人教版九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
数学人教版九年级上册
教学目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）
复习引入
ax2+bx+c=0 (a≠0)
一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x是自变量,a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
列表、描点、连线
2.通常怎样画一个函数的图象？
1.二次函数是如何定义的？
3.二次函数的图象是什么形状呢？
结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法。我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质。
探究归纳
例1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
2. 描点：根据表中x, y的数值在坐标平面中描点（x, y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
归纳总结
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
o
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
学以致用
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
试一试
根据你学习函数图象性质的经验，与同桌讨论二次函数y=x2的图象有哪些性质.
y=x2
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最低点．
试一试
二次函数y=-x2的图象呢？
1.y＝-x2是一条抛物线;
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图象有最高点．
y=-x2
知识归纳
3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
2. 图像关于y轴对称;
1. 顶点都在原点;
二次函数y=ax2 的图象性质：
交流讨论
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
归纳总结
二次函数y=ax2 的图象性质：
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.
例题讲解
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
解：列表，再画出它们的图象，如图：
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
例题讲解
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-4.5
-8
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
总结：
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
知识梳理
例题讲解
例3 填一填
(1) 函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
(2) 函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ， 顶点是抛物线的最 点；
(3) 函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点坐标是 ;顶点是抛物线的最 点;
(4) 函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是___,顶点是 .
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
高
向上
y轴
(0,0)
低
向下
y轴
(0,0)
例题讲解
例4 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.
m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
解: 依题意有:
例题讲解
例5 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
<
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
方法总结
巩固训练
1. 函数y=2x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2. 函数y=-3x2的图象的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向下
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
向上
y轴
巩固训练
3. 若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
（4） 若A（x1, y1),B(x2, y2)在这条抛物线上，且x1< x2<0,
则y1 y2.
2
y轴
向上
上
>
（0,0 ）
小
巩固训练
4. 已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
巩固训练
5. 如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，C点在y轴上，
求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ×4·CO＝8，S△BOC＝ ·CO×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
二次函数y=ax2的图象及性质
画 法
轴对称图形
以对称轴为中心对称取点
性 质
课堂小结
描点法
描点法
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
图 象
增减性