2022—2023学年北师大版数学九年级上册2.4用因式分解法求解一元二次方程 同步复习小测（word,含解析）

2.4用因式分解法求解一元次方程---九年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝0
C．x＝0 D．x1＝1，x2＝0
2．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(　　)
A．4.8 B．10 C．12 D．8或10
3．方程x（x﹣3）+x﹣3=0的解是（　　）
A．3 B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣1
4．方程 的根是（　　）
A． B．
C． D．
5．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2-13x+36 =0的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是(　　)
A．13 B．18 C．22 D．26
二、填空题
6．方程（x-2）（2x-1）=0的解为　 　.
7．一元二次方程 的解为　 　．
8．若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是　 　 .
9．一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长等于　 　.
10．已知x＝﹣2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4，当x＝　 　时，这个二次三项式的值等于﹣1.
三、计算题
11．解下列一元二次方程：
（1）
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x
（3）2x2﹣x﹣1=0（配方法）
（4）
12．解方程：
四、解答题
13．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，求该等腰三角形的周长.
14．解关于x的一元二次方程 ，其中m是满足不等式组 的整数．
15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，求m的值．
【能力提升】
一、单选题
1．方程x2=3x的解为（　　）
A．x=0 B．x=3 C．x1=0，x2=-3 D．x1=0，x2=3
2．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三 层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于（　　）
A．n=6 B．n=8 C．n=11 D．n=13
3．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 的根，则该三角形的周长是（　　）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
4．一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（　　）.
A．0 B．5 C．0和5 D．0和﹣5
5．对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a﹣b，如：f（2，3）=22+5×2﹣3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（　　）
A．1或﹣6 B．﹣1或6 C．﹣5或1 D．5或﹣1
二、填空题
6．已知3，a，4，b，5这五个数据，其中a，b是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则这五个数据的标准差是　 　．
7．方程 的解是　 　.
8．若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是　 　．
9．一元二次方程x（x+2）＝x的根为　 　.
10．方程x 2-5x-6=0的解是　 　．
三、计算题
11．解方程：X2-2x-3=0
四、解答题
12．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．
【基础复习答案】
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ，
故答案为：B．
【分析】先求出，再计算求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：解方程 得
， ，
①等腰三角形的三边是2，2，4
，
不符合三角形三边关系定理，不符合题意，舍去；
②等腰三角形的三边是2，4，4，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 ；
即等腰三角形的周长是10.
故答案为：B.
【分析】先解方程，即可得出三角形的边长，再求周长即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：x（x﹣3）+x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0，x+1=0，
x1=3，x2=﹣1，
故答案为：D
【分析】将x-3看着整体，将方程的左边分解因式，再将方程转化为x﹣3=0，x+1=0，然后解方程可求解。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： x2-13x+36 =0，
∴（x-4）（x-9）=0，
∴x1,=4，x2=9，
∴5＜第三边＜13，
∴18＜三角形周长＜26，
∴选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，从而求出三角形周长的取值范围，逐项进行判断，即可求解.
6．【答案】x1=2，x2=
【解析】【解答】解：（x-2）（2x-1）=0
∴x-2=0，2x-1=0，
x1= ，x2=2，
故答案为：2和 .
【分析】根据两个因式的积为0，这两个因式至少有一个为0可得关于x的两个一元一次方程，解方程即可求解。
7．【答案】x= 或x=2
【解析】【解答】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,
故答案为:x= 或x=2．
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
8．【答案】
【解析】【解答】 ,
或
解得： （舍去），
第三边的长为： ，
三角形的周长为：
故答案为：
【分析】用十字相乘法可解一元二次方程，根据边长不能为负可得第三边的长，由三角形的周长=边长+边长+边长可求解。
9．【答案】13
【解析】【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x1＝2，x2＝4，
当第三边长是2时，2+3＜6不满足三角形的三边关系，应舍去；
当第三边长是4时，能构成三角形，周长是3+6+4＝13.
故答案为：13.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为x1＝2，x2＝4，然后分：当第三边长是2时与当第三边长是4时两种情况，分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案。
10．【答案】﹣1或﹣5
【解析】【解答】解：由时，代数式的值等于，可得，
解得：
∴二次三项式为
令二次三项式的值为得：
移项得：
∴
解得，
故答案为：或.
【分析】由于当x＝ 2时，代数式的值等于 4，故把x＝ 2代入代数式之后可得到关于m的方程，进而求出m的值；再令代数式的值等于 1，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程，就可以求出对应的x的值．
11．【答案】（1）解： ，
方程变形得：x2-6x=6，
配方得：x2-6x+9=6+9，即（x-3）2=15，
开方得：x-3=± ，
解得：x1= ，x2= ；
（2）解：3x（x﹣1）=2﹣2x，
移项得：3x（x﹣1）+ 2（x﹣1）=0，
方程分解得：（x﹣1）（3x+2）=0，
所以x-1=0或3x+2=0，
解得：x1=1，x2=- ；
（3）解：2x2﹣x﹣1=0，
方程变形得：x2- x= ，
配方得：x2- x+ = + ，即（x- ）2= ，
开方得：x- =± ，
解得：x1=1，x2= ；
（4）解： ，
移项得：2（x+3）2- x（x+3）=0，
方程分解得：（x+3）（2x+6-x）=0，
所以x+3=0或x+6=0，
解得：x1=-3，x2=-6.
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）由题意先移项，观察方程可知有公因式（x-1），提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个方程可求解；
（3）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（4）由题意先移项，观察方程可知有公因式（x+3），提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个方程可求解.
12．【答案】解： ，
移项合并同类项得： ，
分解因式得： ，
即：x+3=0或x-1=0，
∴x1=-3，x2=1．
【解析】【分析】先将方程化成一般式，再利用十字相乘法求解即可。
13．【答案】解： ，
，
则 或 ，
解得 或 ，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为 .
该等腰三角形的周长是15.
【解析】【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，然后分两种情况讨论，即当3是腰时和当6是腰时，先根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，然后求其周长即可.
14．【答案】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组 解集是： ，
整数m的值为0或1；
将 整理得： ，
又∵ 是关于 的一元二次方程，
，
即 ，
，
关于x的一元二次方程是 ，
即 ，
或 ，
∴ ， ．
【解析】【分析】先求出不等式组 解集是： ， 再求出 整数m的值为0或1 ，最后计算求解即可。
15．【答案】解：由题意，得：m2﹣3m+2=0①，m﹣1≠0②，
解①得：m=2或1；解②得：m≠1，∴m=2．
【解析】【分析】常数项为0，即m2﹣3m+2=0，再根据方程是一元二次方程，须满足m﹣1≠0，问题可求．
【能力提升答案】
1．【答案】D
【解析】【解答】解： x2=3x，
∴x2-3x =0，
∴x（x-3）=0，
∴x1=0，x2=3.
故答案为：D.
【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用因式分解法把方程化成x（x-3）=0的形式，即可求出方程的解.
2．【答案】C
【解析】【解答】观察图形，由题意可得：
第一层的点的个数为：1个；
第二层的点的个数为：6=1×6（个）；
第三层的点的个数为：6+6=2×6（个）；
第四层的点的个数为：6+6+6=3×6（个）；
……；
第n层的点的个数为：(n-1)×6（个），其中 且n为整数；
∴前n层的点的总个数为： 由 解得 （不合题意，舍去）.
故答案为：C
【分析】此题是探寻图形规律的题，首先分别找出前几层中点的数量，然后将这个数量用表示层数的序号的式子表示出来，从而发现规律，利用发现的规律即可得出第n层中点的数量，然后求出前n层的点的总个数为：1+1×6+2×6+3×6+ 6×(n 1)=1+6×[1+2+3+ +(n 1) ]=1+×6= 3n2 3n+1，从而列出方程，利用因式分解法，即可解方程得出n的值。
3．【答案】B
【解析】【解答】x2-4x+3=0
(x 3)(x 1)=0，
x 3=0或x 1=0，
所以x =3，x =1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7.
故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】先解方程x2-4x+3=0求出其解，然后分腰为3、底为1和腰为1、底为3，再结合三角形的三边关系求出三角形的周长.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝0，x2＝5，
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法求解可得．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得x2+5x﹣2=4，
整理得x2+5x﹣6=0，
（x+6）（x﹣1）=0，
x+6=0或x﹣1=0，
所以x1=﹣6，x2=1．
故选A．
【分析】根据新定义得到x2+5x﹣2=4，整理得x2+5x﹣6=0，然后利用因式分解法解方程．
6．【答案】
【解析】【解答】解：由方程x2﹣3x+2＝0
解方程的两个根是1，2，即a＝1，b＝2
故这组数据是3，1，4，2，5
其平均数 （3+1+4+2+5）＝3
方差S2＝ [（3﹣3）2+（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2]＝2
故五个数据的标准差是S＝ ＝
故本题答案为： ．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3x+2＝0，求出a,b的值，从而得出这组数据，再算出这组数据的平均数，方差，最后求出其方差的算术平方根即可。
7．【答案】x1＝2，x2＝1
【解析】【解答】解： ，
，
，
∴x 2＝0或x 1＝0，
∴x1＝2，x2＝1，
故答案为x1＝2，x2＝1.
【分析】对原方程进行因式分解可得(x-2)(x-1)=0，求解就可得到x的值.
8．【答案】1或-
【解析】【解答】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0，
解得：x=1或x=- ，
故答案为：1或-
【分析】由代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，利用两式互为相反数，则这两式之和为0，建立一元二次方程，利用因式分解法解答。
9．【答案】
【解析】【解答】解：x（x+2）＝x
，
解得 ，
故答案为： .
【分析】对原方程因式分解可得x(x+2-1)=0，据此求解.
10．【答案】6和-1．
【解析】【解答】
【分析】方程左边可分解因式，方程右边为0，因此用因式分解法解此方程。
11．【答案】解 ：（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0 x+1=0 ,
∴x1=3 , x2=-1 .
【解析】【分析】利用因式分解法将方程的左边分解成两个因式的积，然后根据两个因式的积等于零，则这两个因式因式中至少有一个为零，从而将方程降次求解即可。
12．【答案】解：如方程x2+5x+6=0，
（x+2）（x+3）=0，
∴x1=﹣2，x2=﹣3，
小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．
则x=
x=2和x=3，
这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，
故小红的结论是错误的．
【解析】【分析】假设一个一元二次方程，应用因式分解法求得方程的解，然后再根据小红的求根公式求得，看是否一致即可．