人教版九年级数学上册：第21章《一元二次方程》综合测试题（word、含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册
第21章《一元二次方程》综合测试题
一、单选题(共36分)
1．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4
2．已知x＝﹣1是一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的解，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（　　）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
4．已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
5．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
6．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
7．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2
8．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
9．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
11．有一个人患了流感，经过两轮后共有121个人患了流感，如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后总共传染的人数是（　　　）
A．1331 B．1000 C．1728 D．1111
12．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
二、填空题(共18分)
13．关于x的方程是一元二次方程，则________．
14．若a是方程的一个根，则代数式的值为________．
15．关于x的方程（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为_______．
16．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
17．某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为______元．
18．某地区加大教育投入，2021年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2023年，教育经费投入为2420万元，则该地区教育经费投入年平均增长率为______．
三、解答题(共66分)
19．(本题8分)解方程：
(1)；
(2)；
20．(本题9分)已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求m的值．
21．(本题9分)已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数的值．
22．(本题9分)如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
23．(本题10分)建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
24．(本题9分)我们知道：
；
，
这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当取不同的实数时，求代数式的最小值．
（2）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
25．(本题12分)如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝　 s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．D
解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
2．C
把x＝﹣1代入一元二次方程x2﹣x﹣m＝0，再求解即可．
3．B
解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．
故选：B．
4．B
∵a是方程的一个解，
∴有，即，，
∴，
故选：B．
5．A
把x=m代入，可得，进而即可求解．
6．B
解：∵一元二次方程的两根分别记为，，
∴+=2，
∵，
∴=3，
∴·=-a=-3，
∴a=3，
∴．
7．B
解：∵分式的值为0，
∴
解得，
故选：B
8．D
解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
9．B
解：方程根的判别式为，
方程根的判别式为，
所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误；
若两个方程都有实数根，
设方程的一个实数根为，则，即，
，
，
，
将代入方程的左边得：，
即是方程的根，
所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确；
将代入方程的左边得：，
即不是方程的根，选项C错误；
将代入方程的左边得：
，
则只有当时，才是方程的根，
所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误；
故选：B．
10．B
根据题意可得再解不等式组，从而可得答案；
11．A
设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮共有121人患了流感，列方程求解，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
12．A
根据利润和售价建立一元二次方程组，得到，解方程组得到售价，最后对售价的合理性进行判断即可得到最终的答案．
13．
解： 关于x的方程是一元二次方程，
由①得：
由②得：
所以
故答案为：
14．2019
解：∵a是方程一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：2019．
15．5
解：是该方程的根，
，
等式两边同时除以m得，，
．
故答案为：5．
16．1
解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
17．50
解：设商场对这种台灯的售价为x元，由题意得：
，
解得：，
由从消费者的角度考虑，可得这种台灯的售价应为50元；
故答案为50．
18．10%
解：设年平均增长率为x，由题意可得：2000(1+x)2=2420，
解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）．
所以2021年到2023年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．
19．
(1)
解：（x+1）2=4x，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x-1=0，
解得：x1=x2=1．
(2)
（x+4）2=5（x+4），
∴（x+4）2-5（x+4）=0，
∴（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0，x+4-5=0，
解得：x1=-4，x2=1．
20．
（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得∶且；
（2）解：关于的一元二次方程mx -2x-1=0有两个不相等的实数根,，，，，即， 即， 解得∶，经检验，都是分式方程的解， m>-1且m≠0，.m的值为4．
21．
（1）证明：，∵ ≥0，∴方程总有两个实数根；
（2）解：，∴（x-1）（x-m-2）=0，∴x1=1，x2=m+2，∵方程两个根的差是2，∴若，则；若，则．∴实数的值为1或．
22．
解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
23．
（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意得：，解这个方程得，，，经检验，符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，由题意得：，解得．∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
24．
解：（1）∵，
∴当时，代数式存在最小值为-4；
（2）设长方形的面积为，
根据题意得：，
则时，存在最大值，最大值为9．
25
解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵CQ＝1cm，AP＝2cm，
∴AB＝6﹣2＝4（cm）．
∴S＝（cm2）．
答：四边形BCQP面积是5cm2；
（2）如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t（cm），
∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝9，
解得：t＝．
如图2，作PE⊥CD于E，
∴∠PEQ＝90°．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．
∵CQ＝t，
∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
（3t﹣6）2+4＝9，
解得：t＝．
综上所述：t＝或；
（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
解得：t＝．
如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，
∴DE＝QE＝DQ，∠PED＝90°．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APED是矩形，
∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，
∵DQ＝6﹣t，
∴DE＝ ．
∴2t＝，
解得：t＝；
如图5，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得
4+4t2＝（6﹣t）2，
解得t1＝，t2＝（舍去）．
综上所述：t＝或或或．
故答案为：或或或．
答案第1页，共2页
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