
11．下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B． C．D．
【详解】
解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP,CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是( )
A．60° B．65° C．55° D．50°
【详解】
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD（∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠P＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
考查题型四 正多边形的内角和问题
13．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）
A．36° B．42° C．45° D．48°
【详解】
解∶如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3=120°，180°﹣120°=60°，
∵正五边形的每一个内角=（5﹣2） 180°÷5=108°，
∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°=48°．
故选D．
14．将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（ ）
A．74° B．76° C．84° D．86°
【详解】
解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：
15．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则为
A． B． C． D．
【详解】
正方形的内角为
正五边形的内角为
正六边形的内角为
故选D.
16．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
【详解】
解：因为黑色皮块是正五边形，
所以黑色皮块的内角和是（5-2）×180°=540°．故选：B．
考查题型五 多边形裁角后的内角和问题
17．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【详解】
设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180°=1080°，解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．故选：D．
18．如图，已知矩形一条直线将该矩形分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为和则不可能是（ ）.
A． B． C． D．
【详解】
解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，
①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个五边形和三角形，
∴M+N=540°+180°=720°；
②当直线经过一个原来矩形的顶点，
此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，
∴M+N=360°+180°=540°；
③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，
此时矩形分割为两个三角形，
∴M+N=180°+180°=360°．
故选D．
19．如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C=35°，过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向将它剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大的内角的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【详解】
详解：由三角形的内角和，得
∠A=180°-35°-35°=110°，
由四边形的内角和，得
360°-90°-110°-35°=125°，
故选D．
20．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为
A．13 B．14 C．15 D．16
【详解】
解： 减去一个角之后多边形的边数为2340÷180+2=15 ，
所以原多边形的边数为15－1=14．
故选：B．
考查题型六 正多边形的外角问题
21．五边形的外角和等于（）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【详解】
解：五边形的外角和是360°．
故选B．
22．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选B．
23．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
24．一个正多边形的边长为2，每个外角都为60°，则这个多边形的周长是( )
A．8 B．12 C．16 D．18
【详解】
解：由题意得，该正多边形的边数为：360°÷60°=6，
则正多边形为正六边形，
故正六边形的周长为2×6=12．
故选B．
考查题型七 多边形的内角和与外角和综合
25．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
26．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
正多边形的内角和是，
多边形的边数为
多边形的外角和都是，
多边形的每个外角
故选．
27．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【详解】
解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故选：A．
28．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【详解】
设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，内角和为（n－2）180°，
∴（n－2）180=360，解得：n=4．
∴这个多边形是四边形．
故选A．
29．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【详解】
解：∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣135°=45°，
n=360°÷45°=8．
故选C．
考查题型八 平面镶嵌
30．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【详解】
∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，
∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，
∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，
∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，
∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
31．用边长相等的两种正多边形进行密铺，其中一种是正八边形，则另一种正多边形可以是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【详解】
详解：正八边形的每个内角为180° 360°÷8=135°，
A. 正三角形的每个内角60°，得135m+60n=360°，n=6 94m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B. 正四边形的每个内角是90°，得90°+2×135°=360°，所以能铺满；
C. 正五边形每个内角是180° 360°÷5=108°，得108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D. 正六边形的每个内角是120度，得135m+120n=360°，n=3 98m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．
故选：B．
32．能够铺满地面的正多边形组合是（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正十边形
【详解】
A、正三角形和正五边形内角分别为60°、108°，由于60m+108n = 360，得，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，不符合题意；
B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，90m+120n = 360，同理m、n不存在正整数值使之成立，故不能铺满，不符合题意；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，90m+135n = 360，当m=1，n=2时等式成立，符合题意；
D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，108m+144n = 360，同理m、n不存在正整数值使之成立，故不能铺满地面，不符合题意．
故选：C．
