2022-2023学年北师大版数学九年级上册4.6利用相似三角形测高 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·宜宾期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 cm， cm，测得边DF离地面的高度 m， m，则树高AB为（ ）
A．4m B．5m C．5.5m D．6.5m
2．（2021九上·天桥期末）小莹同学的身高为1.6米，某一时刻她在阳光下的影长为3.2米，与她邻近的一棵树的影长为8米，则这棵树的高为（ ）
A．3.2米 B．3米 C．4米 D．4.2米
3．（2022九上·诸暨期末）如图，图1是装了液体的高脚杯，加入一些液体后如图2所示，则此时液面AB为（ ）
A．5.6cm B．6.4cm C．8cm D．10cm
4．（2021九上·密云期末）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（ ）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
5．（2021九上·石阡月考）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝12m，则建筑物CD的高度为（ ）
A．10.5m B．10m C．9m D．11m
6．（2021九上·六盘水月考）如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB的长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为10cm，灯头的横截面CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为（ ）
A．90cm B．100cm C． D．
7．（2021九上·颍上月考）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m
8．（2021九上·盐湖期中）如图，小颖把一面镜子水平放置在离树底（点B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢（点A），已知 米，小颖目高 米，则树的高度AB为（ ）
A．3.2米 B．4.8米 C．8米 D．20米
9．（2021九上·合浦期中）如图所示，为了测量文昌塔AB的高度，数学兴趣小组根据光的反射定理（图中 ），把一面镜子放在点C处，然后观测者沿着直线BC后退到点D.这时恰好在镜子里看到塔顶A，此时量得 ， ，观测者目高 ，则塔AB的高度为（ ）
A．35m B．36m C．37m D．38m
10．（2021九上·鄄城期中）如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·太原期末）如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 cm的地方．
12．（2021九上·松江期末）如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 米．
13．（2021九上·通州期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m．
14．（2021九上·晋中期末）榆社文峰塔位于晋中市榆社县城东南的巽山之上，建于清代康熙年间，文峰塔不仅构思奇特，工艺精巧，而且选址巧妙，寓意深远．老师希望同学们利用所学过的知识测量文峰塔的高度，为此数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量示意图，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，测得文峰塔的影长约为28.5米，请根据测量数据计算出文峰塔的高度约为 米．
15．（2021九上·宽城期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
16．（2021九上·信都期中）公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B、C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm．
（1）点C到AB的距离为 cm．
（2）点A到地面的距离为 cm．
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2019九上·立山期中）如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部.已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米.
（1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母.
（2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差.
18．（2021九上·衢州月考）下表是小明填写的实践报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度AB.
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BCDE，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
19．（2021九上·滨海月考）如图，已知小华、小强的身高都是1.6m，小华、小强之间的水平距离BC为14m，在同一盏路灯下，小华的影长AB=4m，小强的影长CD=3m，求这盏路灯OK的高度.
20．（2021九上·武功期末）王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 时，为避免上楼时墙角 碰头，设计墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，他量得客厅高 ，楼梯洞口宽 ，阁楼阳台宽 .请你帮助王老师解决问题：要使墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，楼梯底端 到墙角 的距离 是多少米？
21．（2021九上·毕节月考）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳.如图是小亮站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小亮的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直，已知装饰面的高度AD为0.66米.
（1）求证：；
（2）求装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）.
22．（2021九上·宜兴月考）为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F 处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上.
（1）直接写出 ；
（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度.
23．（2021九上·宣城期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离EB＝20米，镜子中心与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．
（1）在计算过程中C，D之间的距离应是 米．
（2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．
（3）该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
24．（2021九上·宝山期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意
，
cm，
cm，
m，
m，
m
m
故答案为：D.
【分析】依题意可得∠EDF=∠CDB，根据垂直的概念可得∠DEF=∠DCB，证明△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质求出BC，然后根据AB=AC+BC进行计算.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这棵树的高度为x m，根据相同时刻的物高与影长成比例，
则可列比例为：，
解得：x=4．
故答案为：C．
【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例进行解答即可.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得
.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，高脚杯前后的两个三角形相似，根据形似三角形的性质即可得到结果.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CDAB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．
故答案为：C．
【分析】先证明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性质可得＝，再将数据代入计算即可。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：BE∥DC，
则△ABE∽△ACD，
故，
∵标杆BE高1.5m，AB=2m，BC=12m，
∴，
解得：DC=10.5m.
故答案为：A.
【分析】利用DE∥BC可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的对应边成比例可证得，代入BE，AB，BC的长，即可求出DC的长.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AC⊥AB，且AB=30cm，AC=10cm
∴由勾股定理得：
∵AC⊥AB，AB⊥BD
∴
∴∠ACB=∠CBD
∵∠CAB=∠ECF=90°
∴△BCD∽△CAB
∴
∴
故台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为100cm.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出BC，易得AC∥BD，由平行线的性质可得∠ACB=∠CBD，证明△BCD∽△CAB，然后根据相似三角形的性质进行求解.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小芳的影长为x m．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：，
解得：x＝1.4．
经检验，符合题意，
故答案为：B．
【分析】设小芳的影长为x m，根据题意列出比例式求解即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得
∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，
∴△CED∽△AEB，
∴CD：AB＝DE：BE，即1.6：AB＝4：8，
∴AB＝3.2，
答：树的高度AB为3.2m．
故答案为：A．
【分析】先证明△CED∽△AEB，在利用相似比得出AB的长即可。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵反射角=入射角，
∴∠1=∠2，
∴∠ACB=90°-∠1=90°-∠2=∠ECD，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴
∵ ， ， ，BC=BD-CD=94-4=90m，
∴ ，
解得 m.
故答案为：B.
【分析】证明△ABC∽△EDC，可得，据此即可求出AB的长.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴ ，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF= =6m．
故答案为：D．
【分析】作AN⊥EF于N，交BC于M，先证明△ABC∽△AEF，再利用相似的性质可得，最后将数据代入计算即可。
11．【答案】60
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
【分析】先证明△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意知，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【分析】先求出CD＝DE+CE＝4+2BC，再求出△BCE∽△ACD，最后计算求解即可。
13．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠ECD=∠ACB
∴△ABC≌△EDC
∴
∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m）
故答案为：12
【分析】根据全等三角形证出△ABC≌△EDC，可得出，从而得出AB的长。
14．【答案】38
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵△DEF∽△ABC
∴
∴DE=EF×=28.5×=38
故答案为：38
【分析】利用相似三角形的性质得出，从而得出DE的值。
15．【答案】27
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故井深为27尺．
故答案为：27
【分析】由平行线可证，可得，据此即可求解.
16．【答案】（1）24
（2）80.8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）过点C作 ，
∵AB⊥AD，AD⊥DC，
∴四边形ANFD是矩形，
∴ ；
故答案是：24cm．
（2）作 ，由（1）可得：
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A到地面的距离为 ；
故答案是：80.8．
【分析】（1）先求出四边形ANFD是矩形，再求出即可作答；
（2）先求出，再求出，最后求解即可。
17．【答案】（1）如图2所示；
（2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°.
又∵∠AGD为公共角，
∴△ABG∽△CDG.
∴ .
∵DF＝100米，点B是DF的中点，
∴BD＝BF＝50米，
∵AB＝5米，BG＝10米，
∴ ，
∴CD＝30（米）.
又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，
∴△ADB∽△EDF，
∴ ，
∴EF＝2AB＝10（米）
∴CD﹣EF＝20（米）
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）首先由题意可证得△ABG∽△CDG与△DAG∽△AEF，又由相似三角形的对应边成比例与点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，即可求得CD与EF的高，则可求得答案.
18．【答案】解：∵BCDE，
∴
∴
∵BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
∴
解得
小河的宽度为10m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证，可得，据此即可求解.
19．【答案】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由题意得： ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
整理得： ，
解得： ，
∴这盏路灯OK的高度是4.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】易证△KOA∽△EBA，△KOD∽△FCD，根据相似三角形的性质可求出KO、OB，据此解答.
20．【答案】解：根据题意，有 ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
∴ .
∴ .
解得 .
∴ .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用已知条件可知AF∥BC，利用平行线的性质可推出∠ACB=∠GAF；再利用有两组对应角相等的两三角形相似可得到△ABC∽△GFA，利用相似三角形的对应边成比例，可得到建立BC的方程，解方程求出BC的值，然后求出CD的长.
21．【答案】（1）解：由题意可知∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°
∵∠CAD+∠BAE=∠EBA+∠BAE
∴∠CAD=∠ABE
∴
（2）解：由（1）可得
其中AE=
则CD=.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用已知可得到∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°，利用同角的余角相等得∠CAD=∠ABE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，再结合已知条件可求出CD的长.
22．【答案】（1）
（2）解：设AB=x，则BC= ，
∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF，
∴△HGF∽△HAB，
∴ ，
BH=BC+CD+DF+FH= +1.8+3.3+2.4= +7.5，GF=1.6米，FH=2.4米，
∴ ，
解得：x=25.
答：学校旗杆AB的高度为25米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
∵CD=1.8米，ED=1.5米，
∴ = ；
故答案为： ；
【分析】（1）由光的反射定律得出∠ECD=∠ACB，证明△ABC∽△EDC，然后列比例式求解即可；
（2）设AB=x，则BC= ， 根据线段间的和差关系把BH表示出来，证明 △HGF∽△HAB， 然后列比例式求解，即可解答.
23．【答案】（1）1.5
（2）解：∵入射光线和反射光线与镜面夹角相等，
∴△CDE∽△ABE，
即 ，
∴ ，
解得，AB=15米
（3）解：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）C，D之间的距离应是1.5米；
【分析】（1）根据题意可直接得到答案；
（2）根据反射定律可以推出∠CEA=∠AEB，所以可得△CDE∽△ABE，再利用相似的性质可得，再将数据代入计算即可；
（3）根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
24．【答案】（1）解：作EM⊥CD于M，交AB于N，
可得，EF＝BN＝DM＝1.5米，MN＝BD＝23米，EN＝FB＝2米．
∴ME＝25米，AN＝1米，
∵AN∥CD，
∴△AEN∽△CEM，
∴ ，即
∴CM＝12.5米，
CD＝CM+DM＝14米，
答：大楼的高度CD为14米．
（2）解：类似（1）可得△AEN∽△GEM，
∴ ，
∵GD＝11.5米，DM＝1.5米，AN＝1米，ME＝25米，
∴GM＝10米，
∴ ，
∴EN＝2.5米，
相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动2.5-2=0.5（米），
答：相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先求出 △AEN∽△CEM， 再求出 ，最后求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可。
1 / 12022-2023学年北师大版数学九年级上册4.6利用相似三角形测高 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·宜宾期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 cm， cm，测得边DF离地面的高度 m， m，则树高AB为（ ）
A．4m B．5m C．5.5m D．6.5m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意
，
cm，
cm，
m，
m，
m
m
故答案为：D.
【分析】依题意可得∠EDF=∠CDB，根据垂直的概念可得∠DEF=∠DCB，证明△DEF∽△DCB，根据相似三角形的性质求出BC，然后根据AB=AC+BC进行计算.
2．（2021九上·天桥期末）小莹同学的身高为1.6米，某一时刻她在阳光下的影长为3.2米，与她邻近的一棵树的影长为8米，则这棵树的高为（ ）
A．3.2米 B．3米 C．4米 D．4.2米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设这棵树的高度为x m，根据相同时刻的物高与影长成比例，
则可列比例为：，
解得：x=4．
故答案为：C．
【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例进行解答即可.
3．（2022九上·诸暨期末）如图，图1是装了液体的高脚杯，加入一些液体后如图2所示，则此时液面AB为（ ）
A．5.6cm B．6.4cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得
.
故答案为：B.
【分析】由题意可知，高脚杯前后的两个三角形相似，根据形似三角形的性质即可得到结果.
4．（2021九上·密云期末）如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB的高为（ ）
A．5米 B．6.4米 C．8米 D．10米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CDAB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CDAB，
∴△ECD∽△EBA
∴＝，即＝，
解得AB＝8（米），即路灯的高AB为8米．
故答案为：C．
【分析】先证明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性质可得＝，再将数据代入计算即可。
5．（2021九上·石阡月考）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝2m，BC＝12m，则建筑物CD的高度为（ ）
A．10.5m B．10m C．9m D．11m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：BE∥DC，
则△ABE∽△ACD，
故，
∵标杆BE高1.5m，AB=2m，BC=12m，
∴，
解得：DC=10.5m.
故答案为：A.
【分析】利用DE∥BC可证得△ABE∽△ACD，再利用相似三角形的对应边成比例可证得，代入BE，AB，BC的长，即可求出DC的长.
6．（2021九上·六盘水月考）如图所示为某种型号的台灯的横截面图，已知台灯灯柱AB的长为30cm，且与水平桌面垂直，灯臂AC的长为10cm，灯头的横截面CEF为直角三角形，当灯臂AC与灯柱AB垂直时，沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素，则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为（ ）
A．90cm B．100cm C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AC⊥AB，且AB=30cm，AC=10cm
∴由勾股定理得：
∵AC⊥AB，AB⊥BD
∴
∴∠ACB=∠CBD
∵∠CAB=∠ECF=90°
∴△BCD∽△CAB
∴
∴
故台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为100cm.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出BC，易得AC∥BD，由平行线的性质可得∠ACB=∠CBD，证明△BCD∽△CAB，然后根据相似三角形的性质进行求解.
7．（2021九上·颍上月考）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m，他在地面上的影长为2.1m．若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小芳的影长为x m．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：，
解得：x＝1.4．
经检验，符合题意，
故答案为：B．
【分析】设小芳的影长为x m，根据题意列出比例式求解即可。
8．（2021九上·盐湖期中）如图，小颖把一面镜子水平放置在离树底（点B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢（点A），已知 米，小颖目高 米，则树的高度AB为（ ）
A．3.2米 B．4.8米 C．8米 D．20米
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得
∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE，
∴△CED∽△AEB，
∴CD：AB＝DE：BE，即1.6：AB＝4：8，
∴AB＝3.2，
答：树的高度AB为3.2m．
故答案为：A．
【分析】先证明△CED∽△AEB，在利用相似比得出AB的长即可。
9．（2021九上·合浦期中）如图所示，为了测量文昌塔AB的高度，数学兴趣小组根据光的反射定理（图中 ），把一面镜子放在点C处，然后观测者沿着直线BC后退到点D.这时恰好在镜子里看到塔顶A，此时量得 ， ，观测者目高 ，则塔AB的高度为（ ）
A．35m B．36m C．37m D．38m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵反射角=入射角，
∴∠1=∠2，
∴∠ACB=90°-∠1=90°-∠2=∠ECD，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴
∵ ， ， ，BC=BD-CD=94-4=90m，
∴ ，
解得 m.
故答案为：B.
【分析】证明△ABC∽△EDC，可得，据此即可求出AB的长.
10．（2021九上·鄄城期中）如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（ ）
A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴ ，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF= =6m．
故答案为：D．
【分析】作AN⊥EF于N，交BC于M，先证明△ABC∽△AEF，再利用相似的性质可得，最后将数据代入计算即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·太原期末）如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 cm的地方．
【答案】60
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
【分析】先证明△OAB∽△ODC，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
12．（2021九上·松江期末）如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于 米．
【答案】2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意知，DE＝4，
∴CE＝2BC，CD＝2AC，
∴CD＝DE+CE＝4+2BC，
∵AD∥BE，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，
∴＝＝，
∴BC+AB＝2+BC，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【分析】先求出CD＝DE+CE＝4+2BC，再求出△BCE∽△ACD，最后计算求解即可。
13．（2021九上·通州期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝ m．
【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠ECD=∠ACB
∴△ABC≌△EDC
∴
∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m）
故答案为：12
【分析】根据全等三角形证出△ABC≌△EDC，可得出，从而得出AB的长。
14．（2021九上·晋中期末）榆社文峰塔位于晋中市榆社县城东南的巽山之上，建于清代康熙年间，文峰塔不仅构思奇特，工艺精巧，而且选址巧妙，寓意深远．老师希望同学们利用所学过的知识测量文峰塔的高度，为此数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量示意图，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为1.5米，同一时刻，测得文峰塔的影长约为28.5米，请根据测量数据计算出文峰塔的高度约为 米．
【答案】38
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵△DEF∽△ABC
∴
∴DE=EF×=28.5×=38
故答案为：38
【分析】利用相似三角形的性质得出，从而得出DE的值。
15．（2021九上·宽城期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有井径五尺，不知其深，立三尺木于井上，从木末望水岸，入径五寸．问井深几何？”意思是：如图，井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
【答案】27
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得，
故井深为27尺．
故答案为：27
【分析】由平行线可证，可得，据此即可求解.
16．（2021九上·信都期中）公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B、C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm．
（1）点C到AB的距离为 cm．
（2）点A到地面的距离为 cm．
【答案】（1）24
（2）80.8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）过点C作 ，
∵AB⊥AD，AD⊥DC，
∴四边形ANFD是矩形，
∴ ；
故答案是：24cm．
（2）作 ，由（1）可得：
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A到地面的距离为 ；
故答案是：80.8．
【分析】（1）先求出四边形ANFD是矩形，再求出即可作答；
（2）先求出，再求出，最后求解即可。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2019九上·立山期中）如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部.已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米.
（1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母.
（2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差.
【答案】（1）如图2所示；
（2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°.
又∵∠AGD为公共角，
∴△ABG∽△CDG.
∴ .
∵DF＝100米，点B是DF的中点，
∴BD＝BF＝50米，
∵AB＝5米，BG＝10米，
∴ ，
∴CD＝30（米）.
又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，
∴△ADB∽△EDF，
∴ ，
∴EF＝2AB＝10（米）
∴CD﹣EF＝20（米）
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）首先由题意可证得△ABG∽△CDG与△DAG∽△AEF，又由相似三角形的对应边成比例与点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，即可求得CD与EF的高，则可求得答案.
18．（2021九上·衢州月考）下表是小明填写的实践报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度AB.
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BCDE，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
【答案】解：∵BCDE，
∴
∴
∵BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
∴
解得
小河的宽度为10m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证，可得，据此即可求解.
19．（2021九上·滨海月考）如图，已知小华、小强的身高都是1.6m，小华、小强之间的水平距离BC为14m，在同一盏路灯下，小华的影长AB=4m，小强的影长CD=3m，求这盏路灯OK的高度.
【答案】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由题意得： ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
整理得： ，
解得： ，
∴这盏路灯OK的高度是4.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】易证△KOA∽△EBA，△KOD∽△FCD，根据相似三角形的性质可求出KO、OB，据此解答.
20．（2021九上·武功期末）王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 时，为避免上楼时墙角 碰头，设计墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，他量得客厅高 ，楼梯洞口宽 ，阁楼阳台宽 .请你帮助王老师解决问题：要使墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，楼梯底端 到墙角 的距离 是多少米？
【答案】解：根据题意，有 ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
∴ .
∴ .
解得 .
∴ .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用已知条件可知AF∥BC，利用平行线的性质可推出∠ACB=∠GAF；再利用有两组对应角相等的两三角形相似可得到△ABC∽△GFA，利用相似三角形的对应边成比例，可得到建立BC的方程，解方程求出BC的值，然后求出CD的长.
21．（2021九上·毕节月考）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳.如图是小亮站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小亮的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直，已知装饰面的高度AD为0.66米.
（1）求证：；
（2）求装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）.
【答案】（1）解：由题意可知∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°
∵∠CAD+∠BAE=∠EBA+∠BAE
∴∠CAD=∠ABE
∴
（2）解：由（1）可得
其中AE=
则CD=.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用已知可得到∠DCA=∠BEA=∠CAB=90°，利用同角的余角相等得∠CAD=∠ABE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，再结合已知条件可求出CD的长.
22．（2021九上·宜兴月考）为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F 处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上.
（1）直接写出 ；
（2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度.
【答案】（1）
（2）解：设AB=x，则BC= ，
∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF，
∴△HGF∽△HAB，
∴ ，
BH=BC+CD+DF+FH= +1.8+3.3+2.4= +7.5，GF=1.6米，FH=2.4米，
∴ ，
解得：x=25.
答：学校旗杆AB的高度为25米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
∵CD=1.8米，ED=1.5米，
∴ = ；
故答案为： ；
【分析】（1）由光的反射定律得出∠ECD=∠ACB，证明△ABC∽△EDC，然后列比例式求解即可；
（2）设AB=x，则BC= ， 根据线段间的和差关系把BH表示出来，证明 △HGF∽△HAB， 然后列比例式求解，即可解答.
23．（2021九上·宣城期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离EB＝20米，镜子中心与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．
（1）在计算过程中C，D之间的距离应是 米．
（2）根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．
（3）该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】（1）1.5
（2）解：∵入射光线和反射光线与镜面夹角相等，
∴△CDE∽△ABE，
即 ，
∴ ，
解得，AB=15米
（3）解：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）C，D之间的距离应是1.5米；
【分析】（1）根据题意可直接得到答案；
（2）根据反射定律可以推出∠CEA=∠AEB，所以可得△CDE∽△ABE，再利用相似的性质可得，再将数据代入计算即可；
（3）根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．
24．（2021九上·宝山期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
【答案】（1）解：作EM⊥CD于M，交AB于N，
可得，EF＝BN＝DM＝1.5米，MN＝BD＝23米，EN＝FB＝2米．
∴ME＝25米，AN＝1米，
∵AN∥CD，
∴△AEN∽△CEM，
∴ ，即
∴CM＝12.5米，
CD＝CM+DM＝14米，
答：大楼的高度CD为14米．
（2）解：类似（1）可得△AEN∽△GEM，
∴ ，
∵GD＝11.5米，DM＝1.5米，AN＝1米，ME＝25米，
∴GM＝10米，
∴ ，
∴EN＝2.5米，
相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动2.5-2=0.5（米），
答：相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先求出 △AEN∽△CEM， 再求出 ，最后求解即可；
（2）利用相似三角形的性质计算求解即可。
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