第1课 勾股定理的证明及简单应用
1.如图，画一个Rt△ABC，使得a=3cm，b=4cm，测量c= cm， 则 ， ，∴ .
提出问题：以上等式对任意直角三角形成立吗？
2.如图，用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则
（1）大正方形的面积为；
（2）大正方形的面积还可以表示为： ；
（3）于是得到等式 ；化简为： .
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言
∵ ，
∴ .
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求AB的长.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB的长.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，求AC的长及△ABC的面积.
6.如图，在等腰△ABC中，腰AB=AC=13cm，底BC=24cm，AD⊥BC于点D，求△ABC的面积.
7.如图，求等腰三角形ABC的面积.
课堂总结：
（1）已知直角三角形任意两边，必可用勾股定理求出第3边；
（2）常见勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④8，15，17.
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，则BD= .
9.写出下列图形中阴影部分的面积（将结果填在相应的横线上）：
（1）S= ； （2）S= .
10.如图，三个正方形中，有两个正方形的面积分别是225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A.4 B.8 C.16 D.64
11.如图是由边长为1米的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为（ ）
A.15米 B.10米 C.14米 D.20米
12.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则归纳错误的是（ ）
A. B. C. D.
13.若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长的平方为（ ）
A.100 B.28 C.28或100 D.48
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10， CD⊥AB于D.（1）求AC的长；（2）求CD的长.
15.利用两个全等的直角三角形拼成如下图形，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线，能证明勾股定理，现请你尝试写出该证明过程.
第1课 勾股定理的证明及简单应用
1.5 25 25 =
2.(2)
(3)
3.解：
4.解：
5.解：
6.解：，
6.解：作CD⊥AB于D
∴∠ADB=∠BDC=90
∴AC2=CD2+AD2，
∵AC=BC
∴AD=BD
8.2 9.25 2π 10.D 11.B 12.A 13.C
14.解：（1）
（2）
15.证明：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠BAC=∠DCE
∴∠BAC+∠ACB=90
∴∠DCE+∠ACB=90
∴∠ACE=180 -∠DCE-∠ACB=180 -90 =90 第2课 勾股定理的应用（1）
1.勾股定理
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则 .
2.常见勾股数：
①3，4， ；
②6，8， ；
③5， ，13.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=3，b=4，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= .
4.如图，小王在东西向的公路边测算某汽车的速度，当汽车在他正北方向时，汽车与他相距400m，10秒后汽车与他相距500m，求汽车的速度.
5.如图，一棵树在离地面6米处（点B）折断，树顶部点A落在离树底部（点C）8米处，则树折断前有多少米？
6.一个零件的形状如图所示，∠A和∠DBC都为直角.工人师傅量得AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD边的长及这个四边形零件的面积.
7.如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，求图形中阴影部分的面积.
8.如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米.
（1）求梯子上端到墙的底端E的距离；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移多少米？（即BD长）
9.如图，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B外移多少米？
10.如图，市政府准备修建一座过街天桥，已知地面BC为8米，桥的坡面AC是10米.则此街道的交通“限高”为 米.
11.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草.
12.如图所示（单位：mm）的长方形零件上的两孔的中心A和B的距离为 mm.
13.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是 .
14.如图，一直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，AB=BC=8，CD=10，求AD的长.
15.某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的长为4m.请你算一算共需购买多大面积的地毯.
16.上午8:00，甲船从港口A出发，以20海里/时的速度向东行驶，半个小时后，乙船也由同一港口出发，以相同的速度向南航行，上午10:00时，甲船到达B地，乙船到达C地，问甲、乙两船相距多少海里？
17.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图（上面为半圆，下面为长方形）的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
第2课 勾股定理的应用(1)
1. 2.①5 ②10 ③12
3.(1)5 (2)8
4.解：
∴汽车的速度为
5.解：
∴树枝折断前有16m.
6.解：，
7.解：
8.解：（1）
即梯子上端到墙的底端E的距离为2.4米.
（2）
9.解：（1）
当OC=AO-AC=4-=3(m)时
DC=5m，∠COD=90
10.6 11.2 12.100 13.200m2
14.解：作DE⊥BC
∵∠B=90
∴AB∥DE，
又∵AD∥BC
∴AD=BE，AB=BE
在Rt△DEC中，CE=10，DE=AB=8，
根据勾股定理得
∴BE=BC-CE=8-6=2
∴AD=2
15.解：依题意，图中直角三角形一直角边长为5米，斜边长为13米，根据勾股定理知另一直角边长为(米)，则需购买红地毯的长为12+5=17(米)，红地毯的宽则是台阶的长，为4米，所以面积是17×4=68(平方米)
16.解：AB=20×2=40(海里)
AC=20×1.5=30(海里)
(海里)
答：甲、乙两船相距50海里.
17.解：这辆卡车能通过厂门，理由如下：
如图，M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过О作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，
由作法得，CE=DE=0.8m，
又∵OC=OA=lm，
∴
∴CN=0.6+2.3=2.9(m)>2.5(m)·卡车能通过大门.
∴卡车能通过大门.第3课 勾股定理的应用（2）
1.如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m， CD=1m，试求滑道AC的长.
2.如图，大风把一棵树刮断，已知树高8m，AC=4m，求树折断处与地面的距离（即BC的长）.
总结：
勾股定理有两种考法：①已知任意两边求第三边；②已知一边及另两边的数量关系，则要借助方程解答.
3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，求EB的长.
4.如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，求BE的长.
5.如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，那么蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
6.一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm.一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AB比AC长1cm，则AC= .
8.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
9.如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3m远，求荷叶的高度和水的深度.
10.如图，已知等腰三角形ABC的周长是16，底边BC上的高AD的长是4，求这个三角形的边长.
11.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 cm.
12.如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，求机器人行走的路程BC.
第3课 勾股定理的应用(2)
1.解：∵AE=AB-BE=AC-CD=AC-1
AC2=AE2+CE2
∴AC2=(AC-1)2+32
解得AC=5(m)
2.解：AB=8-BC
AB2=BC2+AC2
∴(8-BC)2=BC2+42
解得BC=3m
3.解：∵∠B=90 ，AB=3，AC=5
由勾股定理，得.
又由折叠知AE=EC
∴AE+BE=4，AE2=AB2＋BE2
∴(4-BE)2=32+BE2
解得BE=
4.解：由折叠知，AE=EC
∴AB=4，AE=CE=BC-BE=8-BE.
由勾股定理：AB2+BE2=AE2=(8-BE)2
即42+BE2=(8-BE)2
解得BE=3.
5.解：如图，圆柱的侧面展开图是矩形.由题意知，AC=12cm，BC==9(cm)
由勾股定理得
=15(cm)
∴沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm.
6.解：
如图1所示：
如图2所示.
故蚂蚁爬行的最短路线为A-P-B(P为CD的中点)，最短路程是20cm.
7.12cm
8.解：由勾股定理
设CD=x(cm)，由折叠知，∠AED=∠ACD=90 ，AE=AC=6(cm)，DE=CD=x(cm)，BE=AB-AE=10-6=4(cm)，BD=BC-CD=8-x(cm)，
∵∠DEB=180 -∠AED=180 -90 =90
由勾股定理，得BD2=DE2+BE2，
即(8-x)2=x2+42
解得x=3
∴CD=3(cm)
9.解：如图，OB为水深，A0为荷叶的高度，
设OB=x(m)，则AO=OC=x+1(m)，
由勾股定理，x2+BC2=(x+1)2
即x2+32=(x+1)2.
解得x=4.
∴AO=4+1=5(m).
10.解：设BD=x，由等腰三角形的性质知AB=8-x
由勾股定理得：(8-x)2=x2+42，
解得：x=3.
所以AB=AC=5，BC=6.
11.25
12.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，
设AC为x(cm)，则OC=45-x(cm)，
由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵OA=45(em)，OB=15(cm)，
把它代入关系式152+(45-x)2=x2
解方程得出x=25.
答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm.第4课 勾股定理的逆定理
1.如图，已知△ABC.
（1）由勾股定理：若∠C=90°，则；
（2）问题提出：反之，若，则∠C=90°吗？
2.如图①，在Rt△ABC中，已知，求证∠C=90°.
证明：如图②，作∠C'=90°.
截取B'C'=a，A'C'=b，则.
∴A'B'=c.
由“SSS”可证△ABC≌△A'B'C'，则∠C=∠C'=90°.
3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∵，
∴△ABC为 ，∠ =90°.
4.在△ABC中，已知AC=5，BC=12，AB=13，求证△ABC是直角三角形.
5.在Rt△ABC中，若AC=6，BC=8，AB=10，求证∠C=90°.
6.判定以如下的a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形，是的打“√”，不是的打“×”.
（1）a=3，b=4，c=5（ ）
（2）a=1，b=1，（ ）
（3）a=2，b=3，c=4（ ）
（4），b=3，（ ）
（5）a=1，b=2，（ ）
7.如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，AB⊥AC.（1）求证：BC⊥BD；（2）求四边形ABDC的面积.
8.如图，是一块农家菜地的平面图，其中AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块菜地的面积.
9.如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求△ABC的各边长的平方；
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？
10.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1.
（1）求△ABC各边长的平方；
（2）求证：∠BAC=90°.
11.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A.1，1，2 B.2，3，4 C.2，2，2 D.3，4，5
12.在△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，则△ABC的面积是（ ）
A. B. C. D.
13.若a、b、c为△ABC三边长，且a、b、c满足，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
14.如图，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长.
15.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，△BEF是直角三角形吗？说明理由.
第4课 勾股定理的逆定理
1.∠C=90 2.略 3.直角三角形 C
4.证明：∵AB2=132=169，AC2=52=25，BC2=122=144，
∴AB2=AC2+BC2.
∴△ABC是直角三角形.
5.证明：∵AB2=102=100，AC2=62=36，BC2=82=64.
∴AB2=AC2+BC2
∴∠C=90°
6.(1)√ (2)√ (3)×(4)√ (5)√
7.(1)证明：∵AB⊥AC，AB=4，AC=3
∴BC2=AB2+AC2=42+32=25
又BD2=122=144，CD2=132=169.
∴CD2=BC2+BD2
∴∠CBD=90°，即BC⊥BD.
(2)解：
8.解：连接AC.
∵∠ADC=90 ，AD=4m，
CD=3m，
∴
又BC=12m，AB=13m
∴BC2=144，AB2=169
即AB2=BC2+AC2.
∴∠ACB=90°，
∴
即这块菜地的面积为24m2.
9.解：(1)AB2=22+22=8，
AC2=4+42=32，
BC2=22+62=40.
(2)∵BC2=40，AC2=32，AB2=8.
即BC2=AC2+AB2.
∴△ABC是直角三角形.
10.(1)解：AB2=l2+32=10，
AC2=12+32=10，
BC2=22+42=20
(2)证明：∵BC2=20，AC2=10，AB2=10，
即BC2=AC2+AB2，
∴∠BAC=90°.
11.D 12.B
13.解：∵(a-5)2≥0，(b-12)2≥0，|c-13|≥0
而(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0.
∴(a-5)2=0，(b-12)2=0，|c-13|=0.
∴a=5，b=12，c=13
而132=52+122，即c2=a2+b2
∴ABC是直角三角形
14.解：在△ABD中，AB=13，AD=12，BD=5
∵AB2=AD2+BD2，
∴△ABD为直角三角形.
∴∠ADB=90 ，即∠ADC=90°.
在△ADC中，有AD2+CD2=Ac2
∴CD2=AC2-AD2
∵AC=15，AD=12.
∴CD2=152-122=81.
∴CD=9.
15.解：△BEF是直角三角形.理由如下：
∵AE=2，DF=1
∴DE=2，CF=3
∴BE2=AB2+AE2=16+4=20
EF2=DE2+DF2=4+1=5
BF2=BC2+CF2=16+9=25
∵BE2+EF2=20+5=25=BF2
∴△BEF是直角三角形.第5课 勾股定理单元复习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=3，b=4，则c= ；
（2）若a=6，c=10，则b= ；
（3）若a=5，b=12，则c= .
2.下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A.5，12，13 B.7，24，25 C.8，12，15 D.5k，12k，13k（k为正整数）
3.若直角三角形的三边长为m，6，8，则的值为（ ）
A.10 B.100 C.28 D.100或28
4.如图，正方体的边长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离的平方是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.如图，一根竹子高1丈，折断后竹子顶端在离竹子底端3尺处.求折断处离地面的高度（注：1丈=10尺）.
6.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求：
（1）四边形ABCD的面积；
（2）∠ABC的度数.
7.如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=20，BC=15，CD=9.
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并证明.
8.如图，陈滴和陈卓在荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，当秋千荡到的位置时，下端距静止位置的水平距离，距地面1.4m，求秋千AB的长.
9.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为a cm（茶杯装满水），则a的取值范围是 .
10.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，，则是 .
11.如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km，BC=12km，AC=13km，要从B村修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，问修这条公路的最低造价是多少？
12.如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁的E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
13.如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=3，现将它折叠，使点B与C重合，求折痕DE的长.
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.
第5课 勾股定理复习
1.(1)5 (2)8 (3)13
2.C 3.D 4.D
5.解：设AC=x(尺)，则AB=10-x(尺)，
由勾股定理，(10-x)2=x2+32
解得
所以折断处离地面的高度为尺.
6.解：(1)根据题意得：
(2)AB2=22+42=20.
BC2=l2+22=5，AC2=52=25.
AB2+BC2=AC2，
∠ABC=90
7.解：(1)∵BD⊥AC
∴∠ADB=∠BDC=90°
∴.
∴
∴AC=AD+CD=16+9=25
(2)由(1)AC2=252=625，
AB2=202=400，BC2=152=225，
∴AC2=AB2+BC2.
∴∠ABC=90°，即△ABC为直角三角形.
8.解：由题意可得出：BE=1.4-0.6=0.8(m)，
则AE=AB-0.8，
在Rt△AEB1中，AE2+B1E2=AB12，
∴(AB-0.8)2+2.42=AB2
解得AB=4，
答：秋千AB的长为4m.
9.11≤a≤12 10.
11.解：∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90 ，
当BD⊥AC时BD最短，造价最低.
∵
∴
答：最低造价为120000元
12.解：设基地E应建在离A站x千米的地方.
由勾股定理，得DE2=AD2+x2.CE2=CB2+BE2，
即DE2=302+x2，CE2=202+(50-x)2
∵要使DE=CE，∴302+x2=202+(50-x)2
解得x=20
答：基地E应建在离A站20千米的地方.
13.解：设CD=x，根据折叠的性质可知：△CDE≌△BDE，
BD=CD=x，AD=4-x，BE=EC=
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2
∴∠A=90°，△ABC为直角三角形.
在Rt△ACD中，(4-x)2+32=x2
解得：x=.
在Rt△BDE中，
∴折痕DE的长为
14.解：(1)由题意可知：
在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，AB=5，AC=3.
∴BC=(cm)
(2)由题意可知：BP=l×t=t
①如图1，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4
∴
②如图2，当∠BAP为直角时，BP=t，CP=t-4，AC=3
在Rt△ACP中，CP2+AC2=AP2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2.
∴AB2+CP2+AC2=BP2
∴52+(t-4)2+32=t2
解得，
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或；
(3)①如图3可知，当BP=AB=5时，△ABP是等腰三角形，此时t=5
②如图4可知，当AP=AB=5时，△ABP是等腰三角形，BP=2BC=8，此时t=8
③如图5可知，当BP=AP时，△ABP是等腰三角形，AP=BP=t，CP=|t-4|，AC=3
在Rt△ACP中，CP2+AC2=AP2.
∴(t-4)2+32=t2
解得t=
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或.
