21.3 实际问题与一元二次方程同步练习（含答案）

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21.3实际问题与一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
某蔬菜种植基地年的蔬菜产量为吨，年的蔬菜产量为吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为，则年平均增长率应满足的方程为( )
A. B.
C. D.
如图，是两条互相垂直的街道，且到，的距离都是，现甲从地走向地，乙从地走向地，若两人同时出发且速度都是，则两人之间的距离为时，是甲出发后( )
A. B. C. 或 D. 或
甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶”从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
如图，某小区有一块长为米，宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是( )
A. B.
C. D.
如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动，当的面积是的面积的三分之一时，经过的时间是 ( )
A. B. C. 或 D. 或
有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式每两个队之间赛一场，现计划安排场比赛，则邀请的参赛队数是( )
A. B. C. D.
有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A. B. C. D.
某商场销售某种水果，第一次降价，第二次又降价，则这两次平均降价的百分比是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始运动．点的速度为，点的速度为，点运动到点停止，点运动到点后停止．经过多长时间，能使的面积为( )
A. B. C. D.
某商品经过两次降价后每件的售价由原来的元降到了元．则平均每次降价的百分率为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分阴影部分可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．
某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的元降到元，则平均每次降价的百分率为 ．
如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是，则经过 后，，两点之间相距．
如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，速度是同时，动点从点出发，沿方向运动，速度是，则经过________________后，，两点之间相距．
三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
某小区在绿化工程中有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，求人行通道的宽度．
本小题分
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为，求原来的两位数．
本小题分
某校团体操表演队伍有行列，后又增加了人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列
本小题分
有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．
已知，，并且四块草坪的面积和为平方米，请求出每条道路的宽为多少米
已知，，并且四块草坪的面积和为平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米．
本小题分
某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满客房定价每提高元，就会有个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元天的维护费用设每间客房的定价提高了元．
填表不需化简
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前
提价后
若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元纯收入总收入总维护费用
本小题分
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设剪去小正方形的边长是，
则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选D．

2.【答案】
【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据该种植基地年及年的蔬菜产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据勾股定理列出一元二次方程．
设甲出发后，两人之间的距离为，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解答】
解：设甲出发后，两人之间的距离为，根据勾股定理，得
，
，
解得：或．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为米得出等式是解题关键．设人行道的宽度为米，根据矩形绿地的面积之和为米，列出一元二次方程．
【解答】
解：设人行道的宽度为米，根据题意得，
，
化简整理得，．
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒，的面积是的面积的三分之一，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【解答】
解：设经过秒，的面积是的面积的三分之一，
则，，，
由题意，得
，
解得：，．
答：设经过秒或秒，的面积等于面积的．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人，根据经过两轮传染后共有人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．设：应该邀请个球队参加，由题意得： ，即可求解．
【解答】
解：设：应该邀请个球队参加，
由题意得： ，
解得：或舍去，
应邀请个球队参赛．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
【解答】
解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，
即，
解方程得，舍去，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次方程的运用，即平均增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
设这两次平均降价的百分比是，则两次降价后的价格是，根据第一次降价，第二次又降价表示出两次降价的价格列出方程求解即可．
【解答】
解：设这两次平均降价的百分比是，
则
解得，舍去，
则这两次平均降价的百分比是．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设出动点，运动秒，能使的面积为，用分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】
解：设动点，运动后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得，当时，，不合题意，舍去．
动点，运动时，能使的面积为．
故选B．

12.【答案】
【解析】解：设平均每次降价的百分率为，则有：
，舍
故选：．
设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合问题的实际意义，对所得的解进行取舍即可．
本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设底面长为，宽为，正方形的边长为，根据题意得：
，
解得，，
代入中，得：
，
整理得：，
解得或舍去，
答；剪去的正方形的边长为．
故答案为：．
根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的应用设平均每次降价的百分率为，等量关系为：原价下降率，把相关数值代入，列出方程，解之即可．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为，
第一次降价后的价格为，
第二次降价后的价格为，
，
解得：，舍去，
平均每次降价的百分率为．

15.【答案】或
【解析】略
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
设秒后、两点相距，用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：设秒后、两点相距，
则，，
由题意得，，
解得，，，
则秒或秒后、两点相距．
故答案是：或．
17.【答案】解：设人行通道的宽度是米，则两块绿地可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：人行通道的宽度是米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设人行通道的宽度是米，则两块绿地可合成长为米，宽为米的矩形，根据两块绿地的面积之和为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
18.【答案】解：设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，依题意得：
，
解这个方程得，，
当时，，
当时，，
原来的两位数是或．
答：原来的两位数是或．
【解析】本题考查理解题意能力，可看出本题是数字问题，数字问题关键是设法，设个位上的数字或十位上的数字，然后根据题目所给的条件列方程求解．
设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据所得的新两位数与原来的两位数的乘积为，可列出方程求解．
19.【答案】解：设增加了行，则增加的列数为，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，舍，
答：增加了行列．
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．
20.【答案】解：当，时，四块草坪可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每条道路的宽为米．
四块矩形场地可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
．
答：原来矩形场地的长为米，宽为米．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
当，时，四块草坪可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为平米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
利用矩形的面积计算公式，结合四块草坪的面积和为平米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出原来矩形场地的宽，再将其代入中即可求出原来矩形场地的长．
21.【答案】解：；；；
依题意得：，
整理，得
，
解得，．
当时，有游客居住的客房数量是：间．
当时，有游客居住的客房数量是：间．
所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为元．
答：每间客房的定价应为元．
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
住满为间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式；
用每天的房间纯收入每间房实际定价入住量总维护费用，每间房实际定价，列出方程．
【解答】
解：增加元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，
入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是．
故答案为：；；；
见答案．
22.【答案】解：设每轮感染中平均一台电脑感染台，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮感染中平均一台电脑感染台．
【解析】设每轮感染中平均一台电脑感染台，根据经过两轮被感染后就会有台电脑被感染，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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