1.1菱形的性质与判定 同步复习小测 2022-2023学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

1.1菱形的性质与判定---九年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（　　）
A．（﹣3，4） B．（﹣2，3） C．（﹣5，4） D．（5，4）
3．如图，下列条件：①；②；③；④，其中不能使平行四边形是菱形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， .则线段 的长为：（　　）
A． B． C．3 D．5
5．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是(　　)
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
二、填空题
6．若菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其边长长为　 　．
7．如图，四边形ABCD是菱形，如果AB=5，那么菱形ABCD的周长是　 　．
8．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，，交于点E，则的长为　 　．
9．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则 与 的大小关系为： 　 　 （填“＞”，“＝”或“＜”）．
10．如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．
11．如图，在 ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，同样长度m为半径作弧，交于点G，连结AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB＝4，则AE的长为　 　．
三、解答题
12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC．
13．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，求OH的长．
14．如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形.
15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，
连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
【能力提升】
一、单选题
1．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．一个菱形的两条对角线分别为 和 ，则这个菱形的面积是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论:①MN∥BC，②MN=AM.下列说法正确的是(　　)
A．①②都错 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都对
4．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
二、填空题
5．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为　 　．
6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是　 　 ．
7．如图，在□ABCD中， E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足　 　时，四边形EHFG是菱形．
8．如图，平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为　 　．
三、解答题
9．如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
10．如图，在 中， ， 为 边上的中线，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 .求证：四边形 为菱形.
11．如图，菱形 中，E是 的中点，将 沿 折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形 的面积为 ，求菱形 的周长．
【基础复习答案】
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
B. 对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
C. 对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故不正确；
D. 对角线平分一组对角是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故正确；
故选D.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故答案为：C．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：①，对角线相等的平行四边形是矩形，故①符合题意；
②，对角线垂直的平行四边形是菱形，故②不符合题意；
③，邻边相等的平行四边形是菱形，故③不符合题意；
④，
∵，
∴，
∴，
∴，邻边相等的平行四边形是菱形，故④不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为 .
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.
5．【答案】B
【解析】【解答】如图，作DF⊥BC,BE⊥CD,
由已知可得，AD∥BC,AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∴Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BC=DC
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：B
【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先证四边形ABCD是平行四边形.再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四边形ABCD是菱形.
6．【答案】5
【解析】【解答】解：由题意得菱形的另一条对角线的长
则菱形的边长
故答案为：5
【分析】先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可得菱形的另一条对角线的长为8，再利用勾股定理求出菱形的边长即可。
7．【答案】20
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴菱形的周长为20，
故答案为20
【分析】依据菱形的四条边相等可得到BC=AB=CD=AD=5，然后再求得菱形的周长即可.
8．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，O为AC中点，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
9．【答案】=
【解析】【解答】解：如图，连接CE、CD，
AE ，
同理求得EC=CD=DA ，AC ，
∴AE=EC=CD=DA，
∴四边形AECD是菱形，
∵ ，
∴ ，
∴∠AEC=90 ，
∴菱形AECD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC，
故答案为：=．
【分析】先求出四边形AECD是菱形，再求出∠AEC=90°，最后求解即可。
10．【答案】110
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝70°，
∴∠ACD＝70°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝70°，
∴∠CAE＝40°，
∴∠BAE＝110°，
故答案为110．
【分析】根据菱形的性质和平行线的性质求解即可。
11．【答案】
【解析】【解答】如图，连接FE，设AE交BF于点O．
由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE＝∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，
∴AO＝OE＝ AE，BO＝OF＝3，
在Rt△AOB中，AO＝ ，
∴AE＝2OA＝ ．
故答案是： ．
【分析】连接FE，设AE交BF于点O．首先证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出AO即可．
12．【答案】解答：解：延长PF交AB的延长线于点G，在△BGF与△CPF中， ，∴△BGF≌△CPF，∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵EP⊥CD，∴∠BEP＝90°，∴EF＝ PG，∵PF＝ PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP－∠FEP＝∠EPC－∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°－∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝ （180°－70°）＝55°，∴∠FPC＝55°．
【解析】【分析】延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠ABC，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
13．【答案】解答：解：由题意可得AD＝6，在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，∴OH＝ AD＝3．
【解析】【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，H为AD的中点，从而求得OH的长．
14．【答案】证明：，
，
∴四边形EBFC是平行四边形
又，
∴四边形EBFC是菱形.
【解析】【分析】先证明四边形EBFC是平行四边形，再结合可得四边形EBFC是菱形。
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
【能力提升答案】
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、平行四边形及矩形的判定、矩形的性质逐项判断即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】∵菱形的两条对角线分别为 和 ，
∴菱形的面积 ；
故答案为：B.
【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，据此计算即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 将平行四边形纸片ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN
∴∠B＝∠D＝∠AMN，
∴MN∥BC，故①正确；
∵AM＝DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN＝AM．故②正确
故答案为：D
【分析】利用折叠的性质和平行四边形的性质，可知∠B＝∠D＝∠AMN，AM＝DA，利用平行线的性质，可对①作出判断，再证明四边形AMND为菱形，利用菱形的性质，可对②作出判断。综上所述，可得出说法正确的序号。
4．【答案】C
【解析】解析：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD。
【解答】因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=BC．
故选C
【点评】题考查菱形的判定，答案不唯一．有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5．【答案】24
【解析】【解答】解：如下图,
∵菱形的周长为20，
∴边长AB=5,
∵对角线互相垂直平分, 一条对角线长为8，
∴BO=4,AO=3（勾股定理）,
∴AC=6,
∴S菱形= .
【分析】根据题意画出图形,利用对角线互相垂直平分,菱形面积等于二分之一对角线乘积即可解题.
6．【答案】24
【解析】【解答】解：∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=3，
∴BC=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24．
故答案为24．
【分析】根据题意可得出EF是△ABC的中位线，易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC．
7．【答案】答案不唯一，如：∠ABC＝90°等
【解析】【解答】解：∵E、F为AB、CD的中点，
∴EG∥HF，EH∥FG，
∴四边形EHFG为平行四边形，
当∠ABC=90°时，
∴BH=EH=HF，
∴四边形EHFG为菱形．
【分析】根据E、F是平行四边形ABCD的AB、CD边的中点，可证得四边形EHFG为平行四边形，再证明四边形EHFG的一组邻边相等，因此∠ABC=90°时，易证得结论。
8．【答案】8
【解析】【解答】解：由题意得，四边形 为菱形
在 中，
.
9．【答案】解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO= AC=12厘米，AC⊥BD，
∴BO= = =5厘米，
∴BD=2BO=10厘米，
∴BM=3BD=30厘米．
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求得一个菱形中另一条对角线的长，即可求得BM的长.
10．【答案】证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形.
又∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD= AB.
又∵CD为AB边上的中线
∴BD= AB，
∴BD=CD，
∴平行四边形BECD是菱形
【解析】【分析】由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形BECD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB=BD，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形BECD是菱形.
11．【答案】解：∵四边形 是菱形，∴ ，
又∵将 沿 折叠后，点A和点D恰好重合
∴ ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ 为 的高，
∴
∵菱形 的面积 ，
∴
∴菱形 的周长为 ．
【解析】【分析】先证明 是等边三角形，根据锐角三角函数得出，由菱形的面积求出CD，即可得出周长。