高中数学必修第二册-第八章8.3 简单几何体的表面积与体积 课件（共65张PPT）

(共65张PPT)
8.3　简单几何体的表面积与体积
第八章 立体几何初步
知识梳理
一、 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
【特别提醒】　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
【拓展】 棱柱、棱锥、棱台的体积公式它们之间的关系
因此，棱柱可以看作上、下底面相同的棱台，棱锥可以看作有一个底面是一个点的棱台.因此，棱柱、棱锥可以看作“特殊”的棱台，棱柱、棱锥的体积公式可以看作棱台体积公式的“特殊”形式.
二. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
2. 圆柱、圆锥、圆台的体积
三.柱体、锥体、台体的体积公式
柱、锥、台的体积公式之间的关系：当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.
四. 球的表面积和体积
2.球的体积
本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享
如果资料过期或者不完善请进群共享下载
【知识拓展】多面体的内切球与外接球问题
1.多面体的内切球（球在多面体内）
一.　棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算
常考题型
【方法技巧】
棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法
棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.
多面体的体积的计算方法
计算多面体的体积要把握多面体的结构特征，找准高线.
二.　圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算
【方法技巧】圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好空间几何体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图.
（2）依次求出各个平面图形的面积.
（3）将各平面图形的面积相加.
【名师点拨】
求台体的表面积时，关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图，将空间问题平面化，也是解决问题的重要方法.
例 2 若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为　　　　.
训练题
1.已知圆台的上底面半径是2，下底面半径是3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的表面积为　　　　.
【方法技巧】旋转体的体积的计算方法
计算旋转体的体积要注意旋转体的旋转轴，找准高线.
三.　球的体积与表面积的计算
例1 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 （　　）
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】　如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C.
【答案】　C
例2 已知△ABC的三个顶点都在球O的球面上，且AB＝，AC＝2，BC＝6.若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积.
【解题提示】　由三边长知△ABC是直角三角形，斜边的中点为△ABC的外接圆圆心，进而可求球的半径.
【解】　∵ AB＝，AC＝2，BC＝6，∴ AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形.
∴ 平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆.
由已知球心O与截面圆圆心的距离为4，
∴ 球的半径R＝＝5.
∴ 球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝πR3＝.
训练题
1.已知三棱锥A-BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝，BC＝2，则利用“圆周率的平方除以十六等于八分之五”可得球O的表面积为 （　　）
A.30 B. C.33 D.
B　解析：因为BC⊥CD，BC＝2，CD＝，所以BD＝.又AB⊥平面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.
利用结论可得＝，则π＝，
所以球O的表面积为4π＝10π＝.故选B.
2.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 （　　）
A.1.5倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
C　解析：设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的体积V大＝（3x）3＝36πx3，其余两球的体积之和V和＝ x3+（2x）3＝12πx3，∴ V大＝3V和.
求球的体积与表面积的关键
因为球的表面积与体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.
四.　组合体的表面积和体积的计算
本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享
如果资料过期或者不完善请进群共享下载
组合体的表面积和体积的计算方法
求组合体的表面积与体积的关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积与体积公式计算得出.
【特别提醒】
组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面.
五.　与球相关的“切”“接”问题
例 过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为 （　　）
A. B. C. D.
C　解析：由题意画出图形，如图，设球心为O，则OA为一条半径，B为OA的中点，过点B的平面与OA所成角为30°，截面的圆心为O1，截面与球的一个交点为C，则OO1⊥截面，则OO1⊥BO1，OO1⊥CO1，∠OBO1＝30°.
设OA＝OC＝r，则OB＝r，OO1＝OB·sin 30°＝r，所以在Rt△OO1C中，CO12＝CO2-OO12，则CO1＝r，所以所得截面的面积与球的表面积的比为＝，故选C.
.
解决与球相关的“切”“接”问题的关键
解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题平面化.
球与其他多面体的切接问题
训练题
若将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，已知三棱锥P-ABC为“鳖臑”，侧棱PA与底面ABC垂直，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 （　　）
A.8π B.12π C.20π D.24π
六.　与表面积和体积有关的实际应用问题
解决与球有关的实际应用问题的策略
解决这方面的问题要把握体积不变的原则，由体积求半径.
解决与表面积和体积有关的实际应用问题的步骤
1.认真审题：将题目反复研读，提取相关信息.
2.数学建模：选择合适的数学模型，将从题目中提取的相关信息转化成数学问题.
3.解题：将转化的数学问题用相关知识解决.
4.回扣：回到题目中的问题，作出解答.
七.　易错易混问题
<1>求几何体的表面积时考虑不全致误
【解题提示】　该几何体是一个组合体，其表面积为正方体的表面积加上圆柱的侧面积减去圆柱的底面积.
【解】　正方体的表面积为4×4×6＝96（cm2），
圆柱的侧面积为2π×1×4＝8π（cm2），
圆柱的底面积为2π cm2，
则挖洞后的几何体的表面积为96+8π-2π＝（96+6π）（cm2）.
【易错提示】
几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱体、锥体、台体的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解.
<2>求几何体的体积时考虑不全致误
例 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积.