数学人教A版2019选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系（共43张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版2019选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系（共43张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-10 20:31:37 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
2.5.1直线与圆的位置关系
直线与圆的方程
第一课时
课程标准
能根据给定的直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系
复习回顾
问题1 我们是如何判断两条直线的位置关系的？
问题2 我们又是如何判断点与圆的位置关系？
（1）求二元一次方程组的解
（2）斜率
（3）图像（几何法）
（代数法）
（1），点在圆上
（2），点在圆外
（3），点在圆内
d为定点与圆心的距离，r为半径
（代数法）
图像（几何法）
新课导入
导
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系、以及点与圆的位置关系．
下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系．
一
二
三
教学目标
回顾初中知识，梳理与提炼直线与圆的位置关系(数形结合)，学会用代数方法判断直线与圆的位置关系
会求弦长
会求圆的的切线方程
教学目标
难点
重点
重点
新知探究
探究一：用代数方式判断直线与圆的位置关系
探究二：求取弦长
新知讲解
问题2 观察下列三副图，回答直线与圆的位置关系是怎样的？它们交点有什么变化？
直线与圆相交，有两个公共点
直线与圆相切，只有一个公共点
直线与圆相离，没有公共点
在初中，我们是如何判断直线与圆的位置关系？
利用图像！画图即可解决
新知讲解
问题3 类比直线与直线的位置关系代数方法，以及根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
下面，我们通过具体例子进行研究．
课堂练习
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
思路1:将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；
若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
代数法
练习讲解
法1：联立直线与圆C的方程，得，
消去，得，解得，.
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
把，分别代入方程①，得.
所以，直线与圆C的两个交点是
因此|AB| =.
代数法：联立方程
课堂练习
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
新知探究
解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为（0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理,得.
几何法：数形结合
概念生成
小结：判断直线,圆C的方程之间的位置关系的方法
方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
方程有0解
直线与圆相离，无交点
方法一：代数法
联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数,进而判断直线与圆的位置关系．
概念生成
方法二：几何法（数形结合）
可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小,判断直线与圆的位置关系.
若相交,则可利用勾股定理求得弦长.
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
概念生成
代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组有无实数解的情况判断直线与圆的位置关系，是完全代数的方法；具有程序性、普适性.
几何法是利用图形中的相关几何量（圆心到直线的距离、圆的半径）的大小判断直线与圆的位置关系，涉及圆心到直线距离的计算。利用图形的几何性质，有助于简化计算.（数形结合）
代数法与几何法的比较：
新知探究
探究二：圆的切线方程
新知讲解
联立方程组
消去y后得到一个一元二次方程。
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
我们该如何去求切线方程？
随堂练习
例2 过点作圆的切线，求切线的方程.
如图，点P(2，1)位于圆O:外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．
我们设切线方程为，为斜率．
由直线与圆相切可求出的值.
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，即.
由圆心（0，0)到切线的距离等于圆的半径1，得，解得=0或.
因此，所求切线的方程为y=1
或.
几何法
习题讲解
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.因为直线l与圆相切，所以方程组，只有一组解.
消元，得.
因为方程①只有一个解，所以
，
解得=0或.
所以，所求切线l的方程为=1，或.
代数法
随堂检测
1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系:
(1)，；
(2)圆C：；
(3).
议、展、评
合作探究
2．已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.
3.判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.
习题讲解
解析：设圆C的半径为r ，则，所以圆C的方程为.
小结
如何判断直线与圆的位置关系？
代数法：
方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
方程有0解
直线与圆相离，无交点
小结
如何判断直线与圆的位置关系？
几何法：
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
2.5.1直线与圆的位置关系
直线与圆的方程
第二课时：应用
课程标准
能根据给定的直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系；
数学建模、数学运算，数形结合的思想
一
二
三
教学目标
将生活中的实例建模于图像求解
能利用直线与圆的方程解决简单的数学问题与实际问题
能归纳整理用坐标法解决平面几何问题的三部曲
教学目标
难点
重点
易错点
思
新知探究
探究一：如何用方程研究直线与圆的位置关系？
新知讲解
问题1 用代数法研究直线与圆的位置关系的步骤是什么？
联立方程组
消去y(x)后得到一个一元二次方程。
方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
方程有0解
直线与圆相离，无交点
新知讲解
比较圆心到直线的距离与半径的大小关系：
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
问题2 用几何法研究直线与圆的位置关系的关键点是什么？
新知探究
探究二：用直线与圆的方程解决简单的数学问题与实际问题
新知探究
例1 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
利用平面直角坐标系解决实际问题
新知讲解
解:建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为轴，O为坐标原点，圆心在轴上．由题意，点的坐标分别为(0，4)，(10，0)．
设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是.
下面确定的值.
新知讲解
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程.于是，得到方程组. 解得，=14.52.
所以，圆的方程是.
把点P2的横坐标代入圆的方程,得，
即(P2的纵坐标y>0，平方根取正值).
所以14.36 10.5=3.86(m).
答:支柱A2P2的高度约为3.86 m.
有没有其他方法解答呢？
新知讲解
法二：如图，过点P2作 P2H OP，垂足为H.
由已知|OP|=4，|OA|=10，点C为圆拱所在圆的圆心.
在RtAOC中，有．
设圆拱所在圆C的半径是r，则有，解得r=14.5.
在RtCP2H中，有.
因为|P2H|=|OA2|=2，于是有．
又|OC|=14.5 4=10.5，于是有|OH| =|CH||CO|==3.86 ( m).
所以支柱A2P2的高度约为3.86 (m).
可以看到，运用综合法需要添加多条辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理,并多次使用勾股定理进行计算，过程比较复杂.
随堂练习
例2 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心止北30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险
O
y
x
图2.5-5
港口
轮船
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程,以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.
联系讲解
解:以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4，0).
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
;
轮船航线所在直线l的方程为，即.
联立直线l与圆O的方程，得. 消去y，得.
由，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
O
y
x
图2.5-5
港口
轮船
随堂练习
如图，设轮船开始位于轴上的A点，港口位于y轴上的B点. 利用平面几何知识，在RtAOB中，原点О到直线AB的距离即为斜边AB上的高.
因为|OA|=40 km，|OB|= 30 km，根据勾股定理，有|AB|=.
设点О到AB的距离为d，则d·|AB|=|OA|·|OB|，
所以.
因为24>20，所以这艘轮船不必改变航线，不会有触礁的危险.
几何法
练习小结
用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．
随堂练习
1．赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程
随堂练习
3．在一个平面上，机器人从与点C(5，3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变. 它在行进过程中到过点A(10，0)与B ( 0，12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少？
练习讲解
小结
用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．
2.5.1直线与圆的位置关系
直线与圆的方程
第一课时
课程标准
能根据给定的直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系
复习回顾
问题1 我们是如何判断两条直线的位置关系的？
问题2 我们又是如何判断点与圆的位置关系？
（1）求二元一次方程组的解
（2）斜率
（3）图像（几何法）
（代数法）
（1），点在圆上
（2），点在圆外
（3），点在圆内
d为定点与圆心的距离，r为半径
（代数法）
图像（几何法）
新课导入
导
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系、以及点与圆的位置关系．
下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系．
一
二
三
教学目标
回顾初中知识，梳理与提炼直线与圆的位置关系(数形结合)，学会用代数方法判断直线与圆的位置关系
会求弦长
会求圆的的切线方程
教学目标
难点
重点
重点
新知探究
探究一：用代数方式判断直线与圆的位置关系
探究二：求取弦长
新知讲解
问题2 观察下列三副图，回答直线与圆的位置关系是怎样的？它们交点有什么变化？
直线与圆相交，有两个公共点
直线与圆相切，只有一个公共点
直线与圆相离，没有公共点
在初中，我们是如何判断直线与圆的位置关系？
利用图像！画图即可解决
新知讲解
问题3 类比直线与直线的位置关系代数方法，以及根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
下面，我们通过具体例子进行研究．
课堂练习
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
思路1:将判断直线与圆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；
若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
代数法
练习讲解
法1：联立直线与圆C的方程，得，
消去，得，解得，.
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
把，分别代入方程①，得.
所以，直线与圆C的两个交点是
因此|AB| =.
代数法：联立方程
课堂练习
例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
思路2:依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
新知探究
解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为（0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理,得.
几何法：数形结合
概念生成
小结：判断直线,圆C的方程之间的位置关系的方法
方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
方程有0解
直线与圆相离，无交点
方法一：代数法
联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数,进而判断直线与圆的位置关系．
概念生成
方法二：几何法（数形结合）
可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小,判断直线与圆的位置关系.
若相交,则可利用勾股定理求得弦长.
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
概念生成
代数法是直接运用直线和圆的方程组成的方程组有无实数解的情况判断直线与圆的位置关系，是完全代数的方法；具有程序性、普适性.
几何法是利用图形中的相关几何量（圆心到直线的距离、圆的半径）的大小判断直线与圆的位置关系，涉及圆心到直线距离的计算。利用图形的几何性质，有助于简化计算.（数形结合）
代数法与几何法的比较：
新知探究
探究二：圆的切线方程
新知讲解
联立方程组
消去y后得到一个一元二次方程。
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
我们该如何去求切线方程？
随堂练习
例2 过点作圆的切线，求切线的方程.
如图，点P(2，1)位于圆O:外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．
我们设切线方程为，为斜率．
由直线与圆相切可求出的值.
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，即.
由圆心（0，0)到切线的距离等于圆的半径1，得，解得=0或.
因此，所求切线的方程为y=1
或.
几何法
习题讲解
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为.因为直线l与圆相切，所以方程组，只有一组解.
消元，得.
因为方程①只有一个解，所以
，
解得=0或.
所以，所求切线l的方程为=1，或.
代数法
随堂检测
1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系:
(1)，；
(2)圆C：；
(3).
议、展、评
合作探究
2．已知直线与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.
3.判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长.
习题讲解
解析：设圆C的半径为r ，则，所以圆C的方程为.
小结
如何判断直线与圆的位置关系？
代数法：
方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
方程有0解
直线与圆相离，无交点
小结
如何判断直线与圆的位置关系？
几何法：
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
2.5.1直线与圆的位置关系
直线与圆的方程
第二课时：应用
课程标准
能根据给定的直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系；
数学建模、数学运算，数形结合的思想
一
二
三
教学目标
将生活中的实例建模于图像求解
能利用直线与圆的方程解决简单的数学问题与实际问题
能归纳整理用坐标法解决平面几何问题的三部曲
教学目标
难点
重点
易错点
思
新知探究
探究一：如何用方程研究直线与圆的位置关系？
新知讲解
问题1 用代数法研究直线与圆的位置关系的步骤是什么？
联立方程组
消去y(x)后得到一个一元二次方程。
方程有两解
直线与圆相交，有两个交点，可通过两点坐标公式求弦长
方程有一解
直线与圆相切，有一个交点
方程有0解
直线与圆相离，无交点
新知讲解
比较圆心到直线的距离与半径的大小关系：
d＜r，直线与圆相交，有两个交点
d＝r，直线与圆相切，有一个交点
d＞r，直线与圆相离，无交点
问题2 用几何法研究直线与圆的位置关系的关键点是什么？
新知探究
探究二：用直线与圆的方程解决简单的数学问题与实际问题
新知探究
例1 图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m).
利用平面直角坐标系解决实际问题
新知讲解
解:建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为轴，O为坐标原点，圆心在轴上．由题意，点的坐标分别为(0，4)，(10，0)．
设圆心坐标是，圆的半径是r，那么圆的方程是.
下面确定的值.
新知讲解
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程.于是，得到方程组. 解得，=14.52.
所以，圆的方程是.
把点P2的横坐标代入圆的方程,得，
即(P2的纵坐标y>0，平方根取正值).
所以14.36 10.5=3.86(m).
答:支柱A2P2的高度约为3.86 m.
有没有其他方法解答呢？
新知讲解
法二：如图，过点P2作 P2H OP，垂足为H.
由已知|OP|=4，|OA|=10，点C为圆拱所在圆的圆心.
在RtAOC中，有．
设圆拱所在圆C的半径是r，则有，解得r=14.5.
在RtCP2H中，有.
因为|P2H|=|OA2|=2，于是有．
又|OC|=14.5 4=10.5，于是有|OH| =|CH||CO|==3.86 ( m).
所以支柱A2P2的高度约为3.86 (m).
可以看到，运用综合法需要添加多条辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理,并多次使用勾股定理进行计算，过程比较复杂.
随堂练习
例2 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心半径为20 km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心止北30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险
O
y
x
图2.5-5
港口
轮船
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程,以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险.
联系讲解
解:以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4，0).
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
;
轮船航线所在直线l的方程为，即.
联立直线l与圆O的方程，得. 消去y，得.
由，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
O
y
x
图2.5-5
港口
轮船
随堂练习
如图，设轮船开始位于轴上的A点，港口位于y轴上的B点. 利用平面几何知识，在RtAOB中，原点О到直线AB的距离即为斜边AB上的高.
因为|OA|=40 km，|OB|= 30 km，根据勾股定理，有|AB|=.
设点О到AB的距离为d，则d·|AB|=|OA|·|OB|，
所以.
因为24>20，所以这艘轮船不必改变航线，不会有触礁的危险.
几何法
练习小结
用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．
随堂练习
1．赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程
随堂练习
3．在一个平面上，机器人从与点C(5，3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变. 它在行进过程中到过点A(10，0)与B ( 0，12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少？
练习讲解
小结
用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、 直线、 圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论．