人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷（困难）（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 10:31:37 | ||
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文档简介
人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
已知是椭圆上任意一点，，是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，，若的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
已知，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线 交直线于点，则的横坐标范围是( )
A. B. C. D.
下列说法的错误的是( )
A. 经过定点的倾斜角不为的直线方程都可以表示为
B. 经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为
D. 经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为
过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
已知实数，满足，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程( )
A. B.
C. D.
已知圆：，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
设，为曲线的两条切线，切点分别为，，若，且垂足为，则下列说法正确的有( )
A. ，两点的横坐标之和为定值 B. ，两点的横坐标之积为定值
C. 直线的斜率为定值 D. 点横坐标的取值范围为
下列说法正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点，的直线方程
已知，，记，
则( )
A. 的最小值为 B. 当最小时，
C. 的最小值为 D. 当最小时，
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得
C. 在上存在点，使在直线上
D. 在上存在点，使得
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知点满足，则的取值范围是 ．
给出下列五个命题：
过点的直线方程一定可以表示为的形式
过点且在，轴截距相等的直线方程是
过点且与直线垂直的直线方程是
设点不在直线上，则过点且与直线平行的直线方程是
点到直线的距离不小于．
以上命题中，正确的序号是
已知圆：，若圆与圆关于直线对称，且与直线：交于、两点，则的取值范围是 ．
已知点在直线上，过点作圆的切线，切点分别是，的中点为，若点到直线的距离为，则点的坐标为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知，，．
求点的坐标，满足，．
若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为；
求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
若射线：与曲线，的交点分别为，异于原点，当斜率时，求的取值范围．
已知直线过点．
若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程；
已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为求所在直线的方程．
已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在的方程；
在直线上求一点，使；
若点在直线上运动，求的最小值．
已知曲线，．
当取何值时，方程表示圆？
求证：不论为何值，曲线必过两定点．
当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．
如图，圆：，点为直线：上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
若，求切线所在直线方程；
若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质及基本不等式的应用，同时考查直线的斜率，由已知得出，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】
解： 设，，
因为，在椭圆上，
所以
两式相减并变形得，，
因为是椭圆上关于坐标原点对称的两点，
所以，
因为直线的斜率分别为，
所以，
所以，当时取等号，
又的最小值为，
所以，
又且，
所以．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
设点坐标为，点坐标为，因为，得设直线斜率为，分类讨论：若不在轴上，解得：若在轴上，则，重合，则点横坐标为，故
【解答】
解：设点坐标为，点坐标为，
因为，所以，
解得：
设直线斜率为，
若不在轴上，则，且，
因为，，所以的斜率为，
的方程为，
的方程为，
所以、的方程联立，消元得：，
因为在圆上，所以，
整理得：，
因为，解得：
若在轴上，则，重合，则点横坐标为
综上所述：
故答案为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．，由点斜式方程可判断；由直线的斜截式可判断；讨论直线的截距是否为，可判断；由两点式的直线方程可判断．
【解答】
解：
经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为，故A正确；
经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为，故B正确；
不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为，比如或，故C错误；
过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为：
，故D正确．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于拔高题．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线；过点与线段的中点的直线，分别求解即可．
【解答】
解：由题意得，
线段的中点为．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线满足题意，
其方程为，
整理得
过点与线段的中点的直线满足题意，
其方程为，
整理得．
故满足条件的直线方程是或，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义和数形结合思想，属于较难题．
利用所给方程，结合椭圆和双曲线的方程得所给方程所表示的曲线，作出曲线和直线的图形，设是曲线上一点，点到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得，利用两平行直线间的距离得直线与直线的距离为，再利用双曲线渐近线性质得，从而得，设直线与椭圆在第一象限相切，利用图形得直线直线的距离就是：点到直线的最小距离，利用直线与椭圆的位置关系得，再利用两平行直线间的距离得直线直线的距离为，从而得，即，最后得结论．
【解答】
解：因为实数，满足，
所以：当，时，方程表示的曲线是：
椭圆落在第一象限那部分和与坐标轴正半轴的交点；
当，时，方程表示的曲线是：
双曲线落在第四象限那部分；
当，时，方程表示的曲线是：
双曲线落在第二象限那部分；
当，时，方程变为，曲线不存在．
作方程所表示的曲线和直线的图形如下：
设是曲线上一点，
则点到直线的距离，
即．
因为直线与直线的距离为，
而是双曲线和的一条渐近线，
所以点到直线的最大距离为，但达不到，即，
因此．
设直线与椭圆在第一象限相切，
则直线直线的距离就是：
点到直线的最小距离．
由得，
因此由得，解得，
而直线与椭圆在第一象限相切，所以，
即直线与椭圆在第一象限相切．
又因为直线直线的距离为，
所以，即，
因此的取值范围是．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的求解与应用，中点坐标公式的应用，点关于直线的对称点的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．先求出的坐标，再利用点关于直线的对称点，求出点关于直线的对称点的坐标，利用在直线上，求出直线的方程，设点的坐标，建立方程组，求出点，即可求出直线的方程．
【解答】
解：联立方程组，解得，所以点，
设点关于直线的对称点为，
则有，解得，所以点，
因为点在直线上，
则直线的方程为，即，
设点，则的中点坐标为，
所以，解得，所以点，
故，
则边所在直线的方程为，即．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值，考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于拔高题．
根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析其圆心、半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：，
变形可得，
其圆心为，半径为，
则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点距离为，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值问题，考查运算解题能力，属于较难题．
求得关于直线的对称点为，由对称性可得，则，又，，代入即可求得的最大值．
【解答】
解：设关于直线的对称点为，
则，解得，
由对称性可得，
圆，圆心，半径为，
则，当且仅当，，三点共线时等号成立，
由于，，
，
即的最大值为．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的几何意义，直线垂直的判定，直线的斜率，以及利用基本不等式求最值，考查了数形结合思想，属于较难题．
根据导数的几何意义结合直线垂直的判定可判断，根据斜率公式结合对数运算可判断，根据基本不等式结合两直线的交点可判断．
【解答】
解：作出曲线的图象，如图所示：
设切点的横坐标，的横坐标，
当时，，则，
，切线方程为，
当时，，则，
，切线方程为，
，
，
则，故B正确，A错误；
直线的斜率为，故C正确；
由切线，联立解得交点的横坐标为，因为，等号不成立，
的横坐标，故D正确．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的截距式、点斜式、两点式，一般式．
，截距相等为的直线都不可以用方程表示；
，当时，方程表示平行轴的直线；
，倾斜角为的直线方程不能写成点斜式；
，，直线的斜率存在，可以用点斜式表示．
【解答】
解：对于，截距相等为的直线都不可以用方程表示，故错误；
对于，当时，方程能表示平行轴的直线，故正确；
对于，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错；
对于，直线的斜率存在，可写成，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，点到直线的距离公式，两直线的交点坐标，属于较难题．
由题意，的最小值，转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求出与直线平行的函数的切线的切点坐标，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，根据两直线的交点坐标求出的值．
【解答】
解：，则，
的最小值，可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的平方的最小值，
由，可得，，
而与直线平行的直线的斜率为，
令，得，
因此与直线平行的函数的切线的切点坐标为，
切点到直线的距离，
即的最小值为，
过切点与直线垂直的直线为，即，
由
得．
可知：当最小时，，的最小值为；
故选BC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的运用，考查点及直线与圆的位置关系，考查化简运算能力和推理能力，属于拔高题．
设，运用两点的距离公式，整理可得曲线的轨迹方程，可判断；由点与圆上一点的距离的最值，可判断；判断直线与圆的位置关系即可判断；设，运用两点的距离公式，化简整理可得的轨迹方程，联立曲线的方程，解方程可判断．
【解答】
解：设，由，，，
可得，
两边平方整理可得，
即，
故曲线的方程为，故A正确；
曲线的方程表示圆心为，半径为的圆，
所以，
所以圆上的点到点的距离最小值为，
最大值为，
所以圆上的点到点的距离范围为，
而，故B错误；
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以在上不存在点，使在直线上，故C错误；
设由，
可得
整理可得，联立，
解得，，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查斜率公式、直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．由题意得，点在圆：上，而表示圆上的点与点连线的斜率，画出图形求出的取值范围．
【解答】解：圆可化为，
表示圆上的点与连线的斜率，
如图所示由，，可得，则，
同理可得，则
故答案为
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的一般式方程，两条直线平行和垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式和基本不等式的应用，属于拔高题．
漏了斜率不存在的情况；漏了过原点的情况；垂直关系斜率之积为；根据公式验证即可．
【解答】
解：过点直线方程，当斜率存在时为；
斜率不存在时为故不正确．
过点且在轴、轴截距相等的直线方程，
当截距不为零时为；截距为零时，直线方程为故不正确．
两条直线的斜率之积为，不垂直．故不正确；
与：平行的直线方程可设为，
则代入点得，
，
过点且与平行的直线方程是，
即，故正确；
点到直线的距离为
，
当且仅当即时等号成立．
故正确．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系和关于点或直线对称的圆的方程，设，由对称得出坐标，得出圆的方程，易知直线恒过点，且点在圆内，所以当为的中点时，取得最小值，当直线：过时，取得最大值，即可得出结果．
【解答】
解：圆：的标准方程为，
设圆的圆心关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以圆的方程为，
直线：可化为，
则直线恒过点，易知点在圆内，
点到圆心的距离为，
所以为的中点时，取得最小值为，
当直线：过时，即时，取得最大值为直径，
所以的取值范围是，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式、圆的标准方程与一般方程、两点间的距离公式、圆的几何性质等知识．
先得出弦所在的直线方程，再得直线所过的定点，结合圆的几何性质得在以为直径的圆上，从而可得点到直线的距离为时，直线与平行，进而得到答案．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心，
点在直线上，可设，
则、、、四点共圆，该圆以为直径，
方程为，
即，
与圆的方程相减得弦所在的直线方程为，
即，
该直线恒过与的交点，
又由圆的几何性质可得，
则点在以为直径的圆上，
圆心是的中点，
半径为，
点到直线的距离为，
又点到直线的距离为，
与平行，
此时直线的方程为，
为直线与圆的交点，
联立与，
得的坐标为．
故答案为．
17.【答案】解：设，
由已知得，又，可得 即，
由已知得，又，可得，即，
联立求解得，，
．
设，
，
又，，
解得，
，又，
轴，
故直线的倾斜角为．
【解析】本题主要考查了过两点的斜率公式以及两条直线平行、垂直与斜率的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键．
设，根据得出，然后由得出，解方程组即可求出的坐标．
设由得出，解方程求出的坐标，然后即可得出结果．
18.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
普通方程为，即，
极坐标方程为：，
曲线的极坐标方程为，即，
曲线的直角坐标方程；
设射线的倾斜角为，
则射线的参数方程为为参数，
把射线的参数方程代入曲线的普通方程得：，
解得，．
．
把射线的参数方程代入曲线的普通方程得：，
解得，．
．
．
，
的取值范围是．
【解析】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义的应用，考查分析与计算能力，属于中档题．
先将的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将的极坐标方程两边同乘，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出的直角坐标方程；
求出的参数方程，分别代入，的普通方程，根据参数的几何意义得出，，得到关于的函数，根据的范围得出答案．
19.【答案】解：当直线过原点时，设直线：，
将代入：，
解得，此时直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为：，
将代入：，
解得，
则直线方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
依题，直线方程为：，
即，
直线方程为：，即，
设直线方程为：，
因为与垂直，
，
所以直线方程为，
将点代入：，
解得，
故直线的方程为，
联立
解得，即，
设，由以及为中点可得，，
将点坐标代入到得：，
解得，
则，设直线方程为：，
则，解得
故直线方程为．
【解析】本题主要考查求直线方程，两直线垂直的充要条件，直线的斜截式、截距式，属于中档题．
对直线是否过原点进行分类讨论．
将、所在直线方程化为斜截式，根据两直线垂直的充要条件可求得直线斜率，设出直线的斜截式，将代入即可求得方程，
联立，求得，设，利用中点公式可求得，将点坐标代入到可求得，
则，设出方程，将、坐标代入即可求解．
20.【答案】解：如图所示：
设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于，
因为直线与直线垂直，并且过点，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即坐标为，
因为、两点关于直线对称，所以关于点对称，
所以，，
点坐标为，
根据光线反射定律，反射光线经过、两点，
由直线的两点式方程得：
直线方程为，
即反射光线所在直线的方程为
线段的垂直平分线为，因为，
所以点在直线上，又因为点在直线上，
所以点为直线与交点，
由，的坐标可知，
线段中点，直线斜率为，
所以其垂直平分线斜率，
因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为
，即，
与直线的方程联立
解方程组得点坐标为
设点坐标为，令，
则
，
要使最小，则当且仅当最小，
可表示为点到点的距离的平方，
当，即计算点到直线的距离时取到最小值，
此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得
，
所以．
【解析】本题考查了直线的对称问题和求直线方程，是难题．
根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
设，整理之后为；
转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方．
21.【答案】解：当时，方程化为，它表示一条直线；
当时，方程化为，它表示圆．
证明：方程变形为．
若对于取任何值，上式恒成立，
则有
解得或
曲线过定点和．
解：由知曲线过定点，，
在这些圆中，当以线段为直径时圆的面积最小，
此时，圆的圆心在直线上，
，
则．
【解析】本题考查了圆的标准方程，点与圆的位置关系及判定，直线和圆的方程的应用，属于拔高题．
当时，方程化为，它表示圆；
方程变形为，可得曲线过定点和；
当以线段为直径时圆的面积最小，圆的圆心在直线上，进而得出圆面积最小时的值．
22.【答案】解：由题意得，切线的斜率存在，
设切线，即，
所以圆心到切线的距离，
解得或．
所以切线所在直线方程为或
由题知，切线的斜率存在，
设切线，即．
设圆心到切线的距离为，
所以，化简得
则，．
在切线中，
令，解得，
所以，
即，
所以，此时
故的最小值为．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，圆的切线方程，与圆有关的弦的最值问题，直线与圆的方程的综合应用，属于中档题．
由题意切线的斜率存在，设切线，即，根据直线与圆的位置关系的判定方法求出的值即可；
设切线，圆心到切线的距离为，则，化简得进一步可得，由韦达定理可得的最小值．
第2页，共2页
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考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
已知是椭圆上任意一点，，是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，，若的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
已知，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线 交直线于点，则的横坐标范围是( )
A. B. C. D.
下列说法的错误的是( )
A. 经过定点的倾斜角不为的直线方程都可以表示为
B. 经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为
C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为
D. 经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为
过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
已知实数，满足，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程( )
A. B.
C. D.
已知圆：，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
设，为曲线的两条切线，切点分别为，，若，且垂足为，则下列说法正确的有( )
A. ，两点的横坐标之和为定值 B. ，两点的横坐标之积为定值
C. 直线的斜率为定值 D. 点横坐标的取值范围为
下列说法正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点，的直线方程
已知，，记，
则( )
A. 的最小值为 B. 当最小时，
C. 的最小值为 D. 当最小时，
古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得
C. 在上存在点，使在直线上
D. 在上存在点，使得
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知点满足，则的取值范围是 ．
给出下列五个命题：
过点的直线方程一定可以表示为的形式
过点且在，轴截距相等的直线方程是
过点且与直线垂直的直线方程是
设点不在直线上，则过点且与直线平行的直线方程是
点到直线的距离不小于．
以上命题中，正确的序号是
已知圆：，若圆与圆关于直线对称，且与直线：交于、两点，则的取值范围是 ．
已知点在直线上，过点作圆的切线，切点分别是，的中点为，若点到直线的距离为，则点的坐标为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知，，．
求点的坐标，满足，．
若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为；
求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
若射线：与曲线，的交点分别为，异于原点，当斜率时，求的取值范围．
已知直线过点．
若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程；
已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为求所在直线的方程．
已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在的方程；
在直线上求一点，使；
若点在直线上运动，求的最小值．
已知曲线，．
当取何值时，方程表示圆？
求证：不论为何值，曲线必过两定点．
当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．
如图，圆：，点为直线：上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
若，求切线所在直线方程；
若两条切线，与轴分别交于、两点，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质及基本不等式的应用，同时考查直线的斜率，由已知得出，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】
解： 设，，
因为，在椭圆上，
所以
两式相减并变形得，，
因为是椭圆上关于坐标原点对称的两点，
所以，
因为直线的斜率分别为，
所以，
所以，当时取等号，
又的最小值为，
所以，
又且，
所以．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
设点坐标为，点坐标为，因为，得设直线斜率为，分类讨论：若不在轴上，解得：若在轴上，则，重合，则点横坐标为，故
【解答】
解：设点坐标为，点坐标为，
因为，所以，
解得：
设直线斜率为，
若不在轴上，则，且，
因为，，所以的斜率为，
的方程为，
的方程为，
所以、的方程联立，消元得：，
因为在圆上，所以，
整理得：，
因为，解得：
若在轴上，则，重合，则点横坐标为
综上所述：
故答案为．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．，由点斜式方程可判断；由直线的斜截式可判断；讨论直线的截距是否为，可判断；由两点式的直线方程可判断．
【解答】
解：
经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为，故A正确；
经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为，故B正确；
不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为，比如或，故C错误；
过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为：
，故D正确．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于拔高题．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线；过点与线段的中点的直线，分别求解即可．
【解答】
解：由题意得，
线段的中点为．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线满足题意，
其方程为，
整理得
过点与线段的中点的直线满足题意，
其方程为，
整理得．
故满足条件的直线方程是或，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义和数形结合思想，属于较难题．
利用所给方程，结合椭圆和双曲线的方程得所给方程所表示的曲线，作出曲线和直线的图形，设是曲线上一点，点到直线的距离为，利用点到直线的距离公式得，利用两平行直线间的距离得直线与直线的距离为，再利用双曲线渐近线性质得，从而得，设直线与椭圆在第一象限相切，利用图形得直线直线的距离就是：点到直线的最小距离，利用直线与椭圆的位置关系得，再利用两平行直线间的距离得直线直线的距离为，从而得，即，最后得结论．
【解答】
解：因为实数，满足，
所以：当，时，方程表示的曲线是：
椭圆落在第一象限那部分和与坐标轴正半轴的交点；
当，时，方程表示的曲线是：
双曲线落在第四象限那部分；
当，时，方程表示的曲线是：
双曲线落在第二象限那部分；
当，时，方程变为，曲线不存在．
作方程所表示的曲线和直线的图形如下：
设是曲线上一点，
则点到直线的距离，
即．
因为直线与直线的距离为，
而是双曲线和的一条渐近线，
所以点到直线的最大距离为，但达不到，即，
因此．
设直线与椭圆在第一象限相切，
则直线直线的距离就是：
点到直线的最小距离．
由得，
因此由得，解得，
而直线与椭圆在第一象限相切，所以，
即直线与椭圆在第一象限相切．
又因为直线直线的距离为，
所以，即，
因此的取值范围是．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的求解与应用，中点坐标公式的应用，点关于直线的对称点的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．先求出的坐标，再利用点关于直线的对称点，求出点关于直线的对称点的坐标，利用在直线上，求出直线的方程，设点的坐标，建立方程组，求出点，即可求出直线的方程．
【解答】
解：联立方程组，解得，所以点，
设点关于直线的对称点为，
则有，解得，所以点，
因为点在直线上，
则直线的方程为，即，
设点，则的中点坐标为，
所以，解得，所以点，
故，
则边所在直线的方程为，即．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值，考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于拔高题．
根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析其圆心、半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：，
变形可得，
其圆心为，半径为，
则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点距离为，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆有关的最值问题，考查运算解题能力，属于较难题．
求得关于直线的对称点为，由对称性可得，则，又，，代入即可求得的最大值．
【解答】
解：设关于直线的对称点为，
则，解得，
由对称性可得，
圆，圆心，半径为，
则，当且仅当，，三点共线时等号成立，
由于，，
，
即的最大值为．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的几何意义，直线垂直的判定，直线的斜率，以及利用基本不等式求最值，考查了数形结合思想，属于较难题．
根据导数的几何意义结合直线垂直的判定可判断，根据斜率公式结合对数运算可判断，根据基本不等式结合两直线的交点可判断．
【解答】
解：作出曲线的图象，如图所示：
设切点的横坐标，的横坐标，
当时，，则，
，切线方程为，
当时，，则，
，切线方程为，
，
，
则，故B正确，A错误；
直线的斜率为，故C正确；
由切线，联立解得交点的横坐标为，因为，等号不成立，
的横坐标，故D正确．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的截距式、点斜式、两点式，一般式．
，截距相等为的直线都不可以用方程表示；
，当时，方程表示平行轴的直线；
，倾斜角为的直线方程不能写成点斜式；
，，直线的斜率存在，可以用点斜式表示．
【解答】
解：对于，截距相等为的直线都不可以用方程表示，故错误；
对于，当时，方程能表示平行轴的直线，故正确；
对于，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错；
对于，直线的斜率存在，可写成，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，点到直线的距离公式，两直线的交点坐标，属于较难题．
由题意，的最小值，转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义求出与直线平行的函数的切线的切点坐标，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，根据两直线的交点坐标求出的值．
【解答】
解：，则，
的最小值，可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的平方的最小值，
由，可得，，
而与直线平行的直线的斜率为，
令，得，
因此与直线平行的函数的切线的切点坐标为，
切点到直线的距离，
即的最小值为，
过切点与直线垂直的直线为，即，
由
得．
可知：当最小时，，的最小值为；
故选BC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的运用，考查点及直线与圆的位置关系，考查化简运算能力和推理能力，属于拔高题．
设，运用两点的距离公式，整理可得曲线的轨迹方程，可判断；由点与圆上一点的距离的最值，可判断；判断直线与圆的位置关系即可判断；设，运用两点的距离公式，化简整理可得的轨迹方程，联立曲线的方程，解方程可判断．
【解答】
解：设，由，，，
可得，
两边平方整理可得，
即，
故曲线的方程为，故A正确；
曲线的方程表示圆心为，半径为的圆，
所以，
所以圆上的点到点的距离最小值为，
最大值为，
所以圆上的点到点的距离范围为，
而，故B错误；
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以在上不存在点，使在直线上，故C错误；
设由，
可得
整理可得，联立，
解得，，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查斜率公式、直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．由题意得，点在圆：上，而表示圆上的点与点连线的斜率，画出图形求出的取值范围．
【解答】解：圆可化为，
表示圆上的点与连线的斜率，
如图所示由，，可得，则，
同理可得，则
故答案为
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的一般式方程，两条直线平行和垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式和基本不等式的应用，属于拔高题．
漏了斜率不存在的情况；漏了过原点的情况；垂直关系斜率之积为；根据公式验证即可．
【解答】
解：过点直线方程，当斜率存在时为；
斜率不存在时为故不正确．
过点且在轴、轴截距相等的直线方程，
当截距不为零时为；截距为零时，直线方程为故不正确．
两条直线的斜率之积为，不垂直．故不正确；
与：平行的直线方程可设为，
则代入点得，
，
过点且与平行的直线方程是，
即，故正确；
点到直线的距离为
，
当且仅当即时等号成立．
故正确．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系和关于点或直线对称的圆的方程，设，由对称得出坐标，得出圆的方程，易知直线恒过点，且点在圆内，所以当为的中点时，取得最小值，当直线：过时，取得最大值，即可得出结果．
【解答】
解：圆：的标准方程为，
设圆的圆心关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以圆的方程为，
直线：可化为，
则直线恒过点，易知点在圆内，
点到圆心的距离为，
所以为的中点时，取得最小值为，
当直线：过时，即时，取得最大值为直径，
所以的取值范围是，
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式、圆的标准方程与一般方程、两点间的距离公式、圆的几何性质等知识．
先得出弦所在的直线方程，再得直线所过的定点，结合圆的几何性质得在以为直径的圆上，从而可得点到直线的距离为时，直线与平行，进而得到答案．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心，
点在直线上，可设，
则、、、四点共圆，该圆以为直径，
方程为，
即，
与圆的方程相减得弦所在的直线方程为，
即，
该直线恒过与的交点，
又由圆的几何性质可得，
则点在以为直径的圆上，
圆心是的中点，
半径为，
点到直线的距离为，
又点到直线的距离为，
与平行，
此时直线的方程为，
为直线与圆的交点，
联立与，
得的坐标为．
故答案为．
17.【答案】解：设，
由已知得，又，可得 即，
由已知得，又，可得，即，
联立求解得，，
．
设，
，
又，，
解得，
，又，
轴，
故直线的倾斜角为．
【解析】本题主要考查了过两点的斜率公式以及两条直线平行、垂直与斜率的关系，熟练掌握斜率公式是解题的关键．
设，根据得出，然后由得出，解方程组即可求出的坐标．
设由得出，解方程求出的坐标，然后即可得出结果．
18.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
普通方程为，即，
极坐标方程为：，
曲线的极坐标方程为，即，
曲线的直角坐标方程；
设射线的倾斜角为，
则射线的参数方程为为参数，
把射线的参数方程代入曲线的普通方程得：，
解得，．
．
把射线的参数方程代入曲线的普通方程得：，
解得，．
．
．
，
的取值范围是．
【解析】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义的应用，考查分析与计算能力，属于中档题．
先将的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将的极坐标方程两边同乘，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出的直角坐标方程；
求出的参数方程，分别代入，的普通方程，根据参数的几何意义得出，，得到关于的函数，根据的范围得出答案．
19.【答案】解：当直线过原点时，设直线：，
将代入：，
解得，此时直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为：，
将代入：，
解得，
则直线方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
依题，直线方程为：，
即，
直线方程为：，即，
设直线方程为：，
因为与垂直，
，
所以直线方程为，
将点代入：，
解得，
故直线的方程为，
联立
解得，即，
设，由以及为中点可得，，
将点坐标代入到得：，
解得，
则，设直线方程为：，
则，解得
故直线方程为．
【解析】本题主要考查求直线方程，两直线垂直的充要条件，直线的斜截式、截距式，属于中档题．
对直线是否过原点进行分类讨论．
将、所在直线方程化为斜截式，根据两直线垂直的充要条件可求得直线斜率，设出直线的斜截式，将代入即可求得方程，
联立，求得，设，利用中点公式可求得，将点坐标代入到可求得，
则，设出方程，将、坐标代入即可求解．
20.【答案】解：如图所示：
设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于，
因为直线与直线垂直，并且过点，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即坐标为，
因为、两点关于直线对称，所以关于点对称，
所以，，
点坐标为，
根据光线反射定律，反射光线经过、两点，
由直线的两点式方程得：
直线方程为，
即反射光线所在直线的方程为
线段的垂直平分线为，因为，
所以点在直线上，又因为点在直线上，
所以点为直线与交点，
由，的坐标可知，
线段中点，直线斜率为，
所以其垂直平分线斜率，
因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为
，即，
与直线的方程联立
解方程组得点坐标为
设点坐标为，令，
则
，
要使最小，则当且仅当最小，
可表示为点到点的距离的平方，
当，即计算点到直线的距离时取到最小值，
此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得
，
所以．
【解析】本题考查了直线的对称问题和求直线方程，是难题．
根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程；
点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可；
设，整理之后为；
转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方．
21.【答案】解：当时，方程化为，它表示一条直线；
当时，方程化为，它表示圆．
证明：方程变形为．
若对于取任何值，上式恒成立，
则有
解得或
曲线过定点和．
解：由知曲线过定点，，
在这些圆中，当以线段为直径时圆的面积最小，
此时，圆的圆心在直线上，
，
则．
【解析】本题考查了圆的标准方程，点与圆的位置关系及判定，直线和圆的方程的应用，属于拔高题．
当时，方程化为，它表示圆；
方程变形为，可得曲线过定点和；
当以线段为直径时圆的面积最小，圆的圆心在直线上，进而得出圆面积最小时的值．
22.【答案】解：由题意得，切线的斜率存在，
设切线，即，
所以圆心到切线的距离，
解得或．
所以切线所在直线方程为或
由题知，切线的斜率存在，
设切线，即．
设圆心到切线的距离为，
所以，化简得
则，．
在切线中，
令，解得，
所以，
即，
所以，此时
故的最小值为．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，圆的切线方程，与圆有关的弦的最值问题，直线与圆的方程的综合应用，属于中档题．
由题意切线的斜率存在，设切线，即，根据直线与圆的位置关系的判定方法求出的值即可；
设切线，圆心到切线的距离为，则，化简得进一步可得，由韦达定理可得的最小值．
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