2022-2023学年北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·邗江期末）已知 ，且相似比为 ，则 与 的周长比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·槐荫期末）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
3．（2021九上·海珠期末）已知ABO∽DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
4．（2021九上·成都期末）如图，在
的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点
与
相似，则
的长为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
5．（2021九上·崇明期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
6．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·淮北月考）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
8．（2021九上·扬州月考）如图，已知，若，，，则AC的长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
10．（2021九上·铁东期中）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（ ）
A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
二、填空题
11．（2021九上·溧阳期末）如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是 .
12．（2021九上·岳阳期末）若 ， ， 的面积为 ，则 的面积为 .
13．（2022九上·平桂期末）若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍，则该三角形的周长会扩大为原来的 倍.
14．（2021九上·东坡期末）若D为中边上一点，且EDBC交于E，，若与的相似比为，则 .
15．（2021九上·绥化期末）如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
16．（2021九上·金山期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
三、作图题
17．（2021九上·渭滨期末）尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边AC上找一点E，使 （保留作图痕迹，不写作法）.
四、解答题
18．（2021九上·涟水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2 cm，AB＝4 cm，BC＝5 cm，CA＝6 cm，求△DEF的周长.
19．（2020九上·澧县期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
20．（2016九上·九台期中）问题探究：如图①，四边形 ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，求证：△ABE≌△CBF；
方法拓展：如图②，ABCD是矩形，BC=2AB，BF⊥BE，BF=2BE，若矩形ABCD的面积为40，△ABE的面积为4，求阴影部分图形的面积．
五、综合题
21．（2021九上·松江月考）如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6， ，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．
22．（2020九上·北部湾月考）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点， 交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）请找出一对相似的三角形并证明；
（2）若 ，求 的值.
23．（2020九上·遂宁期末）如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
24．（2020九上·新乐期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）经过多少秒，可使PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
（3）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可.
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB=∠APC=65°，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的性质可得。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△DEO，且BO：EO=1：3，
∴△ABO与△DEO的面积比是1：9，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，
若
∽
，
则
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
若
∽
，
则
，即
，解得
（不符合题意，舍去），
故
或
，
故答案为：C.
【分析】由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，若△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质求出EB，进而可得EC、DE的值，据此计算；同理可得△DAE∽△CBE时DE+EC的长.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质可得答案。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的面积之比为：
相似比为：
相似三角形对应高的比等于相似比
对应边上的高的比为：2：3
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的高之比等于相似比求解即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，然后代值计算即可.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴ ，
∴S四边形BEDC：S△ABC＝ ，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可。
11．【答案】1：16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是1︰4，
∴两个相似三角形的相似比是1︰4，
∴它们的面积比是1：16.
故答案为：1：16.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行解答.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴ ，
即
，
解得：△A′B′C′的面积=
（cm2）.
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
13．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：
一个三角形的各边长扩大为原来的2倍，
扩大后的三角形与原三角形相似，
相似三角形的周长的比等于相似比，
这个三角形的周长扩大为原来的2倍，
故答案为：2.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.
14．【答案】5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，△ADE与△ABC的相似比为，
∴，
∵，
∴.
故答案为：5.
【分析】根据相似三角形的相似比可得，然后结合AC的值可得AE的值.
15．【答案】或2或6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
【分析】由AD//BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为（8-x），然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP其分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案。
16．【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴两个相似三角形的周长也比为，
∵较大的三角形的周长为18，
∴较小的三角形的周长为．
故答案为：9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案。
17．【答案】解：如图
方法一：
方法二：
∴点E即为所求.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】要使S△ADE:S△ABC=1:4，则需满足E为AC边的中点，作∠ADE=∠B即可.
18．【答案】解：△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），
∵△ABC∽△DEF，
∴，
∴△DEF的周长=×15=7.5（cm）.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算，即可解答.
19．【答案】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴ ，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似.
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝(8-2x)cm，BQ＝4x，然后分①∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；②∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例就可求出x的值.
20．【答案】问题探究：
证明：如图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵BE⊥BF，BE=BF，
∴∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF，
方法拓展：
解：如图②中，
∵BC=2AB，BF=2BE，
∴ ，
∵∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
，
∵S△ABE=4，
∴S△CBF=16，
∴S阴影部分图形=S矩形ABCD﹣S△ABE+S△CBF=40﹣4+16=52．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．（2）首先证明△ABE∽△CBF，求出△BFC的面积，根据S阴影部分图形=S矩形ABCD﹣S△ABE+S△CBF计算即可．
21．【答案】（1）解：过E作EG⊥CD于G，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠EDB，∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△DBE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ECF=∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，
∴∠CEF=∠B， ，
∴EF∥BD，
∵AC∥BD，
∴EF∥AC，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DCA，
∴△DEF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵△CEF∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 (1) 由 AC∥BD判断△ACE∽△DBE 得到对应边成比例 ，再由同高三角形的面积比等于相似比可得比例式 可判断 △CEF∽△CBD ，进而判断 △DEF∽△DAC，然后列出比例式即可求得结果；
(2) 由△CEF∽△CBD可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得到答案。
22．【答案】（1）解： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴ ， .
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， .
∴ ，
∴ .
设 ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，即可找到 ，即可求解；
（2）根据 ，得到 ，由平行四边形的性质得到 得到 ，再证明 ，得到 ，设 ，则 ，故 ，再表示出MN，故可代入求解.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC BE＝8 2＝6．
∴ ．
∴FC＝ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以 ，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC BE＝8 2＝6，代入计算即可．
24．【答案】（1）解：设经过t秒，PBQ的面积等于8cm2，
由题意得，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，
∵PBQ的面积等于8cm2，
∴ ×2t×（6﹣t）＝8，
解得，t1＝2，t2＝4，
答：经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；
（2）解：设经过m秒，△ABC与△PBQ相似，
当△ABC∽△PBQ时， ，即 ，
解得，m＝ ；
当△ABC∽△QBP时， ，即 ，
解得，m＝ ，
答：经过 秒或 秒，△ABC与△PBQ相似；
（3）解：线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，
理由如下：假设经过n秒线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，
则 ×2n×（6﹣n）＝ ×6×8× ，
整理得，n2﹣6n+12＝0，
∵△＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴原方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
【知识点】相似三角形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可作答；
（2）根据题意进行分类讨论即可作答；
（3）根据题意，分别列出两部分图形的面积，建立方程并整理讨论方程是否有解即可。
1 / 12022-2023学年北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·邗江期末）已知 ，且相似比为 ，则 与 的周长比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答即可.
2．（2021九上·槐荫期末）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB=∠APC=65°，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的性质可得。
3．（2021九上·海珠期末）已知ABO∽DEO，且BO：EO＝1：3，则△ABO与△DEO的面积比是（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△DEO，且BO：EO=1：3，
∴△ABO与△DEO的面积比是1：9，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得答案。
4．（2021九上·成都期末）如图，在
的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点
与
相似，则
的长为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，
若
∽
，
则
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
若
∽
，
则
，即
，解得
（不符合题意，舍去），
故
或
，
故答案为：C.
【分析】由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，若△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质求出EB，进而可得EC、DE的值，据此计算；同理可得△DAE∽△CBE时DE+EC的长.
5．（2021九上·崇明期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的性质可得答案。
6．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
7．（2021九上·淮北月考）如果两个相似三角形的面积比是4：9，则它们对应边上的高之比为（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．3：2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：两个相似三角形的面积之比为：
相似比为：
相似三角形对应高的比等于相似比
对应边上的高的比为：2：3
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的高之比等于相似比求解即可。
8．（2021九上·扬州月考）如图，已知，若，，，则AC的长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，然后代值计算即可.
9．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
10．（2021九上·铁东期中）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为（ ）
A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴ ，
∴S四边形BEDC：S△ABC＝ ，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的性质解答即可。
二、填空题
11．（2021九上·溧阳期末）如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是 .
【答案】1：16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是1︰4，
∴两个相似三角形的相似比是1︰4，
∴它们的面积比是1：16.
故答案为：1：16.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行解答.
12．（2021九上·岳阳期末）若 ， ， 的面积为 ，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
，
∴ ，
即
，
解得：△A′B′C′的面积=
（cm2）.
故答案为：
.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
13．（2022九上·平桂期末）若将△ABC的各边都扩大为原来的2倍，则该三角形的周长会扩大为原来的 倍.
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：
一个三角形的各边长扩大为原来的2倍，
扩大后的三角形与原三角形相似，
相似三角形的周长的比等于相似比，
这个三角形的周长扩大为原来的2倍，
故答案为：2.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可.
14．（2021九上·东坡期末）若D为中边上一点，且EDBC交于E，，若与的相似比为，则 .
【答案】5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ED∥BC，△ADE与△ABC的相似比为，
∴，
∵，
∴.
故答案为：5.
【分析】根据相似三角形的相似比可得，然后结合AC的值可得AE的值.
15．（2021九上·绥化期末）如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
【答案】或2或6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
【分析】由AD//BC，∠ABC=90°，易得∠PAD=∠PBC=90°，又由AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为（8-x），然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP其分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案。
16．（2021九上·金山期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴两个相似三角形的周长也比为，
∵较大的三角形的周长为18，
∴较小的三角形的周长为．
故答案为：9．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案。
三、作图题
17．（2021九上·渭滨期末）尺规作图：已知点D为△ABC的边AB的中点，用尺规在△ABC的边AC上找一点E，使 （保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：如图
方法一：
方法二：
∴点E即为所求.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】要使S△ADE:S△ABC=1:4，则需满足E为AC边的中点，作∠ADE=∠B即可.
四、解答题
18．（2021九上·涟水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2 cm，AB＝4 cm，BC＝5 cm，CA＝6 cm，求△DEF的周长.
【答案】解：△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），
∵△ABC∽△DEF，
∴，
∴△DEF的周长=×15=7.5（cm）.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算，即可解答.
19．（2020九上·澧县期中）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？
【答案】解：设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，
由题意得：AP＝2xcm，PB＝（8﹣2x）cm，BQ＝4x，
分两种情况考虑：
当∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA，
∴ ，
即
解得：x＝0.8，
当x＝0.8秒时，△BPQ与△BAC相似；
当∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：x＝2，
当x＝2秒时，△BPQ与△BAC相似.
综上，当x＝0.8秒或2秒时，△BPQ与△BAC相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设在开始运动后第x秒，△BPQ与△BAC相似，由题意得：AP＝2xcm，PB＝(8-2x)cm，BQ＝4x，然后分①∠BPQ＝∠C，∠B＝∠B时，△PBQ∽△CBA；②∠BPQ＝∠A，∠B＝∠B时，△BPQ∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例就可求出x的值.
20．（2016九上·九台期中）问题探究：如图①，四边形 ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，求证：△ABE≌△CBF；
方法拓展：如图②，ABCD是矩形，BC=2AB，BF⊥BE，BF=2BE，若矩形ABCD的面积为40，△ABE的面积为4，求阴影部分图形的面积．
【答案】问题探究：
证明：如图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵BE⊥BF，BE=BF，
∴∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF，
方法拓展：
解：如图②中，
∵BC=2AB，BF=2BE，
∴ ，
∵∠ABE=∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
，
∵S△ABE=4，
∴S△CBF=16，
∴S阴影部分图形=S矩形ABCD﹣S△ABE+S△CBF=40﹣4+16=52．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据两边夹角对应相等的两个三角形全等即可证明．（2）首先证明△ABE∽△CBF，求出△BFC的面积，根据S阴影部分图形=S矩形ABCD﹣S△ABE+S△CBF计算即可．
五、综合题
21．（2021九上·松江月考）如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6， ，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．
【答案】（1）解：过E作EG⊥CD于G，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠EDB，∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△DBE，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠ECF=∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，
∴∠CEF=∠B， ，
∴EF∥BD，
∵AC∥BD，
∴EF∥AC，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DCA，
∴△DEF∽△DAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵△CEF∽△CBD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 (1) 由 AC∥BD判断△ACE∽△DBE 得到对应边成比例 ，再由同高三角形的面积比等于相似比可得比例式 可判断 △CEF∽△CBD ，进而判断 △DEF∽△DAC，然后列出比例式即可求得结果；
(2) 由△CEF∽△CBD可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得到答案。
22．（2020九上·北部湾月考）如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点， 交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）请找出一对相似的三角形并证明；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴ ， .
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， .
∴ ，
∴ .
设 ， ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，即可找到 ，即可求解；
（2）根据 ，得到 ，由平行四边形的性质得到 得到 ，再证明 ，得到 ，设 ，则 ，故 ，再表示出MN，故可代入求解.
23．（2020九上·遂宁期末）如图，在 ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC BE＝8 2＝6．
∴ ．
∴FC＝ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以 ，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC BE＝8 2＝6，代入计算即可．
24．（2020九上·新乐期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
（1）经过多少秒，可使PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
（3）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设经过t秒，PBQ的面积等于8cm2，
由题意得，AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝（6﹣t）cm，
∵PBQ的面积等于8cm2，
∴ ×2t×（6﹣t）＝8，
解得，t1＝2，t2＝4，
答：经过2秒或4秒，PBQ的面积等于8cm2；
（2）解：设经过m秒，△ABC与△PBQ相似，
当△ABC∽△PBQ时， ，即 ，
解得，m＝ ；
当△ABC∽△QBP时， ，即 ，
解得，m＝ ，
答：经过 秒或 秒，△ABC与△PBQ相似；
（3）解：线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，
理由如下：假设经过n秒线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，
则 ×2n×（6﹣n）＝ ×6×8× ，
整理得，n2﹣6n+12＝0，
∵△＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴原方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
【知识点】相似三角形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）分别表示出BP和BQ，建立方程求解即可作答；
（2）根据题意进行分类讨论即可作答；
（3）根据题意，分别列出两部分图形的面积，建立方程并整理讨论方程是否有解即可。
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