数学人教A版2019选择性必修第一册2.4.1圆的标准方程 课件（共27张ppt）

(共27张PPT)
2.4圆的方程
直线与圆的方程
2.4.1圆的标准方程
课程标准
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索与掌握圆的标准方程
新课导入
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形．
建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题．
类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程．
一
二
三
教学目标
掌握圆的定义及其标准方程
会根据圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特征
会用待定系数法求圆的标准方程，判断点与圆的位置关系
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：圆的标准方程
新知讲解
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
换句话说：圆的定义是什么？
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素．
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
新知讲解
追问1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程．
A
M
r
O
下面我们就开始探究圆的标准方程
新知讲解
问题2 圆的标准方程是什么？
建：建立直角坐标系
假设：点M的坐标为
如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心A的坐标为，半径为，为圆上任意一点，A就是以下点的集合.
设：用坐标表示有关的量
限：限制条件
代：进行有关代数运算
化：化简
根据两点间的距离公式
点M的坐标满足的条件可以表示为，
两边平方，得
概念生成
圆的标准方程：
圆心
()
半径r
圆的几何要素:
点M()在A 上，点M的坐标就满足上述方程;
反过来,若点M的坐标()满足上述方程，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在A上，这时我们把方程(1)称为圆心为A ，半径为的圆的标准方程.
新知讲解
追问1 圆心在坐标原点，半径为的圆的标准方程是什么？
概念生成
建：建立坐标系
设：用坐标表示有关的量
限：限制条件
代：进行有关代数运算
化：化简
求点M的轨迹方程方法：
这也是求轨迹方程的步骤！
新知探究
探究二：求圆的标准方程
课堂练习
例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点是否在这个圆上.
解:圆心为A(2，3) ，半径为5的圆的标准方程是
.
把点的坐标代入方程的左边，得，点M的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上．
把点的坐标代人方程的左边,得，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上
，两个点中，一个在圆上，一个点在圆内；
那我们该如何判断点与圆的位置关系？
新知探究
探究二：点与圆的位置关系
新知讲解
问题4 点 在圆内的条件是什么？在圆外的条件又是什么？
点 在圆上
新知讲解
点 在圆内
点 在圆外
判断d与r的关系，d为定点与圆心的距离。
概念生成
判断点与圆的位置关系与的关系：
（1），点在圆上
（2），点在圆外
（3），点在圆内
d为定点与圆心的距离，r为半径
新知探究
探究三：根据条件求取圆的标准方程
课堂练习
例2 已知圆心为C的圆经过两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上,只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了.
习题讲解
解:设所求的方程是 ①.
因为A(5，1)，B(7，3)，C(2，8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是，.
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组，解此方程组，得，
代人，得=25.
所以，ABC的外接圆的标准方程是.
利用待定系数法求圆的方程
ABC的外接圆的圆心是ABC的外心，即ABC三边垂直平分线的交点.
课堂练习
例3 已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上，求此圆的标准方程.
分析:设圆心C的坐标为. 由已知条件可知，|CA|=|CB|，且．由此可求出圆心坐标和半径.
设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线l：上
所以.
因为A，B是圆上两点，所以.根据两点间距离公式，有，
即.
由①②可得，．
所以圆心C的坐标是(，).
圆的半径.
所以,所求圆的标准方程是.
另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法.
习题讲解
如图，设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标为(1，1)，，可得点D的坐标为()，直线AB的斜率为.
因此，线段AB的垂直平分线l’的方程是，即.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，得，所以圆心C的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
认真分析
数形结合
习题小结
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设——设所求圆的方程为；
②列——由已知条件，建立关于的方程组；
③解——解方程组，求出；
④代——将代入所设方程，得所求圆的方程．
随堂练习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(3，4)，半径是;
(2)圆心为C(8，3)，且经过点M(5，1).
解析：(1)
(2).
随堂练习
3.已知(4，9)，(6，3）两点，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点在圆上、圆内，还是在圆外．
解析：设圆的标准方程为(r>0) ，则圆心为()，半径为r,
由题意得，，.
故所求圆的标准方程为.
将M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)的坐标分别代人圆的标准方程可得:
，点M在圆上;
，点N在圆外;
， 点Q在圆内.
随堂练习
4.已知△AOB 的三个顶点分别是点，求△AOB的外接圆的标准方程.
解析：设圆的标准方程为(r>0)
A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
，解得.
AOB外接圆的标准方程是.
待定系数法
小结
圆的标准方程：
判断点与圆的位置关系与的关系：
（1），点在圆上
（2），点在圆外
（3），点在圆内
d为定点与圆心的距离，r为半径