23.1图形的旋转同步练习 2022-2023学年人教版数学九年级上册（Word版含答案）

23.1图形的旋转同步练习
一、单选题
1．下列现象中属于旋转的是（ ）
A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头
C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降
2．如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，， 将绕点逆时针旋转得到，其中点与 点是对应点，且点在同一条直线上；则的长为( )
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（　　　）
A．AB=DB B．∠CBD=80° C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE
8．如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)
9．将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上，若，，则CD的长为（ ）.
A． B． C． D．1
11．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．如图，点A，B的坐标分别为（1，1）、（3，2），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则B'点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（－1，2） C．（0，2） D．（0，3）
二、填空题
13．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
14．如图，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，使得点B′、A、C在同一条直线上，则α等于_____°．
15．将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若点E的坐标为，则点G的坐标为_____．
16．如图，在中，，，，为内一点，则的最小值为__________．
17．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
18．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．
三、解答题
19．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．
（1）证明：AHB≌AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．
20．如图1，直线与x，y轴分别相交于A、B两点．将绕点O逆时针旋转90°得到，过点A，B，D的抛物线P叫做直线l的关联抛物线，直线l叫做P的关联直线．
(1)若直线，则抛物线P表示的函数解析式为______，若抛物线，则直线l表示的函数解析式为______；
(2)如图2，若直线，G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，连接OM，已知．求直线l的关联抛物线P表示的函数解析式；
(3)若将某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，则a、m、n应满足的关系式为______．
21．问题发现：如图1，如果△ACB和△CDE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
(1)如图1，请直接写出AD与BE的数量关系为________；
(2)如图1，求∠AEB的度数；
(3)拓展：如图2，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路：
思路一：延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，等量代换得到AC＝BC＋CD．
思路二：将△ABC绕着点A逆时针旋转60°至△ADF，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，等量代换得到AC＝BC＋CD．
请选择一种思路，作出图形并写出证明过程．
22．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形.
参考答案
1--10BABAC ACBCD 11--12BD
13．689
14．105°
15．或
16．
17．
18．4
19．（1）证明：如图1，
由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，
∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG=∠AEH=45°，
∴∠HFG=45°+45°=90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ=QG时，
∵AQ=QG，
∴∠QAG=∠AGQ，
∵AG⊥AH且AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH=45°，
∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，
∴∠EAH=∠FAH=45°，
∵AE=AF，AH=AH，
∴△AEH≌△AFH（SAS），
∴∠AHE=∠AHF，
∵∠AHE+∠AHF=180°，
∴∠AHE=∠AHF=90°；
ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，
∵∠AEH=∠AGQ=45°，
∴∠GAQ=∠AQG==67.5°，
∵∠EAQ=∠HAG=90°，
∴∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠AHE=∠AQG=67.5°；
∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），
∴不存在AG=AQ的情况．
综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．
20．（1）解：∵，当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，∴A（1，0），B（0，2），根据旋转的全等性质，得到OD=0B=2，∴D（-2，0）．设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+2)，把B的坐标代入解析式，得2=-2a，解得a=-1，∴；∵，∴，解得，∴A（1，0），D（-4，0），根据旋转性质，得到OB=OD=4，∴B（0，4）．设直线的解析式为y=kx+4，把点A的坐标代入，得k+4=0，解得k=-4，∴y=-4x+4，故答案为：；．
（2）解：∵，∴A（4，0），B（0，-4t），根据旋转的全等性质，得到OD=OB=|-4t|= -4t，∴D（4t，0），∵G为AB中点，H为CD的中点，连接GH，取GH中点M，∴G（2，-2t），H（2t，2），M（t+1，1-t），根据勾股定理，得到，解得t=-2，t=2（舍去），故t=-2，∴A（4，0），B（0，8），D（-8，0），设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+8)，把B的坐标代入解析式，得8=-32a，解得a=，∴．
（3）解：∵某直线的关联抛物线向右平移个单位得到抛物线，∴将向左平移个单位得到关联抛物线，∴，∵＞0，∴m＜0，∴点A（m+n，0），D（2m，0），B（0，-2m），解得a(m+n)=-1，故答案为：a(m+n)=-1．
21．（1）解：∵和均为等边三角形，∴，，，∴∴，在和中，，∴，∴；故答案为：
（2）由（1）知，，∴，又，∴；
（3）如图：将绕着点逆时针旋转,至△ADF． ∵∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADF+∠ADC＝180°，即：C,D,F三点共线，由旋转的性质得：，又∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴
22．（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；
（2）证明：如图2，连接AD
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AF=CF＝AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF=CF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CFD和Rt△ABC中
∴Rt△CFD≌Rt△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．