高中数学必修第二册-第八章8.4.1 平面 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平　面
(1)平面的概念
①平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.
无限延展
知识梳理
一、平面
常常把水平的平面画成一个 ，并且其锐角画成 ，且横边长等于邻边长的 倍
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来
(2)平面的画法
平行四边形
(3)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
45°
2
虚线
公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据
②判定点线共面
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l， 且A∈α，B∈α l α ①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
三、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
1.证明点线共面问题
常考题型
例1 如图，l1∩l2＝A， l3∩l2＝B，l1∩l3＝C，求证:直线l1，l2，l3在同一平面内.
【证明】方法一（纳入法）：
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2在同一平面α内.
因为l2∩l3＝B，所以B∈ l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
因为B∈l3，C∈l3，所以l3?α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二（重合法）：
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2?α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2?β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
因为不共线的三个点A，B，C既在平面α内，
又在平面β内，
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
◆证明线线共面的常用方法
（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.
1.下列说法中正确的是（　　）
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
训练题
C
①
2.以下3个命题中， 正确的是　　　　（填序号）.
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③依次首尾相接的四条线段必共面.
【名师点拨】
证明共面问题的主要依据：
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（公理1）；
②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.
例 已知点A，B，C在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.
求证：P，Q，R三点共线.
2.证明三点共线问题
证明：（方法一）因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈α.
因为AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
所以点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
所以P，Q，R三点共线.
（方法二）因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC?平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR.
又Q∈α，所以Q∈PR.所以P，Q，R三点共线.
◆证明多点共线的策略
证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在这两个平面的交线上；也可先由其中的两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.
求证：B，E，D1三点共线.
训练题
证明：如图，连接A1B，BD1，CD1，
因为A1C∩平面ABC1D1 ＝E，
所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
因为A1C?平面A1BCD1，
所以E∈平面A1BCD1.
因为平面A1BCD1∩平面ABC1D1＝BD1，所以E∈BD1，
所以B，E，D1三点共线.
2.已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.若A1C交平面BDEF于点R，求证：P，Q，R三点共线.
证明：如图，因为AC∩BD＝P，
所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
因为A1C∩平面DBFE＝R，
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，
所以P，Q，R三点共线.
例 如图所示，在四面体D-ABC中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定 （　　）
A.在直线DB上 B.在直线AB上
C.在直线CB上 D.A，B，C都不对
3.证明三线共点问题
【解析】　由于EF与GH的交点在EF上，故在平面ABD上.同理，由于EF与GH的交点在GH上，故在平面CBD上.故交点在这两个平面的交线DB上.
【答案】　A
◆证明三线共点的方法
证明三线共点问题可把其中一条直线作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上；还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这两点重合，从而得到三线共点.
如图，在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH，FG所在直线相交于点P，则 （　　）
A.点P必在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面DBC外
D.点P必在平面ABC内
训练题
B　解析：如图，连接EH，FG，BD.
∵ EH，FG所在直线相交于点P，
∴ P∈EH且P∈FG.
∵ EH BD，FG CD，
∴ P∈平面ABD，且P∈平面BCD.
∵ 平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴ P∈BD.
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.
规律与方法
小结