华东师九年级数学上册教案第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法（第5课时） 教学详案

第22章　一元二次方程
22.2　一元二次方程的解法
第5课时　一元二次方程的根与系数的关系
教学目标 1.理解一元二次方程的根与系数的关系. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 教学重难点 重点：理解一元二次方程的根与系数的关系. 难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 教学过程 复习巩固 一元二次方程求根公式： 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 例1　解下列方程，并求出两根的和与两根的积： （1）x2+3x-4＝0; (2)x2-5x+6＝0; (3)2x2+3x+1＝0. 【解】（1）x1＝-4，x2＝1，x1+x2＝-3，x1·x2＝-4； （2）x1＝2，x2＝3，x1+x2＝5，x1·x2＝6； （3）x1＝，x2＝-1，. 一元二次方程两个根的和与两个根的积与系数有怎样的关系，这就是本节课要学习的内容. 教师总结并引出课题：22.2　一元二次方程的解法　 第5课时　一元二次方程的根与系数的关系 探究新知 探究点一　一元二次方程的根与系数的关系 【问题2】 活动2（学生交流，教师点评） 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）. 我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到 即x 所以x1＝，x2＝. 所以x1+x2＝，x1x2＝. 【总结】 如果一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么， . 特殊形式：若x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q . 例2　下列方程的两根和与两根积各是多少？ (1) x2-3x+1＝0 ； (2) 3x2-2x＝2； (3) 2x2+3x＝0； 　 (4)3x2＝1. 【探索思路】由根与系数的关系直接求出即可. 【解】(1)，； (2) ,； (3),； (4),. 探究点二　利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 【问题3】 活动3（学生交流，教师点评） 1.求代数式的值 例3　已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，不解方程，求下列代数式的值. (1)(x1-x2)2；　(2). 【探索思路】(引发学生思考)方程x2+6x+3＝0的根与系数的关系是什么？所求代 数式与它们的关系有什么联系？ 【解】∵ x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根， ∴ x1+x2＝-6，x1x2＝3. (1)(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2＝(-6)2-4×3＝24. (2)＝＝＝＝10. 【题后总结】(学生总结，老师点评)求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入. 【归纳】 常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形： ①+＝(x1 + x2)2-2x1x2； ②(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2； ③； ④＝； ⑤(x1+k)(x2+k)＝x1x2+k(x1+x2)+k2； ⑥|x1-x2|＝＝. 【问题4】 活动4（学生交流，教师点评） 2.构造新方程 例4　求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1. 【解】(x-2)（x-3）＝0， 即x2-5x+6＝0. 【问题5】 活动5（学生交流，教师点评） 3.求方程中待定系数 例5　方程x2+px+q＝0 的两根之和为6，一根为2，求p，q的值. 【解】设方程的另一个根为x1. 由题意，得 2+x1＝-p＝6，2x1＝q， 所以x1＝4，p＝-6，q＝8. 即学即练 已知方程5x2+kx-6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 【解】设方程 5x2+kx-6＝0的两个根分别是x1，x2，其中x1＝2 . 所以 x1·x2＝2x2 ＝, 即x2＝. 由于x1+x2＝2+， 所以k＝-7. 所以方程的另一个根是，k＝-7. 课堂练习 1.方程x2-6x+10＝0的根的情况是(　　) A.两个实根之和为6 B.两个实根之积为10 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 2.若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是(　　) A.x2+3x-2＝0 B.x2+3x+2＝0 C.x2-3x+2＝0 D.x2-2x+3＝0 3.设a，b是方程x2+2x-2 019＝0的两个不相等的实数根. (1)a+b＝　　，ab＝　　，2a2+4a＝　　　　； (2)求代数式a2+3a+b的值. 4.请利用一元二次方程的根与系数的关系解决下列问题： (1)若x2+bx+c＝0的两根为-2和3，求b和c的值； (2)设方程2x2-3x+1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求+的值. 5.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5. 6.若关于x的方程x2+(a-1) x+a2＝0的两个根互为倒数，求a的值. 7.设一元二次方程x2-6x+k＝0的两根分别为x1，x2. (1)若x1＝2，求x2的值； (2)若k＝4，且x1，x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC的面积. 参考答案 1.C　 2.C　 3.【解】(1)-2，-2 019,　4 038； (2)a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2 019-2＝2 017. 4.【解】(1)b＝-1，c＝-6.　 (2)+＝3. 5.【解】根据题意，得5（x-2）（x-3）＝0， 即5x2-25x+30＝0. 6.【解】因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1. 由根与系数的关系，得a2＝1. 解得a＝±1. 当a＝1时，原方程化为x2+1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根， 所以舍去a＝1.所以a＝-1. 7.【解】(1)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的两根，且x1＝2， ∴ x1+x2＝-(-6)，即2+x2＝6，∴ x2＝4. (2)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的两根，k＝4， ∴ x1·x2＝k＝4. 又∵ x1，x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长， ∴ SRt△ABC＝x1·x2＝×4＝2. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 　一元二次方程的根与系数的关系： ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2 ，x1x2＝. 特殊地，x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q . 布置作业 教材第35页练习1，2，3题，第36页习题22.2第10，11题. 板书设计 课题　第22章　一元二次方程 22.2　一元二次方程的解法 第5课时　一元二次方程的根与系数的关系 【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1 一元二次方程的根与系数的关系　　　　　　　　　　　　 【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思