人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
已知椭圆：，、分别为其左、右焦点，，分别为其长轴的左右端点，动点满足，交椭圆于点，则的值为( )
A. B. C. D.
已知椭圆的左右焦点分别是，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足 ，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上顶点为，双曲线：的左顶点与椭圆的左顶点重合，点是双曲线在第一象限内的点，且满足，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的左、右支于、两点，线段的垂直平分线恰过点，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是( )
A. 曲线的方程为；
B. 左焦点到一条渐近线距离为；
C. 直线与曲线有两个公共点；
D. 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；
已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则 ( )
A. B. C. D.
已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为，点，在上且，直线与交于另一个点，若，则下列说法正确的是( )
A. 为等腰三角形
B. 椭圆的离心率为
C. 内切圆的半径为
D. 面积的最大值为
已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为
B. 若为的左焦点，点在上，则满足的点的轨迹方程为
C. 若，在上，线段的中点为，则直线的方程为
D. 若为双曲线上任意一点，则到点和到直线的距离之比恒为
双曲线：的左、右焦点分别为、以为直径的圆与在第一象限交于点过作轴与在第四象限交于，下列说法正确的是( )
A. 的面积为
B. 的内切圆圆心的横坐标为
C. 直线过原点
D. 过直线交圆于、两点，则为定值
已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则下列说法正确的是( )
A. 若抛物线上点到的距离为，则抛物线的方程为
B.
C. 若，则直线的斜率为
D. 的取值范围为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为 ．
过双曲线的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若，，则双曲线的标准方程是 ．
已知抛物线：的焦点为，平行于轴的直线与圆：交于，两点点在点的上方，与交于点，则周长的取值范围是________．
已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，交于点，若，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．
Ⅰ求椭圆的方程和抛物线的方程；
Ⅱ设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程．
设是坐标原点，以为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点，
求的方程
是外的一点，设其坐标为，过的直线均与相切，且的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围．
已知双曲线的离心率为，、分别为左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于第一象限的点，的面积为
求双曲线的方程；
若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，，求实数的取值范围．
已知双曲线的方程为，离心率为，右顶点为
求双曲线的标准方程；
过的直线与双曲线的一支交于两点，求的取值范围．
已知为抛物线：上的一点，为抛物线的准线上的一点，且的最小值为．
Ⅰ求抛物线的标准方程；
Ⅱ过点作抛物线的切线，，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出面积的最小值．
设抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点当时，．
证明：为等腰三角形，并求抛物线的方程
若为轴左侧抛物线上一点，过作抛物线的切线，与直线交于点，与直线交于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题，化为方程联立得到根与系数的关系，数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于较难题．
设，，直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点的坐标用表示，再利用数量积运算化简整理即可得出的值．
【解答】
解：椭圆：中，
可得，，
由，可设，，
可得直线的方程为，
代入椭圆：，可得：
，
则，
解得，
，
即有，
则
．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆位置关系及椭圆的性质，属于中档题．
在中，设，则，，由，得，，从而，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，
直线与椭圆的一个交点满足，
如图，在中，因为，所以，
则，，
，
，，
，
该椭圆的离心率为．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的性质以及双曲线的离心率的求解，涉及余弦定理的运用，考查椭圆的性质，属于中档题．
在中，易知，利用余弦定理求出，得到，进而求出，即可求出离心率．
【解答】
解：由椭圆方程可知，左顶点，上顶点，
由双曲线的左顶点与椭圆的左顶点重合，得，．
在中，易知，．
由余弦定理得，
得易知，所以．
设点的坐标为，则，
得解得
代入双曲线的标准方程，得，得，
从而，，
所以双曲线的离心率，
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，性质，直线与双曲线的位置关系，较难．
由题意先设，设直线的倾斜角为，进而得，再利用定义得，求，由，求出离心率．
【解答】
解：连接，，记，中点为，
根据题意知：，所以设，
并且垂直，由于过点的直线斜率为，
设直线的倾斜角为，
所以在直角三角形中，，
根据双曲线的定义：，所以：，同理：；
所以，则，
故：，因此： ．
在直角三角形中，
，
从而解得离心率 ．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的定义及其性质的运用，双曲线标准方程的求法，考查的知识点众多，计算麻烦，属于较难题．
由题意设双曲线方程为，将代入双曲线方程可得，即，则双曲线的方程为，再对各个选项综合分析即可求解．
【解答】
解：双曲线过点且渐近线为，
设双曲线方程为，
将点代入双曲线方程可得，解得，
双曲线的方程为，故A正确；
左焦点到一条渐近线距离为，故B正确；
由，消去整理得，即，方程只有一个实数根，即直线与双曲线只有一个公共点，故 C错误．
设过右焦点的直线方程为，由，消去整理得，
由韦达定理可得
则，
即，
化简得，
解得或或．
故D正确．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的弦长问题，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力．
先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线的方程进行联立，消去得到关于的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段的长．
【解答】
解：抛物线：的焦点为，准线为：，
设，，，到准线的距离分别为，，
由抛物线的定义可知，，
于是．
，易得到，
则，因为，
直线的斜率为，
，直线的方程为：，
将，代入方程，化简得，
，于是，
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念，性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查计算能力，属于较难题．
设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦半径公式，求得，，根据函数的单调性，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，抛物线的焦点坐标为，
当斜率存在时，设直线的方程为，设、，
由，整理得：．
则 ，，则，
根据抛物线定义可知，，，
，，
设，，求导，令，则，
当，，当，，
在单调递减，在单调递增，
当，取最小值，，
的最小值为，
当斜率不存在时，，
此时，的最小值为，
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题．
求得抛物线的焦点和准线方程，过点作斜率为的直线方程设为，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率．
【解答】
解：抛物线的焦点为，准线方程为，，
过点作斜率为的直线方程设为，联立抛物线方程，可得
，，
设，，可得，，
则，即，且，
，，
可得
，
在中，由余弦定理可得
又右边
，
解得，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题试题有机地将椭圆的定义、方程、几何性质与三角形的知识结合起来，属于中档题．
由解三角形及圆的性质可判断
由椭圆的定义，离心率及，，三者的关系可判断
由三角形的面积公式可判定
由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，其中，再利用三角函数的性质可求出最大值，最后代入面积公式求解即可判定．
【解答】
解：由题意知，
所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，
所以．
设，
由于，
所以，，
故不是等腰三角形，故A错误．
由椭圆的定义知，，
则，
所以，则．
又，
所以为等腰直角三角形，可得．
由题意知，
所以，即，
所以椭圆的标准方程为，离心率为，故B正确．
易知的面积，
设的内切圆半径为，则，
即，
所以，故C正确．
不妨令，
又，
所以直线的方程为，
设，
则点到直线的距离，其中，
所以，
因为，
所以面积的最大值为，
故D正确．
故选BCD
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线概念，性质，直线与双曲线的位置关系，中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线方程以及圆锥曲线中轨迹问题，题意较难；
对于：表示出顶点坐标和渐近线方程，得出结论可判断选项A；
对于：设，根据题意可用，表示点坐标，代入双曲线方程可得出结论，进而判断选项B
对于：设，，代入双曲线过程，可得直线的斜率，再利用点斜式可得出结论，进而判断选项C；
对于：根据两点间距离公式，点到直线的距离公式可直接得出结论，进而判断选项D．
【解答】
解：对于：双曲线的顶点坐标是，渐近线方程是，
因此其顶点到渐近线的距离：，故选项A错误；
对于：设，
，
，
，且点在双曲线上，
即：，故选项B正确；
对于：设，，
则：，
点恰为线段的中点， ， ，
，即：
直线的斜率为：，且过点，
直线的方程为：，故选项C正确；
对于 双曲线右焦点， 直线：，
设点 ， 即：，
点到点和到直线的距离之比为：
故选项D正确；
故选BCD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的定义，几何性质，韦达定理的应用，考查学生的分析问题，运算能力，属于难题．
利用双曲线的几何性质以及直角三角形内切圆的几何性质，直线和双曲线的位置关系，利用韦达定理等依次验证各个选项的正误，进而得到正确答案．
【解答】
解：由题可知，
即以为直径的圆的方程为：．
由题可知，又，
，
，
式平方可得：．
，故A正确；
的内切圆圆心，过作于，
于，于，
即，，是内切圆于三角形三边的切点，
即，．
设的横坐标为又．
，
，
故B正确；
由条件可得过作轴与在第四象限的交点．
由和联立可得．
则可得，
，
则可知，即，，三点不共线，也就是直线不过原点，故C错误；
设过直线方程为：，存在且不为．
设．
．
．
联立消去化简整理可得：
．
．
．
即是定值，故D正确．
故选ABD．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，涉及函数的值域，中点公式，点到直线的距离，直线的斜率，考查数形结合与化简整理的运算能力，属于较难题．
设，，设直线与抛物线方程联立，，，，再根据选项逐一判断即可．
【解答】
解：设，，设直线，与抛物线方程联立，
得，，，且由恒成立可得．
对于，由抛物线定义可得，解得：，则抛物线方程是，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，根据抛物线定义可知，，
，
则，解得：，直线的斜率，故C错误；
对于，因为以线段为直径的圆交轴于两点，为线段的中点，
所以，其中是点到轴的距离，，
由分析可知，
所以，
因为，所以，则，所以，故D正确．
故选BD．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的概念，性质和几何意义，考查直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，是拔高题．
当与平行的直线与椭圆相切于点时，的面积最大，设出切线方程与椭圆方程联立利用求出直线方程，再计算出到直线的距离结合面积即可求出，再根据椭圆的定义得，利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：如图，
当与平行的直线与椭圆相切于点时，的面积最大，
依题意，，，，
设切线为由图可知．
，化为
，
，解得．
，
直线：，过点的切线：，
点到直线的距离，
，
的面积，
，
所以椭圆的标准方程为，其中，
所以点、为椭圆的左右焦点，
．
，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程和余弦定理，考查运算求解能力和数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．
先求得和，利用，得，得，，即可得双曲线的标准方程．
【解答】
解：如图，
根据点到直线的距离公式可得点到直线的距离为．
设双曲线的左焦点为，连接，则．
在中，设，则在中，由余弦定理得，将代入整理后得，同理因为，所以，将其代入，解得，，因此所求方程为．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，属于中档题．
画出图形，利用抛物线的定义结合三角形的周长，转化求解即可．
【解答】
解：如图所示：
抛物线的焦点，准线为：，
过点作，垂足为点，
由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，
则的周长，
当直线与圆相切时，则点、重合，
根据抛物线的对称性，不妨设此时，则；
当直线过点时，点、、三点共线，
则．
由于、、不能共线，且、不能重合，
则，
所以，即，
因此的周长的取值范围是．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义的应用、数形结合思想方法和三角形的相似的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
作图分别过点，做，，垂足分别为，，通过三角形的相似，化简求解即可．
【解答】
解：如图所示，分别过点，做，，垂足分别为，，
设，由，
则，，
，
即，
解得，
则，
故答案为：．

17.【答案】解：Ⅰ设的坐标为，
依题意可得
解得，，，
于是，
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．
Ⅱ直线的方程为，由题意，设直线的方程为，
联立方程组
解得点，故，
联立方程组
消去，整理得，
解得，或，
，
直线的方程为
，
令，解得，故D，
，
又的面积为，
，
整理得，
解得，，
直线的方程为，或．
【解析】本题考查椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．
Ⅰ根据椭圆和抛物线的性质列方程组求出，，即可得出方程．
Ⅱ设方程为，联立方程组得出，，三点坐标，从而得出直线的方程，解出点坐标，根据三角形的面积列方程解出即可得出答案．
18.【答案】解：由题意，，
，
又以为直径的圆和恰好有两个交点，即，
又，
，
的方程为．
由题意知，直线、的斜率存在且不为零，
设过的切线，
联立椭圆方程，消去，
得，
由直线与椭圆相切，则，
整理可得易知，
设直线、的斜率分别为、，它们是上述方程的两根，
，整理得，则，
，
易知：当时，有，
，
，即的取值范围是．

【解析】本题以直线与椭圆为载体，以椭圆的双切线切点弦性质为背景，利用代数方法解决几何问题，考查逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于较难题．
利用椭圆和圆的性质求出，，即可得椭圆方程；设过的切线，联立椭圆方程，表示出，得到，即可得解．
19.【答案】解：因为双曲线的离心率为，
则，，可得，
由已知，将代入，可得，
由，即，
所以，故双曲线的方程为；
依题意，设，，
由可得，
所以解得，
且
所以，
设，，
由得，同理，
所以，
所以，其中，
因为，故的取值范围是

【解析】本题主要考查的是双曲线的标准方程及直线与双曲线位置关系的综合应用，难度较大．
由离心率为得，再结合点满足双曲线方程及的面积求出方程；
联立直线与双曲线方程及渐近线方程，结合弦长公式求出、，进而求出值，再求范围．
20.【答案】解：根据题意，由离心率，又，所以，
又右顶点为，即，所以，故双曲线的标准方程为．
设直线的方程为，设、，则由，消去整理得到，
则，解得．
因此，
，故，
故，
故的取值范围是．
【解析】本题考查双曲线的几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于较难题．
依题意可得关于，，的等式，求出、，从而求出双曲线方程；
设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，可得关于的不等式组，即可求出的范围，根据向量数量积的坐标表示得到，即可求出的范围；
21.【答案】解：Ⅰ根据题意，
解得，
因此抛物线的方程为；
Ⅱ设，，
，，
，
整理得，
设，
代入上述方程，得，，
因此直线的方程为，
所以直线过定点，
由，整理得，
，，
，
点到直线的距离为，
，
当且仅当时，取得最小值．
【解析】本题考查抛物线的方程、点到直线的距离及直线与抛物线的关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
Ⅰ根据题意可得，求得的值，进而即可求得结果；
Ⅱ根据题意求得直线的方程为，可得直线过定点，由，整理得，求得及点到直线的距离，进而即可求得结果．
22.【答案】证明：因为抛物线方程为，所以，，切线的斜率为，
又点，的方程为：，即，点坐标是，
又焦点坐标为，于是，
又抛物线的准线方程为，则，，为等腰三角形，
设为坐标原点，，的纵坐标分别为，，
则有，于是为中点，，
当时，，此时，，
抛物线的方程为．
解：设，，显然，
由得方程：
同理方程，联立，所以，
因为直线的方程为：，所以，，
所以，
所以，
，
当且仅当时取等号，
令，
，
令，，
当，单调递减，，单调递增，
，当且仅当时取“”，此时．
所以面积的最小值为，此时的值为．

【解析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于较难题．
设的坐标，可得的方程，从而可得的坐标，进而可得，即为等腰三角形，且为的中点，利用，，即可求抛物线方程；
设，联立与的方程，可得的坐标，求出，的坐标，可得面积，再利用导数的方法，可求面积的最小值，从而可得结论．
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