2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步复习小测 2022-2023学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2.5一元二次方程的根与系数的关系---九年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．一元二次方程x2-3x+2=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是(　　)
A．3 B．2 C．-3 D．-2
2．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（　　）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
3．方程 与方程 的所有实数根的和为（　　）
A．3 B．5 C．－2 D．0
4．若一元二次方程x2-x-6=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　），
A．1 B．-1 C．0 D．-6
5．设x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（　　）
A．15 B．12 C．6 D．3
6．设方程 的两个根为 ， ，那么 的值等于(　　)
A．-4 B．-2 C．0 D．2
二、填空题
7．若x=3是方程x2﹣9x+6m=0的一个根，则另一个根是　 　．
8．若关于 的方程 的一个根为1，则方程的另一个根为　 　.
9．若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+6=0的一个根是-2，则另一个根是　 　。
10．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为　 　.
11．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是　 　.
12．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则 的值为　 　．
三、解答题
13．已知m和n是方程3x2﹣8x+4=0的两根，求+
14．非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2013＝0，b2﹣b﹣2013＝0，求的值．
15．已知 是一元二次方程 的两个实数根，求使 的值为整数的实数k的整数值.
【能力提升】
一、单选题
1．关于x的一元二次方程x +(a -3a)x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为(　　)
A．-3 B．0 C．1 D．-3或0
2．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16
3．已知 、 是方程 的两个根，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2等于（　　）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
5．已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（　　）
A．-7 B．-3 C．7 D．3
二、填空题
6．已知方程 的一个根是 ，则方程的另一根 　 　.
7．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则 的值是　 　.
8．关于x的一元二次方程2x2+3x+m=0的两个实数根的倒数之和为3，m=　 　．
9．设x1，x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根，则x1+x2+x1x2=　 　.
10．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2+3m﹣mn+n=　 　．
三、解答题
11．已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1，求m的值及另一根．
12．已知关于x的方程 的一个根为2，求m的值和方程的另一根．
13．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1 x2= ．
【基础复习答案】
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x+2=0的两根分别是x1、x2，
∴ x1+x2 =3.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出 x1+x2的值，即可求解.
2．【答案】D
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
3．【答案】A
【解析】【解答】设方程 的两个根分别为 ，方程 的两个根分别为 ，∴ ， ，∴这两个方程的所有实数根的和 ．
【分析】在计算前应根据根的判别判断方程根的存在情况．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：x1+x2=-=1.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，运算即可得到答案。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣6x+3=0的两根，
∴x1+x2=3，x1x2=，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×=6．
故选：C．
【分析】由根与系数的关系求得x1+x2=3，x1x2=，然后将其代入变形后的代数式进行求值．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：依题意得α+β=-1，α β=-2，
∴（α-1）（β-1）=α β-（α+β）+1=-2+1+1=0.
【分析】利用根与系数的关系可得α+β=-1，αβ=-2，再将（α-1）（β-1）变形为αβ-（α+β）+1，然后整体代入计算即可.
7．【答案】6
【解析】【解答】解：设另外一根为a，
由根与系数的关系可知：a+3=9，
∴a=6，
故答案为：6
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
8．【答案】1
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可知 ，
∵关于 的方程 的一个根为1，
∴方程的另一个根为 ，
故答案为：1.
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2==2，然后把已知的一个根1代入计算即可求解.
9．【答案】-3
【解析】【解答】解：一元二次方程x2+(k+3)x+6=0的一个根是-2，设另一个根为x1，
∴-2x1=6，
∴x1=-3.
故答案为：-3.
【分析】设方程的另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得出-2x1=6，求出x1的值，即可求解.
10．【答案】-1或-4
【解析】【解答】解：由题意设“倍根方程” 的一个根为 ，另一根为 ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：
，
∴ ，
∴ ，
化简整理得： ，解得 .
故答案为：-1或-4
【分析】根据倍根方程的定义，设方程的一个根为 α ，另一根为 2 α ，则由一元二次方程根与系数的关系可得：α+2α= (m 2) ， 2α α= 2m，整理得出关于m的方程，求解得出m的值。
11．【答案】4
【解析】【解答】解：设这两个根分别是m，n，
根据题意可得m+n＝5，mn＝ ，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方＝m2+n2＝(m+n)2﹣2mn＝25﹣9＝16，
则这个直角三角形的斜边长是4，
故答案为：4.
【分析】设这两个根分别是m，n，根据根与系数的关系可得m+n＝5，mn＝ ，代入到斜边长的平方＝m2+n2＝(m+n)2﹣2mn求解可得.
12．【答案】﹣
【解析】【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2= ，x1x2=﹣ ，∴ + = = ．
故答案为：﹣ ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2、x1 x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1 x2= ．
13．【答案】【解答】∵m和n是方程3x2﹣8x+4=0的两根，
∴m+n=，mn=，
则原式==2．
【解析】【分析】利用韦达定理求出m+n，mn的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
14．【答案】解：∵非零实数a，b（a≠b）满足，，
∴实数a、b是方程的两根．
由根与系数的关系可知a+b＝1，ab=-2013．
∴．
【解析】【分析】由根与系数的关系可得a+b＝1，ab=-2013，再利用，最后将数据代入计算即可。
15．【答案】解：∵原方程有两个实数根，
∴△= ，
即： ，解得： ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
根据根与系数关系可得： ， ，
∴ = = = = ，
∵其为整数，且 ，
∴k取的值为： ， ， .
【解析】【分析】通过原方程有两个实数根，所以△≥0，从而得到k的范围，之后再由 是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系表示出 与 ，将 进行变形，然后代入整理，结合之前k的范围进一步求解即可.
【能力提升答案】
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2＋（a2 3a）x＋a＝0的两个实数根互为倒数，
∴x1 x2＝a＝1，
则a的值为1．
故答案为：C．
【分析】根据方程两个实数根互为倒数，得到两根之积为1，利用根与系数的关系求出a的值即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】方程化为一般式x2 2x 1=0，
根据题意得x1+x2=2，x1x2= 1，
所以 = = = 2，
故答案为：D.
【分析】将方程化为一般式，根据根与系数关系可得x1+x2=2，x1x2= 1，由于 = ，然后代入计算即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣4x+1=0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2=﹣（﹣4）=4．
故选D．
【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
5．【答案】D
【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，
∴m+n=5，mn=2，
则m+n-mn=5-2=3．
故选D
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
6．【答案】5
【解析】【解答】∵方程 的根是x1、x2，
∴ ，
∵ ，
∴ 5，
故答案为：5.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：直接解答即可.
7．【答案】
【解析】【解答】解：∵α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求出α+β和αβ的值，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
8．【答案】﹣1
【解析】【解答】解：设方程2x2+3x+m=0的两个实数根为a、b，
∴a+b=﹣ ，ab= ，
∴ + = =﹣ =3，
解得：m=﹣1，
经检验后可得：m=﹣1是分式方程﹣ =3的解．
故答案为：﹣1．
【分析】设方程2x2+3x+m=0的两个实数根为a、b，根据根与系数的关系可得出a+b=﹣ 、ab= ，将其代入 + =3中可得出﹣ =3，解之即可得出结论．
9．【答案】0
【解析】【解答】解：由题意得： x1+x2=1，x1x2=-1，
∴x1+x2+x1x2= 1+（-1）=0.
故答案为：0.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=1，x1x2=-1，将此整体代入原式求值即可.
10．【答案】8
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2+3m﹣mm+n
=（5﹣2m）+3m﹣（﹣5）+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故答案为：8．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
11．【答案】一元二次方程(m＋1)x2－x＋m2－3m－3＝0有一个根是1
，解得： （不合题意舍去）
∴ ，∴方程为： 解得另一根为：
【解析】【分析】将x=1代入方程求出符合题意的m的值，再将m的值代入方程，解方程求出方程的另一个根。
12．【答案】解：∵该方程有一个根为2，
∴4+2m-6=0，
解得m=1；
∴x1·x2=-6，
∴2x2=-6，
解得x2=-3，
∴方程的另一根为-3.
【解析】【分析】把x=2代入原方程得出一个关于m的方程求解即可；利用一元二次方程的根与系数的关系列式求解即可.
13．【答案】解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），∴x2+ x=﹣ ，∴x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，即（x+ ）2= ，∵4a2＞0，∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，∴x+ =± ，∴当b2﹣4ac＞0时，x1= ，x2= ；当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣ ；∴x1 x2= = = = ，或x1 x2=（﹣ ）2= = = ，∴x1 x2= ．
【解析】【分析】将常数项c移到方程的右边，然后根据等式的性质，在方程的左右两边都除以二次项的系数a，然后再在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项；根据4a2＞0，故当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根；利用直接开平方法，即可求解，当b2﹣4ac＞0时，两根为：x1= ，x2=，当b2﹣4ac=0时，x1=x2=-，然后分别算出x1 x2，即可得出答案。