高中数学必修第二册-第八章8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
1.掌握空间中直线与直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念.
3.理解直线与平面位置关系的定义.
4.理解平面与平面位置关系的定义.
重点：空间两条直线的位置关系；直线与平面，平面与平面的位置关系.
难点：对异面直线的理解，直线与平面，平面与平面位置关系中文字语言、图形语言和符号语言的转化.
一、空间中点与直线、平面的位置关系
空间中点与直线的位置关系有两种：
点在直线上和点在直线外.如图，点A在直线AB上，在直线A′B′外.
空间中点与平面的位置关系也有两种：
点在平面内和点在平面外.如图，点A在平面ABCD内，在平面A′B′C′D′外.
知识梳理
二、空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
任何一个
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
平行
异面
相交
平行
②从是否共面的角度来分：
相交
异面
2.空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
三、直线与平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数
两平面平行 ______ 0个
两平面相交 _________ _____________
平面α与平面β的位置关系
α∥β
α∩β＝l
无数个点(共线)
四、两个平面的位置关系
一、两直线位置关系的判定
例 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是_______；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；
④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.
常考题型
【解析】两直线的位置关系主要依据定义判断.
由题图知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”，同理可得直线AB与直线B1C “异面”，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”.
【答案】①平行　②异面　③相交　④异面
◆判定异面直线的方法
（1）定义法：由定义判断出两直线不同在任何一个平面内.
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.（如图所示）.
1.如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则 （　　）
A.GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线
B.GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线
C.GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线
D.GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有 （　　）
A.8条 B.6条 C.4条 D.2条
训练题
C
A
二　直线与平面的位置关系的判定
例 下列说法中正确的个数是（　　）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确，
说法①不正确，相交时也符合；说法②不正确，图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；说法③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；说法④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点.
【答案】B
◆判断直线与平面之间位置关系的依据
1.要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义：
（1）在直线和平面的三种位置关系中，一种位置关系的反面是另外两种位置关系；
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点，“有且只有”包含两层含义，即“有”表示存在，“只有”表示唯一.
2. 要有画图的意识，运用空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题.
训练题
1.给出下列四个说法：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b α，则a∥α；
④若a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，其中正确的个数为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
2
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱中，与平面BC1D1平行的棱共有
　　　　 条
3.若P∈l，P∈α，Q∈l，Q α，则直线l与平面α有　　　　个公共点.
1
◆判断直线与平面之间位置关系的方法
（1）判断直线在平面内，需找到直线上两点在平面内，根据公理1知直线在平面内.
（2）判断直线与平面相交，根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
（3）判断直线与平面平行，可根据定义判断直线与平面没有公共点，也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况，从而判断直线与平面平行.
三 　平面与平面位置关系的判定
例 已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有 （　　）
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条　 　 D.1条或2条或3条
【解析】　分类讨论：当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线；
当β∩γ＝b，α∩β＝a，α∩γ＝c时，有3条交线.
【答案】　D
D
◆面面位置关系的两种判定方法
（1）定义法：仔细分析题目条件，将自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系.
（2）借助几何模型判断：线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.
1. 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（　　）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定
训练题
C
C
2.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（　　）
A.0个 B.1个 C.0个或1个 D.1个或2个
四　平面划分空间问题
例 （1）一个平面可以把空间分成几部分？
（2）两个平面可以把空间分成几部分？
（3）三个平面可以把空间分成几部分？
【解】　（1）一个平面可以把空间分成2部分，如图(1).
（2）两个平面可以把空间分成3或4部分，如图(2)，(3).
　
　　
(2)　　 (3)
（3）三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分.如图(4)~(8)
　
(4)　 (5) 　(6)　 (7) (8)
【名师点拨】
线、面之间的位置关系在长方体（或正方体）中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.
已知a，b，c表示直线，α表示平面，下列四个命题正确的是（　　）
A.若a∥α，b∥α，则a∥b B.若bα，a∥b，则a∥α或aα
C.若a⊥c，b⊥c，则a∥b D.若aα，a ，b相交，则bα
训练题
B
1.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.
2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
小结