第11章 三角形 小结 课件(共34张PPT)

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人教版 九年级上册
第11章 三角形 小结
　　 请回答下列问题：
(1)三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
　　
三角形两边的和大于第三边.
三角形两边的差小于第三边.
三角形两边的差
第三边
三角形两边的和
＜
＜
两点之间，线段最短.
这个结论的依据是线段公理：
　　
　　 请回答下列问题：
(2)三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？
三角形三个内角的和等于180°.
这个结论的证明是通过添加辅助线，利用
平行线的性质与平角的定义给予证明的.
E
D
C
B
A
C
B
A
C
B
A
D
D
　　 请回答下列问题：
(3) 直角三角形的两个锐角之间有怎样的关系？
　　
直角三角形的两个锐角互余.
C
A
B
在Rt△ABC 中，
∵∠C =90°，
∴∠A ＋∠B =90°．　　
　　 请回答下列问题：
(4) 三角形的一个外角和它不相邻的两个内角之间有怎样的关系？这个结论能由三角形内角和定理得出吗？
　　
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
A
B
C
D
∠A ＋∠B ．
∠ACD=
　　请回答下列问题：
(5) n 边形的n 个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？
n边形内角和等于 (n－2)·180°
推出这个结论的方法是将多边形分割为三角形.
　　请回答下列问题：
(6)n 边形的外角和与n 有关吗？为什么？
　　
n 边形的外角和与n 没有关系.
因为任意多边形的外角和都是360°.
　　 例1 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是　　　　　．
　　
变式1　若等腰三角形的周长为20，一边长为4，则其他两边长为　　　　　．
22
8和8
或26
典型例题
　　变式2　小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰
三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，
那么这个三角形的各边的长分别是多少？
解：设较短的边长为 x cm，
则较长的边长为2x cm．
若较短的边为腰，
则x ＋ x ＋ 2x =20.
解得　x =5．
即　2x =10．
∵5 ＋ 5 =10，
∴不能围成腰长5cm的等腰三角形．
不符合三角形两边的和大于第三边，
　　变式3　小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰
三角形，他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍，
那么这个三角形的各边的长分别是多少？
　　解：若较长的边为腰，则 x + 2x + 2x =20.
解得　x =4．
　　　　所以，这个三角形的三边分别为：
　　　　4 cm， 8 cm， 8 cm．
　　 例3.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平 分线BD，CE 交于点O．若∠ABC =40°，∠ACB =60°，∠BOC= ．
A
B
C
O
E
D
130°
　　 例2.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB的平分线BD，CE 交于点O．
变式1 若∠A =80°，则∠BOC = ．
变式2 猜想∠BOC 与∠A 之间的数量关系.
A
B
C
O
E
D
130°
A
B
C
O
E
D
例2　如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于点O．则∠BOC 与∠A 之间有怎样的数量关系？
∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的角平分线,
∴∠DBC =
∠ABC ,
1
2
∠ECB =
∠ACB ,
1
2
∵ ∠BOC = 180°－(∠DBC ＋ ∠ECB)
∴ ∠BCD = 180°－( ∠ABC + ∠ACB)
1
2
1
2
= 180°－ (∠ABC + ∠ACB)
1
2
= 180°－ (180°－ ∠A)
1
2
= 90°＋ ∠A
1
2
几何模型之角平分线模型
α
A
B
C
O
(1)两内角角平分线型
∠A＋90°
1
2
∠α=
　　 变式3　如图，若换成两外角平分线相交于O，则∠BOC 与∠A 又有怎样的数量关系？
A
B
C
O
E
D
∵OB、OC分别是∠DBC、∠ECB的角平分线,
∴∠OBC =
∠DBC ,
1
2
∠OCB =
∠ECB ,
1
2
∵ ∠BOC = 180°－(∠OBC ＋ ∠OCB)
∴ ∠BOC = 180°－( ∠DBC + ∠ECB)
= 180°－ (∠DBC + ∠ECB)
= 180°－ (∠A＋∠ACB＋∠ABC ＋∠A)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
= 180°－ (180°＋∠A)
= 90°－ ∠A
1
2
几何模型角平分线模型
α
O
B
C
A
90°－ 　 ∠A
1
2
∠α=
(2)两外角角平分线型
　　变式4　如图，若换成一内角与一外角平分线相交
于点O，则∠BOC与∠A 又有怎样的数量关系？
　　
A
B
C
O
D
∵OB是∠ABC的角平分线，
∵OC是∠ACD的角平分线，
∴∠OBC =
∠ABC .
1
2
∴∠OCD =
∠ACD .
1
2
∵ ∠OCD = ∠OBC ＋ ∠BOC，
∴ ∠BOC = ∠OCD － ∠OBC.
∵ ∠ACD = ∠ABC ＋ ∠A，
∴ ∠BOC = (∠ABC + ∠A )
1
2
－ ∠ABC
1
2
= ∠A.
1
2
几何模型之角平分线模型
(3)内外角角平分线型
α
A
B
C
O
D
∠A
1
2
∠α=
　　变式5　如图，若换成两条高相交于点O， ∠A 与∠BOC 又有怎样的数量关系？ 　　
A
B
C
O
E
D
∵BD、CE是△ ABC的高，
∴∠ ADB = ∠ AEC =90°.
∵∠A＋∠AEC＋∠EOD ＋∠ADO =360°，
∴ ∠A ＋∠EOD = 180°，
∴ ∠EOD = 180° － ∠A.
∵ ∠BOC = ∠EOD ，
∴ ∠EOD = 180° － ∠A.
1.列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连结后，能摆成三角形的一组是(　 )
A．1，2，6 B．2，2，4
C．1，2，3 D．2，3，4
D
练习巩固
2．把一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为(　　)
A．120° B．125° C．130° D．140°
C
3.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼在一起，其中∠C=90°，∠B=45°， ∠E=30°，则∠BFD的度数是(　 )
A．10° B．25° C．30° D．15°
D
4.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是(　 )
A．165° B．120° C．150° D．135°
A
5.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠B=67°，∠C=33°，则∠CAD的度数为(　　)
A．40° 　B．45° C．50° 　D．55°
A
6.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是(　 )
A．10° B．20° C．30° D．80°
第6题
C
　　
7．若三角形的两边分别为3 和5 ，则第三边长m 的取值范围是 __________ ．
＜
＜
m
8
2
　 8．如图，(1)若AD ⊥BC，垂足为D，则：∠_____ =∠_____ = 90°；
A
B
C
D
E
F
ADB
ADC
　　 8．如图，(2)若∠BAE =∠CAE， AE 与BC 相交于点E，则：线段AE 是△ABC 的________；
角平分线
A
B
C
D
E
F
　　 8．如图，(3)若AF =CF，BF 与 AC 相交于
点F，则：△ABC 的中线是 ．
BF
A
B
C
D
E
F
　　 9.如图，在△ABC 中，已知∠BAC =80°，∠ABC =60°.
(1)∠C =　　　　；
(2)若AE 是△ABC 的
　　 角平分线，则：
∠AEC = ；
(3)若BF 是△ABC 的高，与角平分线AE 相交于点O，则∠EOF = ．
A
B
C
O
E
F
40°
100°
130°
10．如图，△ABC中，∠A=α，∠ABC
的平分线与∠ACD的平分线交与点A1，得∠A1 ，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交与点A2 ，得∠A2 ……，则∠A6与α的数量
关系是 .
A
B
C
A1
D
A2
∠A6=
1
64
∠α
今天作业
课本P29页第8、11、12 题
谢谢
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