人教版（新）七上-4.3.3 余角和补角 第一课时【优质课件】

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4.3.3 余角和补角
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图∠AOD- ∠AOC等于____________， ∠AOB+ ∠BOC等于____________.
∠DOC
∠AOC
新课精讲
探索新知
1
知识点
余角和补角
如果两个角的和等于90 (直角)，就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
如果两个角的和等于180 (平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
探索新知
探究1（1）在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么其余两
个角的和是多少？
（2）已知∠1=36°，∠2=54°，那么∠1+∠2=？
探究2（1）观察如图所示的两个角，你能猜想∠1+∠2等于多少度？
（2）如果∠1=144°，∠2=36°，那么∠1+∠2=？
探索新知
分类名称 图形 数学语言 性质
互余 若∠1＋∠2＝90°，就说∠1是∠2的余角，或∠1与∠2互为余角 同角(等角)的余角相等
互补 若∠3＋∠4＝180°，则说∠3是∠4的补角，或∠3与∠4互为补角 同角(等角)的补角相等
探索新知
要点精析：
(1)互余，互补必须是两个角之间的关系．
(2)当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这两个角互为邻补角(简称邻补角)．如图所示，∠AOC和∠BOC互为邻补角．
(3)互补的角不一定互为邻补角，但互为邻补角的角一定互为补角．
(4)互余或互补的角只与数量有关，与位置无关．
探索新知
例1 下列说法正确的有 (　　)
①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；
②直角没有补角；
③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；
④直角的补角还是直角；
⑤一个角的补角与它的余角的差为90°；
⑥两个角相等，它们的补角也相等．
A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个
导引：主要紧扣锐角、钝角、余角、补角的特征进行判断，除①②不正
确外，其他说法都正确．
B
探索新知
总 结
　 由于互余的两个角之和为90°，所以这两个角都为锐角；互补的两个角之和为180°，所以这两个角为一个锐角一个钝角或两个角都为直角．
探索新知
例2 如图，点A，O， B在同一条直线 上，射线OD和
射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互
为余角？
解：因为点A，O， B在同一条直线上，所以 ∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC)= 90°.
所以，∠COD和∠COE互为余角，
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD 和∠BOE也互为余角.
典题精讲
1.已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于(　　)
A．35°　 B．55°　
C．65°　 D．145°
2.已知∠α＝35°，那么∠α的补角的度数是(　　)
A．55° B．65°
C．145° D．165°
B
C
典题精讲
3.下列说法正确的是(　　)
A．两个锐角一定互余
B．锐角和钝角一定互补
C．互余且相等的两角一定是45°
D．同一角的余角与它的补角一定相等
C
探索新知
2
知识点
余角和补角的有关计算
例3 如图，∠AOB与∠AOD分别是∠AOC的余角和补角，且OC是
∠BOD的平分线，求∠AOC和∠BOD.
导引：此题中角的关系错综复杂，
适宜用方程去解决．
探索新知
解：设∠AOC＝x°. 则∠AOB＝(90－x)°，∠AOD＝(180－x)°.
因为∠BOC＝∠AOC－∠AOB，
所以∠BOC＝[x－(90－x)]°＝(2x－90)°.
因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，
所以∠COD＝[(180－x)－x]°＝(180－2x)°.
因为OC平分∠BOD，所以∠BOC＝∠COD.
所以2x－90＝180－2x. 解得x＝67.5.
所以∠AOC＝67.5°，
∠BOD＝∠AOD－∠AOB ＝(180°－67.5°)－(90°－67.5°)＝90°.
探索新知
总 结
(1)用方程解几何题，本节中已多次出现．这是方程思想的应用．
(2)图中∠BOD是同一个角的补角与余角的差，所以∠BOD＝90°，
与锐角∠AOC的大小无关．
(3)方程中一般不出现单位．
典题精讲
1.一个角比它的余角大10°，这个角为(　　)
A．40° B．45° C．50° D．55°
2.如图，直线AB与CD相交于O点，∠EOB＝90°，则图中∠1与∠2的
关系是(　　)
A．互补　 B．互余　
C．相等　 D．无法确定
C
C
典题精讲
3.一个角的补角比它的余角(　　)
A．相等
B．小90°
C．大90°
D．不确定大小
C
学以致用
小试牛刀
1.下列说法中正确的有_____________.（填序号）
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角90°-∠α；
③∠β的补交是180°- ∠β ；
④若∠1+ ∠2+ ∠3=90°，则∠1， ∠2， ∠3互余。
②③
2.已知∠α=35°，则∠α的余角的度数是（　　）
A.55° B.45°
C.55° D.45°
A
小试牛刀
3.已知∠α=35°，则∠α的余角的度数是（　　）
A.55° B.45°
C.55° D.45°
A
4.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（　　）
A. B. C. D.
B
小试牛刀
5.下面角的图示中，能与30°角互补的是（　　）
A. B. C. D.
D
6.已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（　　）
A. ∠NOQ=42°
B. ∠NOP=132°
C. ∠PON比∠MOQ大
D. ∠MOQ与∠MOP互补
C
小试牛刀
7.如图，直线AB与CD相交于点O，∠EOB=90°，∠FOD=90°，如果
∠AOD=140°，那么∠EOF=（　　）
A. 30° B. 40°
C.50° D. 60°
B
解析：由题意知，∠EOB=∠FOD=90°，
∴∠AOE=∠FOC=90°， ∵∠AOD=140°，
∴∠EOD=∠AOD-∠AOE=140°-90°=50°，
∴∠EOF=∠FOD-∠EOD=90°-50°=40°．
故选B．
小试牛刀
8.如图，再三角形ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上.若∠B=
∠ADE，则下列结论正确的是（　　）
A. ∠A和∠B互为补角
B. ∠B和∠ADE，互为补角
C. ∠A和∠ADE互为余角
D. ∠AED和∠DEB互为余角
C
小试牛刀
9.如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，
OD平分∠BOC， OE平分∠AOC。
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
解：与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD； 与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE
解：因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOC。
又因为OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOC，
所以∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC)，
所以∠COD+∠COE=∠AOB=90°
课堂小结
课堂小结
互余的角 互补的角
数量关系 　 　 　
　　
对应图形
性质
1＋ 2＝90°
C
D
E
N
A
O
B
M
1＋ 2＝180°
同角(等角)的余角相等
同角(等角)的补角相等
同学们，
下节课见！
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