【精品解析】2022-2023学年北师大版数学九年级上册4.4-4.5同步练习

2022-2023学年北师大版数学九年级上册4.4-4.5同步练习
一、单选题
1．（2021九上·舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（　　）米.
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设车身总厂为x米，则
即
∴
即车身总长约为4.14米.
故答案为：A.
【分析】设出未知数，由黄金比例，上部分：下部分=下部分：总厂，得出方程，得出结果。
2．（2021九上·兴宁期末）若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（　　）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
3．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=
，
∴，
∵S△ABC=16，
∴，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=
BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得
，则S△ADE=
S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
4．（2021九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的面积的比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
，
，
则
与
的位似比为
，
与
的相似比为
则
与
的面积比为
故答案为：D.
【分析】根据点B、D的坐标可得△OAB、△OCD的位似比，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
5．（2021九上·南海期末）如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（　　）
A． B． C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BC2=AC CD，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，D不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．（2021九上·定海期末）如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有
( 1 )；(2)；(3)；(4)；(5).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（1）正确；
（2）∵，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（2）正确；
∵，∠A=∠A，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误；
（4）∵∠BED+∠C=180°，
∴∠B+∠EDC=360°-180°=180°，
∵∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，故（4）正确；
∵∠A=∠A，∠BED=∠C，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误，
∴正确的有（1）（2）（4），共3个.
故答案为：C.
【分析】根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似或根据有两角对应相等的两三角形相似，逐项进行判断，即可得出答案.
7．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．（2021九上·东坡期末）如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所截的三角形与原三角形相似得△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，据此解答.
9．（2021九上·青浦期末）下列图形，一定相似的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
10．（2021九上·毕节期末）如图，在 中，点 分别在 边上， 与 不平行，那么下列条件中，不能判定 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、 ，可利用两组角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、 ，可利用两组角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、 ，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、 ，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图形知∠A=∠A， 要使 ，只能添加一组角相等或∠A的两邻边对应成比例，据此逐一判断即可.
二、填空题
11．（2021九上·宝山期末）如果的值是黄金分割数，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：∵的值是黄金分割数，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用黄金分割的性质可得，再利用线段的比例性质可得。
12．（2021九上·牡丹江期末）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件　 　，使△ADE∽△ACB．
【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠CAB，
∵△ADE∽△ACB
所以，添加的条件为∠D=∠C．
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
13．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有　 　对．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
14．（2021九上·合肥月考）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示　 　 ．
【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
15．（2021九上·青龙期中）如图： 中， 是AB边上一点（与AB不重合），过点 作直线截 ，所截得的三角形与原 相似，满足这样条件的直线共有　 　条．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，当直线 时，此时△APE∽△ABC，符合题意；
如图所示，当直线 时，此时△BPF∽△BAC，符合题意；
如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意；
如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意；
∴一共有四条直线满足题意，
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形的相似，据此分别判断即可。
16．（2021九上·中宁期末）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是　 　（写出一个即可）
【答案】EF∥BC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC.
故答案为EF∥BC.
【分析】利用相似三角形的判定定理，添加条件使△AEF∽△ABC可得答案.
三、作图题
17．（2020九上·银川月考）作出线段 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点 即为所求.
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】作法：①延长线段 至 ，使 ，分别以 、 为圆心，以大于等于线段 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，连接 ，则 ，在 上取点 ，使 ；②连接 ，在 上截取 ；③在 上截取 ，点 就是线段 的黄金分割点.
18．（2020九上·鄞州期中）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中,画△DEF与△ABC相似,且相似比为 ;
（2）在图2中,画△PQR与△ABC相似,且相似比为 .
【答案】（1）解：如图，△DEF为所求，
（2）解：如图， △PQR为所求，
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由△ABC的边长分别为1、和，构造△DEF的边长分别为、2和即可；
（2）由△ABC的边长分别为1、和，构造△DEF的边长分别为、和5即可.
四、解答题
19．（2020九上·亳州期中）如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值．
【答案】解：如图，设 ，
点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ，
＞
，
正方形 ,正方形
，
： ：
：
．
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割点得到，再根据正方形的性质求解即可。
20．（2021九上·镇平县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°.求证：△ADC∽△DEB.
【答案】证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠2＋60°，
∴∠1＝∠2，
∴△ADC∽△DEB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角的性质和∠ADB的构成得∠1=∠2，然后由有两个角对应相等的两个三角形相似可求解.
21．（2021九上·岳阳期末）如图，已知 ，点E、F在线段BD上， ， ，求证：
【答案】证明：∵
∴
又∵ ，
∴
∴ .
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠D，根据已知条件可得
=2，然后利用两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
22．（2021九上·普陀月考）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】解：△ABC △DEF，理由如下：
∵AB= ，AC= ，BC=5，DE=1，DF= ，EF= ，
∴ ，
∴△ABC △DEF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】相似.理由：利用勾股定理分别求出AB、AC、DF、EF，从而得出，利用三边对应成比例的三角形相似即证.
五、综合题
23．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE AC，EF AB.
（1）求证： BDE∽ EFC.
（2）若 ，AD＝6，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵DE AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵EF AB，
∴ ，
∵DE AC，
∴ ，
∴
∵AD＝6，
∴ ，
∴BD=3
∴AB＝9.
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据平行线分线段成比例的性质可得
，
，则
，据此计算.
24．（2021九上·东坡期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB.
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE.
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H.且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH.
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF.
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，结合DF=BE可证明△CDF≌△CBE，得到∠DCF=∠BCE，由平行线的性质可得∠H=∠DCF，则∠BCE=∠H，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由已知条件可得，由平行线分线段成比例的性质可得，则，结合DF=BE，BC=AB可得BE=AG=DF，据此证明.
1 / 12022-2023学年北师大版数学九年级上册4.4-4.5同步练习
一、单选题
1．（2021九上·舟山期末）某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（　　）米.
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
2．（2021九上·兴宁期末）若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（　　）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
3．（2021九上·镇平县期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为16，则四边形BCED的面积为（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
4．（2021九上·宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的面积的比是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021九上·南海期末）如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（　　）
A． B． C．∠ABC=∠BDC D．∠A=∠CBD
6．（2021九上·定海期末）如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有
( 1 )；(2)；(3)；(4)；(5).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·东坡期末）如图，E是的边的延长线上一点，连接交于F，则图中共有相似三角形（　　）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
9．（2021九上·青浦期末）下列图形，一定相似的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
10．（2021九上·毕节期末）如图，在 中，点 分别在 边上， 与 不平行，那么下列条件中，不能判定 的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·宝山期末）如果的值是黄金分割数，那么的值为　 　．
12．（2021九上·牡丹江期末）如图，∠1＝∠2，请添加一个条件　 　，使△ADE∽△ACB．
13．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有　 　对．
14．（2021九上·合肥月考）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D、E各点均为格点，则图中能用字母表示　 　 ．
15．（2021九上·青龙期中）如图： 中， 是AB边上一点（与AB不重合），过点 作直线截 ，所截得的三角形与原 相似，满足这样条件的直线共有　 　条．
16．（2021九上·中宁期末）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是　 　（写出一个即可）
三、作图题
17．（2020九上·银川月考）作出线段 的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）
18．（2020九上·鄞州期中）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中,画△DEF与△ABC相似,且相似比为 ;
（2）在图2中,画△PQR与△ABC相似,且相似比为 .
四、解答题
19．（2020九上·亳州期中）如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值．
20．（2021九上·镇平县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°.求证：△ADC∽△DEB.
21．（2021九上·岳阳期末）如图，已知 ，点E、F在线段BD上， ， ，求证：
22．（2021九上·普陀月考）如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
五、综合题
23．（2021九上·内江期末）如图，在 ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE AC，EF AB.
（1）求证： BDE∽ EFC.
（2）若 ，AD＝6，求AB的长.
24．（2021九上·东坡期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设车身总厂为x米，则
即
∴
即车身总长约为4.14米.
故答案为：A.
【分析】设出未知数，由黄金比例，上部分：下部分=下部分：总厂，得出方程，得出结果。
2．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=
，
∴，
∵S△ABC=16，
∴，
∴S四边形BCED= S△ABC-S△ADE=16-4=12.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=
BC，根据“平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得
，则S△ADE=
S△ABC，再由图形的构成S四边形BCED= S△ABC-S△ADE可求解.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
，
，
则
与
的位似比为
，
与
的相似比为
则
与
的面积比为
故答案为：D.
【分析】根据点B、D的坐标可得△OAB、△OCD的位似比，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵BC2=AC CD，
∴，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，D不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（1）正确；
（2）∵，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，故（2）正确；
∵，∠A=∠A，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误；
（4）∵∠BED+∠C=180°，
∴∠B+∠EDC=360°-180°=180°，
∵∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠B=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，故（4）正确；
∵∠A=∠A，∠BED=∠C，
∴△ABC与△AED不相似，故（3）错误，
∴正确的有（1）（2）（4），共3个.
故答案为：C.
【分析】根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似或根据有两角对应相等的两三角形相似，逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，
∴△EAB∽△AFD.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，进而根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所截的三角形与原三角形相似得△EFC∽△EAB，△EFC∽AFD，据此解答.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、 ，可利用两组角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、 ，可利用两组角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、 ，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、 ，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图形知∠A=∠A， 要使 ，只能添加一组角相等或∠A的两邻边对应成比例，据此逐一判断即可.
11．【答案】
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：∵的值是黄金分割数，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】利用黄金分割的性质可得，再利用线段的比例性质可得。
12．【答案】∠D=∠C（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠CAB，
∵△ADE∽△ACB
所以，添加的条件为∠D=∠C．
故答案为：∠D=∠C（答案不唯一）．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
14．【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ， ， ，
∴ ，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法判断求解即可。
15．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，当直线 时，此时△APE∽△ABC，符合题意；
如图所示，当直线 时，此时△BPF∽△BAC，符合题意；
如图所示，当∠APG=∠ACB，∠A=∠A时，此时△APG∽△ACB，符合题意；
如图所示，当∠BPH=∠BCA，∠B=∠B时，此时△BPH∽△BCA，符合题意；
∴一共有四条直线满足题意，
故答案为：4．
【分析】两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形的相似，据此分别判断即可。
16．【答案】EF∥BC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】当EF∥BC时，△AEF∽△ABC.
故答案为EF∥BC.
【分析】利用相似三角形的判定定理，添加条件使△AEF∽△ABC可得答案.
17．【答案】解：如图，点 即为所求.
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】作法：①延长线段 至 ，使 ，分别以 、 为圆心，以大于等于线段 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，连接 ，则 ，在 上取点 ，使 ；②连接 ，在 上截取 ；③在 上截取 ，点 就是线段 的黄金分割点.
18．【答案】（1）解：如图，△DEF为所求，
（2）解：如图， △PQR为所求，
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由△ABC的边长分别为1、和，构造△DEF的边长分别为、2和即可；
（2）由△ABC的边长分别为1、和，构造△DEF的边长分别为、和5即可.
19．【答案】解：如图，设 ，
点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ，
＞
，
正方形 ,正方形
，
： ：
：
．
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割点得到，再根据正方形的性质求解即可。
20．【答案】证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠2＋60°，
∴∠1＝∠2，
∴△ADC∽△DEB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角的性质和∠ADB的构成得∠1=∠2，然后由有两个角对应相等的两个三角形相似可求解.
21．【答案】证明：∵
∴
又∵ ，
∴
∴ .
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠D，根据已知条件可得
=2，然后利用两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明.
22．【答案】解：△ABC △DEF，理由如下：
∵AB= ，AC= ，BC=5，DE=1，DF= ，EF= ，
∴ ，
∴△ABC △DEF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】相似.理由：利用勾股定理分别求出AB、AC、DF、EF，从而得出，利用三边对应成比例的三角形相似即证.
23．【答案】（1）证明：∵DE AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：∵EF AB，
∴ ，
∵DE AC，
∴ ，
∴
∵AD＝6，
∴ ，
∴BD=3
∴AB＝9.
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据平行线分线段成比例的性质可得
，
，则
，据此计算.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB.
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE.
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H.且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH.
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF.
【知识点】平行线的性质；菱形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，结合DF=BE可证明△CDF≌△CBE，得到∠DCF=∠BCE，由平行线的性质可得∠H=∠DCF，则∠BCE=∠H，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由已知条件可得，由平行线分线段成比例的性质可得，则，结合DF=BE，BC=AB可得BE=AG=DF，据此证明.
1 / 1