人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（困难）（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（困难）（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 10:31:37 | ||
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文档简介
人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
对于任意非零向量，，给出下面三个命题：
；
，；
若，则为单位向量．
其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
在正方体中，，分别为的中点，则( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
在正方体中，点满足，且，若二面角的大小为，为的中心，则( )
A. B. C. D.
如图所示，圆锥的轴截面是等边三角形，点是线段上靠近的三等分点，点在底面圆上，且，则直线，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则( )
A. B. C. D.
如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是( )
A.
B.
C.
D.
在正四面体中，点在线段上运动不含端点设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则
A. 若平面，则
B. 存在点与直线，使平面
C. 存在点与直线，使
D.
多选题已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的有( )
A. 向量的模是
B. 可以构成空间的一个基底
C. 向量和夹角的余弦值为
D. 向量与共线
如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则( )
A.
B.
C.
D. 二面角的余弦值为
在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
在正方体中，，分别为，的中点，有以下命题：
平面；；平面平面，
则正确命题的序号为__________．
如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后．某学生得出下列四个结论：
； ；
三棱锥是正三棱锥；
平面的法向量和平面的法向量互相垂直．
其中正确的结论是 写出所有正确结论的序号
如下图，点在长方体的体对角线上不包含线段端点，若，则下列结论正确的有________．
存在点，使直线与平面所成角为直角；
无论点在何位置，都有；
当时，平面．
如图，正四棱柱的底面边长为，记，若，则此棱柱的体积为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
如图所示，已知在矩形中，，，沿对角线折叠，使平面与平面垂直，求线段的长．
如图，三棱锥，底面是边长为的正三角形，，平面平面C.
证明：平面：
若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的正弦值．
如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，满足，
求的值；
求二面角的余弦值．
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
如图，在三棱柱中，．
求证：；
若，，点满足，求二面角的余弦值．
如图，平面，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的基本概念，属于基础题．
对每个选项，分别判断正误即可得．
【解答】
解：因为任意非零向量，，
需满足时成立，故此项错误；
，故此项正确；
若，则，则为单位向量，故此项错误．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了面面垂直的判定，面面平行的判定，空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的数量积及运算律，空间向量的加减运算及数乘运算，利用空间向量判定垂直，平行关系的应用，
证明平面，即可判断；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断．
【解答】
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，属于基础题．
用空间向量解答，由展开可得答案．
【解答】
解：，
即
，
．
故选 A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角，空间共面向量定理，属于中档题．
题设可知平面，作于，证明即为的平面角，所以，设正方体棱长为，中，，则，在中，即可解决．
【解答】
解：如图：
设正方体中心为，由题设可知平面，
平面平面，由正方体性质平面，且平面，
所以作于，连，则即为的平面角，所以．
设正方体棱长为，中，，则
在中，所以．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的结构特征、空间角，考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
根据已知及空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的数量积及运算律，空间向量的加减运算及数乘运算，异面直线所成角的计算，求出直线，夹角的余弦值．
【解析】
如图所示：
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系
不妨设，则，
，，，
故，
，
故直线，之间夹角的余弦值．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共面定理，空间向量的数量积的坐标运算，空间向量的模、夹角与距离求解问题，属于中档题．
由题意，求出，，不妨把向量，放到空间直角坐标系的平面中，设，，再设，由，得，，则，而是平面中的任意向量，由知点到平面的距离为，可得，即可求得
【解答】
解：，是单位向量，，，，
又，，，，
不妨把向量，放到空间直角坐标系的平面中，
设，，
再设，由，得，
，则，
而是平面中的任意向量，
由知点到平面的距离为，
故，则，
，
又，
即，
，解得
综上，，，．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量研究线面平行及线面角，建立空间坐标系，属于拔高题．
利用线面平行得点坐标满足的关系，然后求解线面角的正切的范围即可．
【解答】
解： 建立如下图所示的空间坐标系，
不妨设正方体棱长为，
则，，
由已知设，、，
，
设平面的法向量为，
由已知有
令，则，
所以由平面，
得，
即，，
所以，
因为平面的法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为
，
则正切值，
令，，
则，
所以．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量求线面角，并比较大小，属于拔高题．
根据题意把正四面体放在正方体中求解，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值并比较大小作答．
【解答】
解：把正四面体放在正方体中，如下图所示，不妨设正方体的棱长为，则
，，，，
，设，
，，
，
面，是平面的法向量，
设平面的法向量为，联立
，取平面的法向量为
同法可求得，
，，
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，线面垂直的判定，向量的数量积，空间向量的共线共面定理及其应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于综合题．
对于，由线面平行的性质定理即可判定；对于，当时，棱上取点使得，由线线垂直证明线面垂直即可判定；对于，计算并判断大于即可判定；对于，由向量运算可得，再由向量共线可得，最后由因为，，，四点共面即可证明判定．
【解答】
解：对于，平面，平面平面，且平面，所以，故A正确；
对于，设正四面体的棱长为，由题意当时，由点是正四面体底面的中心，且过点，可得，在棱上取点使得，则，即，同理，，而，且平面，平面，所以平面，即平面，故B正确；
对于，，故C不正确；
对于，设为的中点，则，又因为，，均三点共线，所以，，．
设，，，所以，
因为，，，四点共面，所以，又因为，所以，所以，即故D正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
，
，故A中结论错误
空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，
、，均为非零向量，
，，，
、，两两垂直，则可以构成空间的一个基底，故B中结论正确
，
故C中结论正确
，
，同理可得，
，
， ，故D中结论错误．
11.【答案】
【解析】依题意可知，，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，，则，，，，，，，，所以，，因为，所以，即，解得或舍去，所以，，故A不正确 ，故B正确因为 ，所以 ，故C不正确取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，由，得，取，则是平面的一个法向量，所以，，所以二面角的余弦值为，故D正确故选BD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量研究直线与平面，直线与直线的位置关系，考查计算能力．
由题意，建立空间直角坐标系，根据选项逐一计算可得．
【解答】
解：直三棱柱中，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
，，分别是，的中点，在线段上，
，，，，，，
设，，
对于，为平面的一个法向量，，
则，
又不在平面内，
平面，故A正确；
对于，当是上的中点时，，，，
则，
与不垂直，故B错误；
对于，为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于，设，
则，，
设直线与直线所成角为，
则，
当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，线面平行的判定，面面垂直的判定，利用空间向量判定线线，线面，面面的平行与垂直关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于较难题．
由题意，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为，利用空间向量可判断命题的正确性与否．
【解答】
解：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体棱长为，
则，，，，，，，，
对于，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，得，
，
与平面的法向量垂直，
又平面，
，故正确；
对于，，
，
，即，故正确；
对于，在正方体中，由于平面，
是平面平面的一个法向量，
又，
设平面的法向量为，
，即
取，则，，
，
则，
与不垂直，故平面与平面不垂直，故不正确．
故正确命题的序号为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查折叠问题、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于拔高题．
建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式与夹角公式求解即可．
【解答】
解：以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由题意，令，则，，，，
则，
所以，故错误；
又因为，
所以，
所以，故正确；
由题意，，
又，
所以三棱锥是正三棱锥，故正确；
易知平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
因为，
所以不垂直，故错误，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判定，线面角，线面平行的判定，属于中档题．
【解答】
解：建立如图所示直角坐标系，由题意知，
，，，，
则，，，
设，
则，
因为，
所以只要，就会有直线与平面所成角为直角，
即，解得，故正确；
，
，
由二次函数性质可知，当时，，有，
当时，，有，故错误；
当时，，
，
又平面，所以平面，故正确；
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．
建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高，求出的坐标，由数量积为求得，则棱柱的体积可求．
【解答】
解：建立如图所示空间直角坐标系，
设，又，
则，，，，
，，
，，即．
此棱柱的体积为．
故答案为：．
17.【答案】解 过点和分别作于，于图略．
则由已知条件可知，
所以，．
由已知得，
所以．
因为，
所以
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，即，
所以，
所以，
故线段的长是．
【解析】略
18.【答案】证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，
，，是的中点，所以，，
又，，平面，
所以平面，平面，；
，是的中点，所以，
平面平面，平面平面，
平面，所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，建系如图所示，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，所以可取，
设与平面所成的角为，
则，解得，
从而，，
设平面的法向量为，
所以可取，
设平面与平面所成角为，
所以，所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题主要考查了线面垂直的判定和直线与平面所成角以及二面角，属于较难题．
根据题意，先取的中点，的中点，连接，，；利用线面垂直的判定，经过推导即可求出答案；
设，先构造空间直角坐标系，得到，，；然后设平面的法向量为，列出方程组进而解出值，再求得平面的一个法向量，即可求解．
19.【答案】解：底面，，以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，．
由为棱的中点，得．
Ⅰ证明：向量，，
故．
所以，．
Ⅱ解：向量，，，．
，．
故．
由，得，因此，，解得
由可知．
设为平面的法向量，
则即
不妨令，可得为平面的一个法向量．
取平面的法向量，
则．
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．
【解析】本题主要考查的是空间向量在空间几何中的应用，属于拔高题．
Ⅰ 结合两线的方向向量证明即可；
Ⅱ根据空间向量的坐标运算可求解；
求出两面的法向量，利用法向量夹角求解即可．
20.【答案】解：，
；
，
．
．
【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加法、减法与数量积运算，属于拔高题目．
确定基底，利用空间向量的加减运算得出即可；
确定基底，利用空间向量的数量积运算得出即可．
21.【答案】解：四边形为菱形，
又，取中点，连接，
又，，平面
平面
又平面
，，
，
在中，，故
在中，有，
又，，平面
底面
故可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系
则，，，， ，
点满足，
，，
设平面的法向量，
则
令，则，，
所以，
由于底面，则为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则，
由图知，二面角为锐角，
二面角的余弦值为
【解析】本题主要考查了线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的加减运算与数乘运算，空间向量的数量积及运算律，二面角的应用，
根据已知及线面垂直的判定，可知是否成立；
根据已知及空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的加减运算与数乘运算，空间向量的数量积及运算律，二面角的计算，求出二面角的余弦值．
22.【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图，
可得，，，，．
设，则．
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，所以平面．
依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得．
因此有，．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
设为平面的法向量，，
则，即，
不妨令，可得
由题意，有，，
解得．
经检验，符合题意．
所以，线段的长为．
【解析】空间向量是解决立体几何问题的主要工具，因此，建立空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标是解决立体几何问题的关键．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；
求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值；
求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为，列式求线段的长．
第2页，共2页
第1页，共1页
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
对于任意非零向量，，给出下面三个命题：
；
，；
若，则为单位向量．
其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
在正方体中，，分别为的中点，则( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
在正方体中，点满足，且，若二面角的大小为，为的中心，则( )
A. B. C. D.
如图所示，圆锥的轴截面是等边三角形，点是线段上靠近的三等分点，点在底面圆上，且，则直线，夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则( )
A. B. C. D.
如图，正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是( )
A.
B.
C.
D.
在正四面体中，点在线段上运动不含端点设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则
A. 若平面，则
B. 存在点与直线，使平面
C. 存在点与直线，使
D.
多选题已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的有( )
A. 向量的模是
B. 可以构成空间的一个基底
C. 向量和夹角的余弦值为
D. 向量与共线
如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则( )
A.
B.
C.
D. 二面角的余弦值为
在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
在正方体中，，分别为，的中点，有以下命题：
平面；；平面平面，
则正确命题的序号为__________．
如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后．某学生得出下列四个结论：
； ；
三棱锥是正三棱锥；
平面的法向量和平面的法向量互相垂直．
其中正确的结论是 写出所有正确结论的序号
如下图，点在长方体的体对角线上不包含线段端点，若，则下列结论正确的有________．
存在点，使直线与平面所成角为直角；
无论点在何位置，都有；
当时，平面．
如图，正四棱柱的底面边长为，记，若，则此棱柱的体积为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
如图所示，已知在矩形中，，，沿对角线折叠，使平面与平面垂直，求线段的长．
如图，三棱锥，底面是边长为的正三角形，，平面平面C.
证明：平面：
若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的正弦值．
如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，满足，
求的值；
求二面角的余弦值．
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
如图，在三棱柱中，．
求证：；
若，，点满足，求二面角的余弦值．
如图，平面，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的基本概念，属于基础题．
对每个选项，分别判断正误即可得．
【解答】
解：因为任意非零向量，，
需满足时成立，故此项错误；
，故此项正确；
若，则，则为单位向量，故此项错误．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了面面垂直的判定，面面平行的判定，空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的数量积及运算律，空间向量的加减运算及数乘运算，利用空间向量判定垂直，平行关系的应用，
证明平面，即可判断；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断．
【解答】
解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，属于基础题．
用空间向量解答，由展开可得答案．
【解答】
解：，
即
，
．
故选 A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角，空间共面向量定理，属于中档题．
题设可知平面，作于，证明即为的平面角，所以，设正方体棱长为，中，，则，在中，即可解决．
【解答】
解：如图：
设正方体中心为，由题设可知平面，
平面平面，由正方体性质平面，且平面，
所以作于，连，则即为的平面角，所以．
设正方体棱长为，中，，则
在中，所以．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的结构特征、空间角，考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
根据已知及空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的数量积及运算律，空间向量的加减运算及数乘运算，异面直线所成角的计算，求出直线，夹角的余弦值．
【解析】
如图所示：
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系
不妨设，则，
，，，
故，
，
故直线，之间夹角的余弦值．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共面定理，空间向量的数量积的坐标运算，空间向量的模、夹角与距离求解问题，属于中档题．
由题意，求出，，不妨把向量，放到空间直角坐标系的平面中，设，，再设，由，得，，则，而是平面中的任意向量，由知点到平面的距离为，可得，即可求得
【解答】
解：，是单位向量，，，，
又，，，，
不妨把向量，放到空间直角坐标系的平面中，
设，，
再设，由，得，
，则，
而是平面中的任意向量，
由知点到平面的距离为，
故，则，
，
又，
即，
，解得
综上，，，．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量研究线面平行及线面角，建立空间坐标系，属于拔高题．
利用线面平行得点坐标满足的关系，然后求解线面角的正切的范围即可．
【解答】
解： 建立如下图所示的空间坐标系，
不妨设正方体棱长为，
则，，
由已知设，、，
，
设平面的法向量为，
由已知有
令，则，
所以由平面，
得，
即，，
所以，
因为平面的法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为
，
则正切值，
令，，
则，
所以．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量求线面角，并比较大小，属于拔高题．
根据题意把正四面体放在正方体中求解，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值并比较大小作答．
【解答】
解：把正四面体放在正方体中，如下图所示，不妨设正方体的棱长为，则
，，，，
，设，
，，
，
面，是平面的法向量，
设平面的法向量为，联立
，取平面的法向量为
同法可求得，
，，
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，线面垂直的判定，向量的数量积，空间向量的共线共面定理及其应用，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于综合题．
对于，由线面平行的性质定理即可判定；对于，当时，棱上取点使得，由线线垂直证明线面垂直即可判定；对于，计算并判断大于即可判定；对于，由向量运算可得，再由向量共线可得，最后由因为，，，四点共面即可证明判定．
【解答】
解：对于，平面，平面平面，且平面，所以，故A正确；
对于，设正四面体的棱长为，由题意当时，由点是正四面体底面的中心，且过点，可得，在棱上取点使得，则，即，同理，，而，且平面，平面，所以平面，即平面，故B正确；
对于，，故C不正确；
对于，设为的中点，则，又因为，，均三点共线，所以，，．
设，，，所以，
因为，，，四点共面，所以，又因为，所以，所以，即故D正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
略
【解答】
，
，故A中结论错误
空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，
、，均为非零向量，
，，，
、，两两垂直，则可以构成空间的一个基底，故B中结论正确
，
故C中结论正确
，
，同理可得，
，
， ，故D中结论错误．
11.【答案】
【解析】依题意可知，，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系设，，则，，，，，，，，所以，，因为，所以，即，解得或舍去，所以，，故A不正确 ，故B正确因为 ，所以 ，故C不正确取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，，由，得，取，则是平面的一个法向量，所以，，所以二面角的余弦值为，故D正确故选BD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量研究直线与平面，直线与直线的位置关系，考查计算能力．
由题意，建立空间直角坐标系，根据选项逐一计算可得．
【解答】
解：直三棱柱中，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
，，分别是，的中点，在线段上，
，，，，，，
设，，
对于，为平面的一个法向量，，
则，
又不在平面内，
平面，故A正确；
对于，当是上的中点时，，，，
则，
与不垂直，故B错误；
对于，为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C正确；
对于，设，
则，，
设直线与直线所成角为，
则，
当，即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，线面平行的判定，面面垂直的判定，利用空间向量判定线线，线面，面面的平行与垂直关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于较难题．
由题意，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为，利用空间向量可判断命题的正确性与否．
【解答】
解：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体棱长为，
则，，，，，，，，
对于，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，得，
，
与平面的法向量垂直，
又平面，
，故正确；
对于，，
，
，即，故正确；
对于，在正方体中，由于平面，
是平面平面的一个法向量，
又，
设平面的法向量为，
，即
取，则，，
，
则，
与不垂直，故平面与平面不垂直，故不正确．
故正确命题的序号为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查折叠问题、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于拔高题．
建立空间直角坐标系，利用向量的数量积公式与夹角公式求解即可．
【解答】
解：以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由题意，令，则，，，，
则，
所以，故错误；
又因为，
所以，
所以，故正确；
由题意，，
又，
所以三棱锥是正三棱锥，故正确；
易知平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
因为，
所以不垂直，故错误，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判定，线面角，线面平行的判定，属于中档题．
【解答】
解：建立如图所示直角坐标系，由题意知，
，，，，
则，，，
设，
则，
因为，
所以只要，就会有直线与平面所成角为直角，
即，解得，故正确；
，
，
由二次函数性质可知，当时，，有，
当时，，有，故错误；
当时，，
，
又平面，所以平面，故正确；
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．
建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高，求出的坐标，由数量积为求得，则棱柱的体积可求．
【解答】
解：建立如图所示空间直角坐标系，
设，又，
则，，，，
，，
，，即．
此棱柱的体积为．
故答案为：．
17.【答案】解 过点和分别作于，于图略．
则由已知条件可知，
所以，．
由已知得，
所以．
因为，
所以
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，即，
所以，
所以，
故线段的长是．
【解析】略
18.【答案】证明：如图，取的中点，的中点，连接，，，
，，是的中点，所以，，
又，，平面，
所以平面，平面，；
，是的中点，所以，
平面平面，平面平面，
平面，所以平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，建系如图所示，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
，所以可取，
设与平面所成的角为，
则，解得，
从而，，
设平面的法向量为，
所以可取，
设平面与平面所成角为，
所以，所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题主要考查了线面垂直的判定和直线与平面所成角以及二面角，属于较难题．
根据题意，先取的中点，的中点，连接，，；利用线面垂直的判定，经过推导即可求出答案；
设，先构造空间直角坐标系，得到，，；然后设平面的法向量为，列出方程组进而解出值，再求得平面的一个法向量，即可求解．
19.【答案】解：底面，，以为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，．
由为棱的中点，得．
Ⅰ证明：向量，，
故．
所以，．
Ⅱ解：向量，，，．
，．
故．
由，得，因此，，解得
由可知．
设为平面的法向量，
则即
不妨令，可得为平面的一个法向量．
取平面的法向量，
则．
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．
【解析】本题主要考查的是空间向量在空间几何中的应用，属于拔高题．
Ⅰ 结合两线的方向向量证明即可；
Ⅱ根据空间向量的坐标运算可求解；
求出两面的法向量，利用法向量夹角求解即可．
20.【答案】解：，
；
，
．
．
【解析】本题考查空间向量基本定理及空间向量的加法、减法与数量积运算，属于拔高题目．
确定基底，利用空间向量的加减运算得出即可；
确定基底，利用空间向量的数量积运算得出即可．
21.【答案】解：四边形为菱形，
又，取中点，连接，
又，，平面
平面
又平面
，，
，
在中，，故
在中，有，
又，，平面
底面
故可以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系
则，，，， ，
点满足，
，，
设平面的法向量，
则
令，则，，
所以，
由于底面，则为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则，
由图知，二面角为锐角，
二面角的余弦值为
【解析】本题主要考查了线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的加减运算与数乘运算，空间向量的数量积及运算律，二面角的应用，
根据已知及线面垂直的判定，可知是否成立；
根据已知及空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的加减运算与数乘运算，空间向量的数量积及运算律，二面角的计算，求出二面角的余弦值．
22.【答案】解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向的空间直角坐标系如图，
可得，，，，．
设，则．
依题意，是平面的法向量，
又，可得，则，
又因为直线平面，所以平面．
依题意，，，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得．
因此有，．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
设为平面的法向量，，
则，即，
不妨令，可得
由题意，有，，
解得．
经检验，符合题意．
所以，线段的长为．
【解析】空间向量是解决立体几何问题的主要工具，因此，建立空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标是解决立体几何问题的关键．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；
求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得直线与平面所成角的余弦值，进一步得到直线与平面所成角的正弦值；
求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为，列式求线段的长．
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