2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定　同步达标测试题（word,含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．下列语句中，不是属于矩形性质的是（　　）
A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等
C．四个内角都是直角 D．两条对角线互相垂直
2．如图矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝3，∠BOC＝120°，则BC＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．
3．如图，矩形4BCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为（　　）
A．5 B．5 C．5 D．4
4．如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）
A． B． C．1 D．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，若OC＝4，AE＝2，则边AB的长是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．6
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAD＝30°，AC＝8，OM⊥BD交BC于点M，则OM的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
8．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，且∠BOC＝120°，AB＝8cm，则AC的长为 　 　．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E在BC上且BE＝2，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，则随着点P的运动，线段MN长的取值范围为 　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P在AD边上，是不与A，D重合的点，过点P分别做AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值是 　 　．
12．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 　 　．
13．在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线交直线AB于点E，BC＝4，AE＝3，则AB的长是 　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，M为斜边AB上一动点，过点M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 　 　．
15．如图，将矩形ABCD的边BC延长至点E，使CE＝BD，联结AE交对角线BD于点F，交边CD于点G，如果∠ADB＝38°，那么∠E的大小为 　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AB＝2，∠ABC＝60°，则四边形AOED的周长为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝4，求MD的长．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在CD上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AD＝10，EF＝3，求OE和CG的长．
19．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠A＝60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF．
（1）求证：四边形PCFD是平行四边形；
（2）当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由；
（3）当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）若菱形ABCD的边长为3，∠BCD＝60°，求AE的长．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
22．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，延长CE至F点，使得CE＝FE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A、矩形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故本选项不符合题意；
C、矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∴BC＝．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝30°+30°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB＝10，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△BOC的中位线，
∴MN＝OB＝5，
故选：B．
4．解：如图，连接CM，
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
由勾股定理得：BD＝＝＝5，
当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
此时，S△BCD＝BD CM＝BC CD，
∴CM＝＝＝，
∴PQ的最小值为，
故选：A．
5．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝4，
∵AE＝2，
∴AE＝EO＝2，
∵BE⊥AC，
∴AB＝BO＝4，
故选：C．
7．解：如图：连接DM
∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AD＝BC，∠BCD＝∠ADC＝90°．
∵∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝4，AD＝BC＝4，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠OCM＝∠CAD＝30°＝∠OBC，
∴∠BOC＝120°
∵OM⊥BD，
∴BM＝DM，∠BOM＝90°，
∴∠MOC＝120°﹣90°＝30°，∠BDM＝∠CBO＝30°，
∴OM＝CM．
∵∠DMC是△BMD的外角，
∴∠DMC＝30°+30°＝60°．
∴DC＝CM．
∴CM＝＝．
∴OM＝．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC CD＝12，故S阴影＝12．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝BO＝OC＝DO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OCB＝30°，
∴AC＝2AB＝2×8＝16cm．
故答案为：16cm．
10．解：连接AP，AC，
在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
由勾股定理得AC＝10，
∵点P在CD上运动，
∴8≤AP≤10，
∵M，N分别是AE，PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN＝AP，
∴4≤MN≤5，
故答案为：4≤MN≤5．
11．解：如图所示，连接OP，
∵AB＝2，AD＝4，
由勾股定理可得BD＝＝2，S△ABD＝AB AD＝×2×4＝4，
在矩形ABCD中，OA＝OD＝OB＝BD＝，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝S△ABD，
∴ OA PE+ OD PF＝×4＝2，
∴PE+PF＝，
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AO＝OC，OG⊥AC，
∴GA＝GC，∠GOC＝90°，
∵∠BOG＝15°，
∴∠COB＝90°﹣15°＝75°，
∴∠OCB＝∠OBC＝×（180°﹣∠COB）＝52.5°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣90°﹣52.5°＝37.5°，
∴∠ACG＝37.5°，
∴∠BCG＝∠OCB﹣∠ACG＝52.5°﹣37.5°＝15°，
故答案为：15°．
13．解：分两种情况：
①当点E在AD的上方时，如图，
则AE＝3，AD＝BC＝4，
∵∠EAD＝90°，
∴DE＝＝＝5，
∵OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝BE﹣AE＝2；
②当点E在AD的下方时，如图，
则AE＝3，AD＝BC＝4，
∵∠EAD＝90°，
∴DE＝＝＝5，
∵OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝AE+BE＝8；
综上所述，AB的长为2或8，
故答案为：2或8．
14．解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB CM＝BC AC，
∴CM的最小值＝＝＝，
∴线段DE的最小值为，
故答案为：．
15．解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠OBC，
∵∠ADB＝38°，
∴∠OBC＝38°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝38°，
∵CE＝BD，AC＝BD，
AC＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠E+CAE＝OCB＝38°，
∴E＝38°＝19°，
故答案为：19°．
16．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝2，OA＝OC，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴平行四边形ODEC是矩形，
∴DE＝OC，
∴DE＝OA，
又∵DE∥AC，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴AD＝OE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴DE＝OA＝AC＝1，
∴平行四边形AOED的周长＝2（AD+OA）＝2×（2+1）＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：（1）∵MN是BD的垂直平分线，
∴MB＝MD，∠MOD＝∠BON＝90°，OB＝OD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥MC．
∴∠1＝∠2．
在△MOD和△NOB中
，
∴△MOD≌△NOB（ASA）．
∴OM＝ON．
∵OB＝OD，
∴四边形MBND是平行四边形．
∵MB＝MD，
∴四边形MBND是菱形．
（2）设MD＝MB＝x，则AM＝AD﹣MD＝4﹣x．
∵AM2＝BM2﹣AM2，
∴32＝x2﹣（4﹣x）2．
解得x＝．
∴MD的长为．
18．（1）证明：∵点 O 为菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点，点 E 为边AD的中点，
∴OE∥CD，
∴OE∥GF，
∵OG∥EF，
∴四边形OGFE为平行四边形，
又EF⊥DC，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OGFE为矩形；
（2）解：∵AD＝10，EF＝3，
∴CD＝AD＝10，
∴OE＝GF＝AD＝5，
∵四边形ABCD为菱形，点E为BC中点，
∴DE＝AD＝5，
在Rt△EFD中，FD＝＝4，
∴CG＝CD﹣GF﹣DF＝10﹣5﹣4＝1．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＝∠CPE，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
在△DFE和△CPE中，
，
∴△DFE≌△CPE（ASA），
∴FE＝PE，
∴四边形PCFD是平行四边形；
（2）解：当BP＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下：
如图，过B作BM⊥AD于M，
∵∠A＝60°，AB＝3，
∴AM＝AB＝1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，
∵AE＝3.5，
∴CP＝1.5＝AM，
在△MBA和△PDC中，
，
∴△MBA≌△PDC（SAS），
∴∠DPC＝∠BMA＝90°，
∵四边形PCFD是平行四边形，
∴平行四边形PCFD是矩形，
故答案为：3.5；
（3）解：当BP＝2时，四边形PCFD是菱形，理由如下：
∵BC＝5，BP＝2，
∴CP＝3，
∵CD＝3，∠DCP＝∠A＝60°，
∴△DCP是等边三角形，
∴DP＝CP，
∵四边形PCFD是平行四边形，
∴平行四边形PCFD是菱形．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
∴∠DOC＝90°，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE＝OC，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝3，
∴OD＝OB＝，
∴OC＝，
∴AC＝2OC＝3，
由（1）得：四边形OCED为矩形，
∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝，
故AE的长为：．
21．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝BD＝．
22．（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEC，CE＝FE，
∴△AFE≌△DCE（SAS），
∴AF＝CD，∠AFE＝∠DCE，
∴AF∥CD，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形；
（2）证明：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB＝90°．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形．