华东师九年级数学上册教案第22章一元二次方程22.1一元二次方程 教学详案

第22章　一元二次方程
22.1　一元二次方程
教学目标 1.理解一元二次方程的概念； 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题. 教学重难点 重点：理解一元二次方程的概念；根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 难点：正确将一元二次方程化为一般形式，并能识别其中的“项”及“系数”. 教学过程 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面 积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__________,长表示为________, 则列方程为_______________ ，整理得_________________. 【答案】(5-2x)m　 (8-2x)m　　　(8-2x)(5-2x)＝18 4x2 -26x+22 ＝0 变式：桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形的边长为多少厘米？ 【解】设剪去的正方形的边长为x cm， 则无盖方盒的底面的长为（25-2x）cm ，宽为（15-2x）cm ， 根据题意，可列方程为 （25-2x）（15-2x ）＝ 300, 整理，得4x2 -80x+75 ＝0. 活动2（学生交流，教师点评） 思考　观察方程： 4x2 -26x+22＝0；4x2-8x+75＝0；x2+12x-15＝0. 提出问题：这三个方程都不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点：①是整式方程(方程两边的分母中不含有未知数）；②只含有一个未知数. 区别：未知数的最高次数是2. 教师总结并引出课题：22.1一元二次方程　. 探究新知 探究点一　一元二次方程 【归纳】一元二次方程 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做 一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项. 【注意】在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，不要忽略a≠0这个条件. 【问题2】活动3（师生互动） 例1　下列方程：(1)3x+2＝5x-3；(2)x2＝4；(3) -1＝x2；(4)x2-4＝(x+2)2. 其中哪些一定是关于x的一元二次方程？ 【探索思路】(引发学生思考)一元二次方程应满足什么条件？ 答：(2)一定是关于x的一元二次方程. 【题后总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程的方法：先 将其化简，使方程的右边为0，左边合并同类项，然后观察其是否是只含有一个未 知数且未知数的最高次数是2的整式方程，最后作出判断. 活动4　即学即练(学生独学) 下列方程是一元二次方程的是(　　) A.ax2+bx+c＝0 B.3x2-2x＝3(x2-2) C.x3-2x-4＝0 D.(x-1)2+1＝0 【答案】D 例2　把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项 系数和常数项. (1)2x2＝1-3x；　(2)5x(x-2)＝4x2-3x. 【探索思路】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是什么？什么是二次项系 数、一次项系数和常数项？ 【解】(1)2x2＝1-3x的一般形式是2x2+3x-1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3， 常数项为-1. (2)5x(x-2)＝4x2-3x的一般形式是x2-7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常 数项为0. 【题后总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0(a≠0)， 只有将一元二次方程化为一般形式后，才能确定二次项系数、一次项系数和常数项， 且通常情况下要把二次项系数变为正数. 活动5　 (师生互动) 例3　将方程3x(x-1)＝5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项 及它们的系数和常数项. 【解】去括号，得3x2-3x＝5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10＝0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号. 【问题3】活动6（师生互动） 例4　关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1＝0，试证明无论a取何值，该方程都是 一元二次方程. 【探索思路】要使该方程是一元二次方程，必须保证二次项系数不等于0. 【证明】∵ a2-8a+20＝(a-4)2+4≥4， ∴ 无论a取何值，该方程的二次项系数都不会等于0，即该方程是一元二次方程. 即学即练 已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m＝0. (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出二次项系数、一次项系数及常数项. 【探索思路】（1）当方程是一元一次方程时，则二次项系数等于0，一次项系数不 等于0，列式求解即可. (2) 当方程是一元二次方程时，则必须满足二次项系数不等于0. 【解】(1)根据一元一次方程的定义可知，m2-1＝0，m+1≠0，解得m＝1.即当m＝ 1时，此方程是一元一次方程. (2)根据一元二次方程的定义可知，m2-1≠0，解得m≠±1.即当m≠±1时，此方程 是一元二次方程.其二次项系数是m2-1、一次项系数是-(m+1)，常数项是m. 探究点二　一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 【问题4】活动7（师生互动） 思考：下面哪些数是方程 x2–4x+3 ＝0的解？ -2 0,1,2,3,4. 【解】1和3. 【题后总结】(学生总结，老师点评)一元二次方程的根可能不止一个. 【问题5】活动7（师生互动） 例5　已知a是方程 x2+2x-2＝0的一个实数根, 求3a2+6a+ 2 019的值. 【探索思路】把x＝a代入方程 x2+2x-2＝0 得到一个关于a的方程，再进行变形，代入要求的代数式中进行求值. 【解】由题意，得,， ∴ 3a2+6a+2019＝ 3(a2+2a)+2 019 ＝3×2 +2 019＝2 025. 【方法总结】已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式， 将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值. 课堂练习 1.判断下列各式是否为一元二次方程？ (1)3x -x＝2； 　 　　( ) (2)2(x-1) ＝3y； 　　( ) (3)3x -2x+5； 　　 ( ) (4)＝0； 　　( )　　　 (5)(m +5)x +7x-1＝0. ( ) 2.方程（2a-4）x2-2bx+a＝0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件 下此方程为一元一次方程？ 3.当a为何值时，下列方程为一元二次方程？ （1）ax2-x＝2x2；（2）(a-1)-2x-7＝0. 4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0的一个根是3，求a的值. 5.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4＝0有一个根为0，求m的值. 参考答案 1.（1）是　（2）不是　（3）不是　（4）不是　（5）是　　 2.【解】若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程，则二次项系数不为零， ∴2a-4 ≠0，解得a≠2. 即当a≠2时，(2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元二次方程. 若（2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程， 则二次项系数为零，一次项系数不为零， ∴ 2a-4 ＝0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0, 即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a＝0是一元一次方程. 3.【解】(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x＝0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程. (2)由题意得|a|+1 ＝2，且a-1 ≠0，所以a＝-1， 所以当a＝-1时，原方程是一元二次方程. 4.【解】把x＝3代入方程x2+ax+a＝0， 得32+3a+a＝0, 即9+4a＝0， ∴ 4a＝-9， ∴ 5.【解】将x＝0代入方程，得m2-4＝0， 解得m＝ ±2. 又∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， ∴ m ＝2. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 　一元二次方程　 布置作业 教材第19页练习题，第20页习题22.1第1,2,3题 板书设计 课题　第22章　一元二次方程 22.1　一元二次方程 【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1 一元二次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. 　　　　　　　　　　　　 【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2 一元二次方程的一般式： ax2+bx+c＝0(a≠0) 【问题3】　　　　　　　　　　　　　　　　例3 【问题4】　　　　　　　　　　　　　　　　例4 【问题5】　　　　　　　　　　　　　　　　例5 一元二次方程的根 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思