2.5一元二次方程根与系数的关系 同步练习题 2022-2023学年北师大版九年级数学上册 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
1．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0
2．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
3．已知x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）
A． B． C． D．
4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3＝0的两根为α与β，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．关于x的一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．10
7．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣x+＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2+x+2＝0 D．x2+2x＝0
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
9．已知关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，则b+c的值是（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．﹣14 D．﹣2
10．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（　　）
A．1 B． C． D．
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为　 　．
12．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x1+x2＝　 　．
13．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　 　．
14．已知方程2x2﹣x﹣3＝0的两根为x1，x2，那么+的值是　 　．
15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个实数根，且x12+x22＝5，则a＝　 　．
16．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为　 　．
17．若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．
18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是 　 　．
19．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是 　 　．
20．若关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝　 　．
21．已知a，b分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则a2﹣3a﹣5b＝　 　．
22．关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0的两实根为x1，x2，且x12+x22＝3k2，则k＝　 　．
23．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若+＝36求m的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
26．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
27．已知关于x的一元二次方程（b﹣c）x2﹣2ax+（c+b）＝0．其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：D．
2．解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2＝0．
故选：D．
3．解：∵x1、x2是一元二次方程3x2＝6﹣2x的两根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1 x2＝＝﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2＝﹣﹣（﹣2）＝．
故选：D．
4．解：根据题意得α+β＝3，αβ＝﹣3，
所以＝＝＝﹣1．
故选：A．
5．解：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
6．解：根据题意得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣4）＝12．
故选：C．
7．解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
C．∵Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
D．∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
8．解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
9．解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝3，
∴﹣2+3＝﹣，﹣2×3＝，
∴b＝﹣2，c＝﹣12，
∴b+c＝﹣2﹣12＝﹣14，
故选：C．
10．解：设方程的另一个根为x2，则根据题意，得2x2＝﹣3，
解得x2＝﹣，
所以这个方程的另一个根是﹣，
故选：D．
11．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1．
故答案为1．
12．解：x1+x2＝﹣＝．
故答案为．
13．解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β＝3，αβ＝﹣4
∴α+β﹣αβ
＝3﹣（﹣4）
＝7．
故答案为：7
14．解：∵x1，x2是方程2x2﹣x﹣3＝0的两根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝﹣，
∴+＝＝﹣．
故答案为：﹣．
15．解：根据题意得：
Δ＝9﹣4a≥0，
解得：a，
x1+x2＝3，x1x2＝a，
x12+x22
＝﹣2x1x2
＝9﹣2a
＝5，
解得：a＝2（符合题意），
故答案为：2．
16．解：根据题意得，Δ＝（2k+1）2﹣4k2
＝4k+1≥0，
∴k≥，
故答案为：k≥
17．解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4
18．解：由已知得：m≠0且Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m2＝16m+16＞0，
则m的范围为m≠0且m＞﹣1，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，
∵x1+x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2，
故答案为2．
19．解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
20．解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝．
故答案为：．
21．解：∵a为一元二次方程x2+2x﹣2011＝0的根，
∴a2+2a﹣2011＝0，
∴a2+2a＝2011，
∵a，b分别为一元二次方程x2+2x﹣2011＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，
∴a2﹣3a﹣5b＝a2+2a﹣5（a+b）＝2011﹣5×（﹣2）＝2021．
故答案为2021．
22．解：由根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1 x2＝k，
∵方程两实根满足x12+x22＝3k2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝3k2，
∴12﹣2k＝3k2，
解得：k＝或﹣1，
当k＝时，方程为x2﹣x+＝0，Δ＝12﹣4×1×＝﹣＜0，此方程无解，
当k＝﹣1时，方程为x2﹣x﹣1＝0，此方程有解，
故答案为：﹣1．
23．（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣9）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1+x2＝2m，，
∴+＝＝4m2﹣2m2+18＝36，
化简，得2m2＝18，
解得m＝3或m＝﹣3．
24．（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数解为a、b，
根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴16k2﹣4×3k2＝9，
即k2＝，
解得k1＝，k2＝﹣．
故k的值为或﹣．
25．（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）
＝k2+2k+1﹣8k+12
＝k2﹣6k+13
＝（k﹣3）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，
x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解为3，
∴9﹣3（k+1）+2k﹣3＝0，
解得：k＝3，
当AB＝3为底时，则AC，BC为腰，
方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，
由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；
综上所述，k＝3．
26．解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）存在．
根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，
∵α2+β2﹣αβ＝6，
∴（α+β）2﹣3αβ＝6，
即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，
整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
27．解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵x＝1是一元二次方程（b﹣c）x2﹣2ax+（b+c）＝0的根，
∴（b﹣c）﹣2a+（b+c）＝0，
∴a＝b，
∵b﹣c≠0，
∴b≠c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴（﹣2a）2﹣4（b﹣c）（b+c）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形．