华东师九年级数学上册教案第24章解直角三角形24.4解直角三角形及其简单的应用（第2课时） 教学详案

第24章　解直角三角形
24.4　　解直角三角形
解与仰角、俯角有关的直角三角形（第2课时）
教学目标 1.理解仰角、俯角的含义，能准确运用这些概念来解决一些实际问题. 2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题. 教学重难点 重点：理解解直角三角形的含义. 难点：能够把实际问题转化成解直角三角形的问题. 教学过程 复习巩固 1.锐角三角函数： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 两锐角关系：∠A+∠B＝90°. 三边关系：a2+b2＝c2. 边角关系： (1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝； (2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝； (3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝. 2.解直角三角形有以下基本类型： 基本类型选择的关系式已知 两边斜边和一直角边(c，a)b＝；由sin A＝， 求∠A；∠B＝90°-∠A两直角边(a，b)c＝；由tan A＝， 求∠A；∠B＝90°-∠A已知边 和角斜边和一锐角(c，∠A)∠B＝90°-∠A； 由sin A＝，求a＝c·sin A； 由cos A＝，求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a，∠A)∠B＝90°-∠A； 由tan A＝，求b＝； 由sin A＝，求c＝
导入新课 我们已经掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解关于仰角与俯角的问题. 教师引出课题： 24.4　　解直角三角形 　解与仰角、俯角有关的直角三角形　（第2课时） 探究新知 探究点一　仰角、俯角的概念 活动1（学生交流，教师点评） 阅读教材第113页读一读 【总结】在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 典例讲解（师生互动） 例1 如图，为了测量电线杆的高度BC，在离电线杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得电线杆顶端C的仰角a＝52°，求电线杆BC的高.（精确到0.1米） 【探索思路】(引发学生思考)本题要求BC，由图示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE问题就解决了. 【解】在Rt△CDE中， ∵ CE＝DE tan α＝AB tanα＝10 tan 52°≈12.80（米）， ∴ BC＝BE+CE＝DA+CE ＝1.50+12.80＝14.3（米）. 答：电线杆BC的高为14.3米. 探究点二　利用三角函数解实际问题的一般步骤 活动2（学生交流，教师点评） 【总结】利用三角函数解实际问题的一般步骤： （1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论； （2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案. 例2　如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC. 【探索思路】分析法：要求BC，先求出BD与CD，只要解Rt△ADB、Rt△ADC. 【解】由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°. ∴ 在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米， ∴ tan α＝＝＝，∴ BD＝米. 在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米， ∴ tan β＝＝＝，∴ CD＝100米. ∴ BC＝BD+CD＝+100＝ (米)， 即这栋楼的高度BC是米. 【题后总结】(学生总结，老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADB、△ADC，利用BC＝BD+CD可求出答案. 【归纳】 仰角、俯角问题的常见基本模型： 模型一　　　　　　　　　　模型二 　　　 模型三　　　　　　　　模型四　　　　　模型五 　　　　　　　　 【即学即练】 如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲乙两人分别在相距6米的C，D两处测得B点和A点的仰角分别是42°和65°，且C，D，E在一条直线上.如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1) 【解】在Rt△ADE中，∠ADE＝65°，DE＝15米， 则tan∠ADE＝， 即tan 65°＝≈2.1， 解得 AE≈31.5米. 在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，CE＝CD+DE＝21米， 则tan∠BCE＝， 即tan 42°＝≈0.9， 解得 BE≈18.9米. 则AB＝AE-BE＝31.5-18.9≈13(米). 即旗杆AB的长大约是13米. 【方法总结】 把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 课堂练习 1.如图所示，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( ) A. m B.30sin α m C.30tan α m D.30cos α m 2.如图所示，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机的飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为( ) A.1 200 m B.1 200 m C.1 200 m　　　 D.2 400 m 3.如图所示，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离CE＝8 m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗杆AB的高度是( ) A.() m B.(8) m C. m D.m 4.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时热气球高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，则建筑物A，B间的距离为( ) A.150 m B.180 m C.200 m D.220 m 5.如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得楼顶的仰角为45°，则高楼的高度大约为为多少米. 6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为多少米. 参考答案 1.C　【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°， ∵ BO＝30 m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝， ∴ AO＝BOtan α＝30tan α m.故选C. 2.D　【解析】由题意，得∠B＝30°，所以sin B＝. 又AC＝1 200 m， 所以AB＝2AC＝2 400 m. 3.D　【解析】由题意，得AE＝CEtan∠ECA＝8× (m)， BE＝CEtan∠ECB＝8(m). ∴ AB＝BEAE＝ m. 4.C　【解析】∵ ∠A30°，∠B60°，在Rt△ACD中，tan A， ∴ AD 150（m）.在Rt△BCD中，tan B ， ∴ BD50（m）， ∴ ABADBD200（m）. 5.【解】设楼高AB为x m.在Rt△ADB中，DB. ∵ ∠ACB45°， ∴ BCABx.∴ CDBDBC(1)x60，解得x82. 故高楼的高度大约为82米. 6.【解】如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G.由题意知C，E，G三点共线. 设AG＝x m.由题意可知AB⊥DB，CG∥DB，∠AGE＝90°. 在Rt△AEG中，∵ ∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，∴ EG＝x(m). 在Rt△ACG中，∵ ∠ACG＝30°，tan∠ACG＝， ∴ CG＝x(m). ∵ CE＝DF＝100 m，而CGEG＝CE，∴ x＝100，解得x＝50. ∴ AB＝AGGB＝(501) m. 课堂小结 (学生总结，老师点评) 仰角、俯角的概念： 在进行观察或测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 利用三角函数解实际问题的一般步骤： （1）首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论； （2）找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案. 【方法总结】 把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 布置作业 教材第114页练习题第1，2题. 板书设计 课题　24.4　解直角三角形 解与仰角、俯角有关的直角三角形　（第2课时） 　　　　　　　　　　　　　 一、仰角、俯角的概念　　　　　　　　　　　　　　　　例1 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.　　　　　 二、解直角三角形的基本模型　　　　　　　　　　　　　例2 模型一　　　　　　　　　　模型二 　　　 模型三　　　　　　　　模型四　　　　 　　　　　　 　　 　模型五 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思