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2022-2023学年北师大版数学九年级上册3.1用树状图或表格求概率 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·三水期末）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图所示：
共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是．
故答案选：B.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
2．（2020九上·惠城期末）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故答案为：B．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
3．（2021九上·南海期末）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种
两次摸出的数字之和为奇数的概率为
故答案为：C．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．（2021九上·商河期末）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故答案为：A．
【分析】利用树状图可得小华获胜的概率。
5．（2021九上·秦都期末）笼子里关着一只小松鼠（如图）.笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图：
由图可知，一共有6种等可能的结果，其中先经过A门、再经过D门有1种结果，所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为 ，
故答案为：D.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及先经过A门、再经过D门的情况数，然后利用概率公式进行计算.
6．（2021九上·毕节期末）有4张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正方形，现将4张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；列表法与树状图法；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据题意得列出表格如下：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
平行四边形 矩形、平行四边形 菱形、平行四边形 正方形、平行四边形
矩形 平行四边形、矩形 菱形、矩形 正方形、矩形
菱形 平行四边形、菱形 矩形、菱形 正方形、菱形
正方形 平行四边形、正方形 矩形、正方形 菱形、正方形
∵平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称又是轴对称的图形，
∴共有12种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，
∴抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为 .
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此判断出四个图形中既是中心对称又是轴对称的图形的图象；利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，然后利用概率公式计算即可.
7．（2021九上·晋中期末）为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：将作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”简写为：业、睡、机、读、体，利用列表法可得：
业 睡 机 读 体
业 （业，睡） （业，机） （业，读） （业，体）
睡 （睡，业） （睡，机） （睡，读） （睡，体）
机 （机，业） （机，睡） （机，读） （机，体）
读 （读，业） （读，睡） （读，机） （读，体）
体 （体，业） （体，睡） （体，机） （体，读）
根据表格可得：共有20种可能，满足“作业”和“手机”的情况有两种，
∴ 抽到“作业”和“手机”的概率为：，
故答案为：C．
【分析】利用列表法和概率公式即可得出答案。
8．（2021九上·燕山期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故答案为：Ｃ．
【分析】画出树状图，得出所有等可能结果，再得出一辆向右转，一辆向左转的情况数，再根据概率公式求解即可。
9．（2021九上·虎林期末）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，6不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之积为6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 6
1 (2，1) （3，1） （6，1）
2 （1，2） （3，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （6，3）
6 （1，6） （2，6） （3，6）
所有等可能的情况有12种，其中两次摸出的球所标数字之积为6的有4种结果，
所以两次摸出的球所标数字之积为6的概率为=.
故答案为：D
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．（2021九上·淮南月考）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点P的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：如图，将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，
列表如下，
ab bc ac
mn ab、mn bc、mn ac、mn
nl ab、nl bc、nl ac、nl
ml ab、ml bc、ml ac、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点P的有ab、ml；ab、nl；ac、nl；ac、ml这4种结果，
∴所选矩形含点P的概率，
故答案为：D．
【分析】先列表，再求出共有9种等可能结果，其中所选矩形含点P的有ab、ml；ab、nl；ac、nl；ac、ml这4种结果，最后求概率即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·历城期末）某中学举办庆祝中国共产党建党100周年党史知识竞赛．某班有5名学生报名，其中2男3女，计划从这5名学生中随机抽选两名学生参加知识竞赛，所选两名学生中恰好1男1女的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有12种情况，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是：．
故答案为：．
【分析】利用树状图可得，选出的2名学生恰好是1男1女的概率是。
12．（2021九上·高州期末）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．将这4张纸牌背面朝上洗匀后先由小明从中任意摸出一张，放回洗匀后再由小敏从中任意摸出一张，则“小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形”的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种情况，小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形的情况有6种，
所以概率为．
故答案为．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
13．（2021九上·阳东期末）从﹣1，π，，1，6中随机取两个数，取到的两个数都是无理数的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：在﹣1，π，，1，6中，与是无理数，
列表如下，
-1 1 6
-1 -1， -1， -1，1 -1，6
，-1 ， ， ，6
，-1 ， ， ，6
1 1，-1 1， 1， 1，6
6 6，-1 6， 6， 6，1
共有20种等可能结果，其中取到的两个数都是无理数的有2种情形
故取到的两个数都是无理数的概率为
故答案为：
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
14．（2021九上·燕山期末）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：列树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，
∴两人同坐2号车的概率，
故答案为：．
【分析】画出树状图得出所有灯可能结果数，再得出两人同坐2号车的结果数，再根据概率公式计算即可。
15．（2021九上·重庆月考）有4张正面分别标有数字﹣3、1、2、3的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，从中随机抽出2张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下
-3 1 2 3
-3 ---------- -3 -6 -9
1 -3 ---------- 2 3
2 -6 2 ---------- 6
3 -9 3 6 ----------
由表可知，随机抽出2张卡片总共有12种可能，“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的有6中可能
所以“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的概率为
故答案为： .
【分析】利用表格列举出共有12种等可能结果，其中“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的有6种，然后利用概率公式计算即可.
16．（2021九上·凌海期中）如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分为三个扇形，并分别标有2、3、4和6、7、8这6个数字，如果同时转动这两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字之和为奇数的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果，
指针指向的数字和为奇数的有4种情况，
∴指针指向的数字和为奇数的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】先画树状图，再求出一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为奇数的有4种情况，最后求概率即可。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021九上·潮安期末）从-2，-1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，用列表法或画树状图求该点在第三象限的概率．
【答案】解：画树状图如下，
共有6种等可能情况，分别为
，，，，，．
该点在第三象限的情况有和这2种结果．
∴该点在第三象限的概率．
【知识点】列表法与树状图法；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】此题是抽取不放回类型，首先画出树状图，然后找出总情况数以及点在第三象限的情况数（第三象限的点的横纵坐标都是负数），然后利用概率公式进行计算.
18．（2021九上·揭西期末）我国新冠灭活疫苗主要来自三家生物制品公司，分别是A：科兴中维、B：北京所、C：武汉所．灭活疫苗一般需要接种2针，假如一人两次接种的疫苗的生产公司随机，请你用列表或树状图的方法求出一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种，
∴一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】先画树状图求出共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种， 再求概率即可。
19．（2021九上·香洲期末）现有A、B两个不透明的袋子，A袋中的两个小球分别标记数字1，2；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这五个小球除标记的数字外，其余完全相同．分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后小明从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求小明摸出的这两个小球标记的数字之和为5的概率．
【答案】解：列表如下：
1 2
3 （1，3） （2，3）
4 （1，4） （2，4）
5 （1，5） （2，5）
共有6种等可能结果，其中小明摸出的两个小球标记的数字之和为5有2种，
∴P（摸出的两个小球标记的数字之和为5）＝＝
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】列表得出所有等可能的结果数，在得出其中小明摸出的两个小球标记的数字之和为5的结果数，再根据概率公式计算即可。
20．（2021九上·舟山期末）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
【答案】（1）解： ∵共有三张卡片，分别是A、B、C三个标号，
∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为 .
（2）解： 列表如下，
由表格得到，共有9种结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的有6种结果，
∴ 小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为： .
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用概率公式列式计算即可；
（2）根据题意画出树状图或列表，列出所有等可能情况的结果数，再找出小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果数，然后运用概率公式求概率即可.
21．（2021九上·海曙期末）在一个不透明的口袋里装有分别标注 1、2 的两个小球 (小球除数字外， 其余都相同)， 另有背面完全一样、正面分别写有 3、4、5 的三张卡片， 现从口袋中任意摸出一个小球， 再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张， 则
（1）共有多少种结果 （请用列表或者画树状图的方法表示说明）
（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字， 和为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢；
②若两次摸出的数字， 积为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢。
小方想要在游戏中获胜机会更大些， 他应选择哪一条规则， 请说明理由.
【答案】（1）解：画树状图如下，
共有6种结果
（2）解：小方应选择规则①，
理由：∵ 和为奇数的有3种情况，和为偶数的有3种情况；积为奇数的有2种情况，积为偶数的有4种情况，
∴小方应选择规则①.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）抓住关键条件，列树状图，再根据树状图可得到所有的可能的结果数.
（2）利用（1）中的树状图，分别求出和为奇数和积为奇数的情况数，由此可得到获胜机会更大的规则.
22．（2021九上·南充期末） 2021年教育部出台了关于中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理，简称“五项管理”，这是推进立德树人，促进学生全面发展的重大举措.某班为培养学生的阅读习惯，利用课外时间开展以“走近名著”为主题的读书活动，有6名学生喜欢四大名著，其中2人（记为 ， ）喜欢《西游记），2人（记为 ， ）喜欢《红楼梦》，1人（记为C）喜欢《水浒传》，1人（记为D）喜欢《三国演义》.
（1）如果从这6名学生中随机抽取1人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率.
（2）如果从这6名学生中随机抽取2人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率.
【答案】（1）解：由题意得：抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率为
（2）解：由题意可得列表如下：
C D
/ √ √ √ √ √
√ / √ √ √ √
√ √ / √ √ √
√ √ √ / √ √
C √ √ √ √ / √
D √ √ √ √ √ /
∴由表格可知共有30种等可能的情况，其中恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性有8种，
∴抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率为 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）利用喜欢《西游记》 的人数除以总人数即可求出对应的概率；
（2）列出表格，找出总情况数以及恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性，然后利用概率公式进行计算.
23．（2021九上·泰山期末）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：
甲社区 68 69 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95
乙社区 67 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
【答案】（1）解：甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82岁，
出现次数最多的年龄是85，故众数是85岁；
（2）解：年龄小于70岁甲社区2人，乙社区的有2人，从4人中任取2人，所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有4种，
．
【知识点】列表法与树状图法；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据中位数及众数的定义求解即可；
（2） 利用树状图列举出共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有4种， 然后利用概率公式计算即可.
24．（2021九上·长沙期末）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 ；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 °；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习.请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率.
【答案】（1）20
（2）36
（3）解：C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为： （人）
D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为： （人）
补充完整的条形统计图如下：
（4）解：记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：
男1 女1 女2
男 男男1 男女1 男女2
女 女男1 女女1 女女2
则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为： （人）.
故答案为：20人；
（2）由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为： ，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36°.
故答案为：36；
【分析】（1）利用B类学生的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）首先根据百分比之和为1求出D类学生所占的比例，然后乘以360°即可；
（3）用C类学生所占的比例乘以总人数可得C类学生的人数，进而求出C类学生中女生的人数，同理求出D类学生中男生的人数，据此补全条形统计图；
（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”， 列出表格，找出总情况数以及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，然后利用概率公式进行计算.
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2022-2023学年北师大版数学九年级上册3.1用树状图或表格求概率 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·三水期末）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·惠城期末）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·南海期末）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·商河期末）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·秦都期末）笼子里关着一只小松鼠（如图）.笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·毕节期末）有4张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正方形，现将4张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2021九上·晋中期末）为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·燕山期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·虎林期末）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，6不同外，其他完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之积为6的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·淮南月考）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以构成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点P的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·历城期末）某中学举办庆祝中国共产党建党100周年党史知识竞赛．某班有5名学生报名，其中2男3女，计划从这5名学生中随机抽选两名学生参加知识竞赛，所选两名学生中恰好1男1女的概率为 ．
12．（2021九上·高州期末）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．将这4张纸牌背面朝上洗匀后先由小明从中任意摸出一张，放回洗匀后再由小敏从中任意摸出一张，则“小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形”的概率为 ．
13．（2021九上·阳东期末）从﹣1，π，，1，6中随机取两个数，取到的两个数都是无理数的概率是 ．
14．（2021九上·燕山期末）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是 ．
15．（2021九上·重庆月考）有4张正面分别标有数字﹣3、1、2、3的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，从中随机抽出2张卡片，则抽出的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是 .
16．（2021九上·凌海期中）如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分为三个扇形，并分别标有2、3、4和6、7、8这6个数字，如果同时转动这两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字之和为奇数的概率为 ．
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2021九上·潮安期末）从-2，-1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，用列表法或画树状图求该点在第三象限的概率．
18．（2021九上·揭西期末）我国新冠灭活疫苗主要来自三家生物制品公司，分别是A：科兴中维、B：北京所、C：武汉所．灭活疫苗一般需要接种2针，假如一人两次接种的疫苗的生产公司随机，请你用列表或树状图的方法求出一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率．
19．（2021九上·香洲期末）现有A、B两个不透明的袋子，A袋中的两个小球分别标记数字1，2；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这五个小球除标记的数字外，其余完全相同．分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后小明从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求小明摸出的这两个小球标记的数字之和为5的概率．
20．（2021九上·舟山期末）现有三位“抗疫”英雄（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料.
（1）求班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率.
21．（2021九上·海曙期末）在一个不透明的口袋里装有分别标注 1、2 的两个小球 (小球除数字外， 其余都相同)， 另有背面完全一样、正面分别写有 3、4、5 的三张卡片， 现从口袋中任意摸出一个小球， 再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张， 则
（1）共有多少种结果 （请用列表或者画树状图的方法表示说明）
（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字， 和为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢；
②若两次摸出的数字， 积为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢。
小方想要在游戏中获胜机会更大些， 他应选择哪一条规则， 请说明理由.
22．（2021九上·南充期末） 2021年教育部出台了关于中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质五个方面的管理，简称“五项管理”，这是推进立德树人，促进学生全面发展的重大举措.某班为培养学生的阅读习惯，利用课外时间开展以“走近名著”为主题的读书活动，有6名学生喜欢四大名著，其中2人（记为 ， ）喜欢《西游记），2人（记为 ， ）喜欢《红楼梦》，1人（记为C）喜欢《水浒传》，1人（记为D）喜欢《三国演义》.
（1）如果从这6名学生中随机抽取1人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率.
（2）如果从这6名学生中随机抽取2人担任读书活动宣传员，求抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率.
23．（2021九上·泰山期末）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：
甲社区 68 69 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95
乙社区 67 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
24．（2021九上·长沙期末）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为 ；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 °；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习.请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图所示：
共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是．
故答案选：B.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
2．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故答案为：B．
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
3．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种
两次摸出的数字之和为奇数的概率为
故答案为：C．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：=．
故答案为：A．
【分析】利用树状图可得小华获胜的概率。
5．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图：
由图可知，一共有6种等可能的结果，其中先经过A门、再经过D门有1种结果，所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为 ，
故答案为：D.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及先经过A门、再经过D门的情况数，然后利用概率公式进行计算.
6．【答案】D
【知识点】轴对称图形；列表法与树状图法；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据题意得列出表格如下：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
平行四边形 矩形、平行四边形 菱形、平行四边形 正方形、平行四边形
矩形 平行四边形、矩形 菱形、矩形 正方形、矩形
菱形 平行四边形、菱形 矩形、菱形 正方形、菱形
正方形 平行四边形、正方形 矩形、正方形 菱形、正方形
∵平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称又是轴对称的图形，
∴共有12种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，
∴抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为 .
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此判断出四个图形中既是中心对称又是轴对称的图形的图象；利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，然后利用概率公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：将作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”简写为：业、睡、机、读、体，利用列表法可得：
业 睡 机 读 体
业 （业，睡） （业，机） （业，读） （业，体）
睡 （睡，业） （睡，机） （睡，读） （睡，体）
机 （机，业） （机，睡） （机，读） （机，体）
读 （读，业） （读，睡） （读，机） （读，体）
体 （体，业） （体，睡） （体，机） （体，读）
根据表格可得：共有20种可能，满足“作业”和“手机”的情况有两种，
∴ 抽到“作业”和“手机”的概率为：，
故答案为：C．
【分析】利用列表法和概率公式即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故答案为：Ｃ．
【分析】画出树状图，得出所有等可能结果，再得出一辆向右转，一辆向左转的情况数，再根据概率公式求解即可。
9．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
1 2 3 6
1 (2，1) （3，1） （6，1）
2 （1，2） （3，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （6，3）
6 （1，6） （2，6） （3，6）
所有等可能的情况有12种，其中两次摸出的球所标数字之积为6的有4种结果，
所以两次摸出的球所标数字之积为6的概率为=.
故答案为：D
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
10．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：如图，将从左到右的三条竖线分别记作a、b、c，将从上到下的三条横线分别记作m、n、l，
列表如下，
ab bc ac
mn ab、mn bc、mn ac、mn
nl ab、nl bc、nl ac、nl
ml ab、ml bc、ml ac、ml
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点P的有ab、ml；ab、nl；ac、nl；ac、ml这4种结果，
∴所选矩形含点P的概率，
故答案为：D．
【分析】先列表，再求出共有9种等可能结果，其中所选矩形含点P的有ab、ml；ab、nl；ac、nl；ac、ml这4种结果，最后求概率即可。
11．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出的2名学生恰好是1男1女的有12种情况，
∴选出的2名学生恰好是1男1女的概率是：．
故答案为：．
【分析】利用树状图可得，选出的2名学生恰好是1男1女的概率是。
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种情况，小明所摸纸牌是中心对称图形，小敏所摸纸牌是轴对称图形的情况有6种，
所以概率为．
故答案为．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：在﹣1，π，，1，6中，与是无理数，
列表如下，
-1 1 6
-1 -1， -1， -1，1 -1，6
，-1 ， ， ，6
，-1 ， ， ，6
1 1，-1 1， 1， 1，6
6 6，-1 6， 6， 6，1
共有20种等可能结果，其中取到的两个数都是无理数的有2种情形
故取到的两个数都是无理数的概率为
故答案为：
【分析】利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
14．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：列树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人同坐2号车的结果数为1种，
∴两人同坐2号车的概率，
故答案为：．
【分析】画出树状图得出所有灯可能结果数，再得出两人同坐2号车的结果数，再根据概率公式计算即可。
15．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下
-3 1 2 3
-3 ---------- -3 -6 -9
1 -3 ---------- 2 3
2 -6 2 ---------- 6
3 -9 3 6 ----------
由表可知，随机抽出2张卡片总共有12种可能，“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的有6中可能
所以“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的概率为
故答案为： .
【分析】利用表格列举出共有12种等可能结果，其中“抽出的两张卡片上的数字之积为奇数”的有6种，然后利用概率公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果，
指针指向的数字和为奇数的有4种情况，
∴指针指向的数字和为奇数的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】先画树状图，再求出一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为奇数的有4种情况，最后求概率即可。
17．【答案】解：画树状图如下，
共有6种等可能情况，分别为
，，，，，．
该点在第三象限的情况有和这2种结果．
∴该点在第三象限的概率．
【知识点】列表法与树状图法；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】此题是抽取不放回类型，首先画出树状图，然后找出总情况数以及点在第三象限的情况数（第三象限的点的横纵坐标都是负数），然后利用概率公式进行计算.
18．【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种，
∴一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】先画树状图求出共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种， 再求概率即可。
19．【答案】解：列表如下：
1 2
3 （1，3） （2，3）
4 （1，4） （2，4）
5 （1，5） （2，5）
共有6种等可能结果，其中小明摸出的两个小球标记的数字之和为5有2种，
∴P（摸出的两个小球标记的数字之和为5）＝＝
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】列表得出所有等可能的结果数，在得出其中小明摸出的两个小球标记的数字之和为5的结果数，再根据概率公式计算即可。
20．【答案】（1）解： ∵共有三张卡片，分别是A、B、C三个标号，
∴班长在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为 .
（2）解： 列表如下，
由表格得到，共有9种结果，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的有6种结果，
∴ 小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率为： .
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用概率公式列式计算即可；
（2）根据题意画出树状图或列表，列出所有等可能情况的结果数，再找出小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的结果数，然后运用概率公式求概率即可.
21．【答案】（1）解：画树状图如下，
共有6种结果
（2）解：小方应选择规则①，
理由：∵ 和为奇数的有3种情况，和为偶数的有3种情况；积为奇数的有2种情况，积为偶数的有4种情况，
∴小方应选择规则①.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）抓住关键条件，列树状图，再根据树状图可得到所有的可能的结果数.
（2）利用（1）中的树状图，分别求出和为奇数和积为奇数的情况数，由此可得到获胜机会更大的规则.
22．【答案】（1）解：由题意得：抽到的学生恰好喜欢《西游记》的概率为
（2）解：由题意可得列表如下：
C D
/ √ √ √ √ √
√ / √ √ √ √
√ √ / √ √ √
√ √ √ / √ √
C √ √ √ √ / √
D √ √ √ √ √ /
∴由表格可知共有30种等可能的情况，其中恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性有8种，
∴抽到的学生恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的概率为 .
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）利用喜欢《西游记》 的人数除以总人数即可求出对应的概率；
（2）列出表格，找出总情况数以及恰好1人喜欢《西游记》1人喜欢《红楼梦》的可能性，然后利用概率公式进行计算.
23．【答案】（1）解：甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82岁，
出现次数最多的年龄是85，故众数是85岁；
（2）解：年龄小于70岁甲社区2人，乙社区的有2人，从4人中任取2人，所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有4种，
．
【知识点】列表法与树状图法；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据中位数及众数的定义求解即可；
（2） 利用树状图列举出共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有4种， 然后利用概率公式计算即可.
24．【答案】（1）20
（2）36
（3）解：C类学生总人数为：20×25%=5（人），则C类学生中女生人数为： （人）
D类学生总人数为：20×10%=2（人），则C类学生中男生人数为： （人）
补充完整的条形统计图如下：
（4）解：记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：
男1 女1 女2
男 男男1 男女1 男女2
女 女男1 女女1 女女2
则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图知，B类学生共有6+4=10（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为： （人）.
故答案为：20人；
（2）由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为： ，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%=36°.
故答案为：36；
【分析】（1）利用B类学生的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）首先根据百分比之和为1求出D类学生所占的比例，然后乘以360°即可；
（3）用C类学生所占的比例乘以总人数可得C类学生的人数，进而求出C类学生中女生的人数，同理求出D类学生中男生的人数，据此补全条形统计图；
（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”， 列出表格，找出总情况数以及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，然后利用概率公式进行计算.
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