2022-2023学年北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章末检测
一、单选题
1．（2021九上·萍乡期末）若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·宝山期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·胶州期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，3，6，9
4．（2021九上·三水期末）如图，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
5．（2021九上·江州期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．正方形都相似 B．矩形都相似
C．等腰三角形都相似 D．直角三角形都相似
6．（2021九上·铁西期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（ ）
A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm
7．（2021九上·金山期末）如果点是线段AB的黄金分割点，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·崇川月考）如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底B端8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树AB的高度约为（ ）
A．4.2米 B．4.8米 C．6.4米 D．16.8米
10．（2021九上·灵石期中） ABC~ ，若AB： =3：4，则 =（ ）
A． B． C． D．
11．（2021九上·包头期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（－6，－3）
C．（4，2） D．（－4，－2）
二、填空题
12．（2021九上·奉贤期末）如果 ， 那么 ．
13．（2021九上·长沙月考）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE=4，EF=6，AB=2，则AC= .
14．（2021九上·涟水月考）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 .
15．（2021九上·运城期末）我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为 ．
16．（2021九上·舟山期末）如图，在直角 ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝ ；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为 。
17．（2021九上·温州期末）某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP= cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 cm.
三、解答题
18．（2020九上·利辛期中）已知a、b、c为三角形ABC的三边长，且 ， ，求三角形ABC三边的长．
四、综合题
19．（2021九上·崇川月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1.
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .
20．（2021九上·瓯海月考）如图，在5×5的方格纸中，已知格点ABC，请按要求画图.
（1）在图1画一个格点DEF，使DEF与ABC相似，且DEF与ABC的周长比是2.
（2）在图2画一个格点MNL，使MNL与ABC相似，且MNL与ABC的面积比是2.
21．（2020九上·翼城期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 ．
22．（2021九上·长清期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
23．（2021九上·内江期末）如图，在
中，
，
cm，
cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t（s），其中
.解答下列问题：
（1）AP= ，AQ= ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，
∽
；
（3）当P、Q在运动过程中，
能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
24．（2020九上·合浦期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
（3）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
等式的两边都除以3b：，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求解即可。
2．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故答案为：D．
【分析】】根据比例中项的性质可得，再结合可得。
3．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、2×1≠1×3，故本选项不符合题意；
B、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
C.、2×5≠3×4，故本选项不符合题意；
D、2×9=3×6，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵BF=3DF，∴BD=2DF，
∵，
∴=，
∴==2，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，再将数据代入计算即可得到==2。
5．【答案】A
【知识点】相似图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、正方形的对应边成比例，且对应角都是直角，故A选项正确；
B、矩形的对应角都是直角，但对应边不一定成比例，故B选项错误；
C、等腰三角形对应的底角不一定相等，故C选项错误；
D、直角三角形只有直角对应相等，其他两个角不一定对应相等，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据对应边成比例、对应角相等的多边形是相似多边形逐一判断即可.
6．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴它们的周长之比为 ，
∴较大的多边形周长为 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可.
7．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，
且，
则，
故答案为：D．
【分析】由于P为线段的黄金分割点，且，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，
∴△CED∽△AEB，
∴ ，即： ，
∴AB=4.2
故答案为：A.
【分析】根据光的反射原理得出△CED∽△AEB，再根据相似三角形的性质列比例式，最后代值计算即可.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴它们的相似比为 ，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得， ，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案。
11．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0）
A点的对应点C的坐标为，即
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ，
设 则
故答案为：
【分析】根据比例的性质即可得出答案。
13．【答案】5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：5.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，结合已知线段的长求出BC的长，然后根据AC=AB+BC，代入计算求出AC的长.
14．【答案】15cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，
∴设另一个四边形的最短边的长度为x，
∴，解得：.
∴这个四边形的最短边的长度为15cm.
故答案为：15cm.
【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x，根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”，依此建立关于x的方程求解即可.
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵黄金矩形，
∴宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，
∴AB=BC=，
∵BE为的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=，
∴DE=AD-AE=2-（）=．
故答案为：．
【分析】由黄金矩形的定义可得AD=BC=2，AB=BC=，再证明是等腰直角三角形，得出AE=AB=，即可得出答案。
16．【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，作ND⊥AC
易得AB=10
易得
∴
设ND=x，则MD=3x
则AD=AC-CM-MD=6-3x
易得
∴
∴
∴AN=
（2）同（1）理，得出AN=
故答案为：；.
【分析】由三垂直，得出，得出，设出未知数，由平行，得出，得出方程，从而得出结果。
17．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长；
（2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值.
18．【答案】解：由 ，得 ， ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
，
，
所以三角形ABC三边的长为： ， ， ．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件可得 ， ，再代入a+b+c=36 ，计算出c的值，即可求出 三角形ABC三边的长。
19．【答案】（1）解：如图，将点 的横纵坐标都乘以 ，即得到 的坐标，进而顺次连接 ，则△A1B1C1即为所求；
（2）(-2a，-2b)
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）根据（1）的变换可知，将 的的横纵坐标都乘以-2，即 (-2a，-2b)
故答案为：(-2a，-2b).
【分析】（1）根据题意和网格纸的特点，得到位似图形与原图形位于O点的两侧，则知位似比为-2，然后将点A、B、C横纵坐标都乘以- 2，即得到A1， B1和C1的坐标，在平面直角坐标系中描出A1， B1和C1，再把这三点顺次连接起来即可；
（2）根据（1）的变换方法，将P的的横纵坐标乘以-2，即可得出结果.
20．【答案】（1）解：如图所示：
，，，，，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∴△DEF与△ABC的周长比是2；
（2）解：如图所示，
，，，，，，
∴，
∴△MNL∽△ABC，
∴△MNL与△ABC的面积比是2.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出BC，AC的长，再根据△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2，可得到DE，EF，DF的长，再画出△DEF即可；
（2）利用相似三角形的面积等于相似比的平方，利用勾股定理可得到MN，ML，NL的长，然后画出△MNL.
21．【答案】（1）解：补充的证明过程如下：
，
，
（2）6
【知识点】平行线分线段成比例；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）根据梅涅劳斯定理得 ，
∵点D为BC的中点， ，
， ，
，
∵ ， ，
∴AD⊥BC，BD=5，
∴在 中， ，
．
故答案为6．
【分析】（1）先求出 ， 再证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， ，再求出AD⊥BC，BD=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子；
（2）解：由已知可得，
＝ ，
∴ ＝ ，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)连接CB并延长交DE与O，点O即为所求；
(2)利用可得关系式 ＝ ， 即可求解。
23．【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm
（2）解：如图1，
当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，
则 ＝ ，
即 ，
解得：t＝ ；
（3）解：△APQ能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，当AP＝AQ时，
5﹣t＝t，
解得：t＝ ；
②如图4，当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，
则∠AMP＝90°，AM＝QM＝ AQ＝ ，
∵∠ACB＝90°，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ；
③如图5，当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，
则∠ANQ＝∠ACB＝90°，AN＝NP＝ AP＝ （5﹣t），
∵∠NAQ＝∠CAB，
∴△ANQ∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ，
综上所述，当t的值为 或 或 时，△APQ能成为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5（cm），
由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝（5﹣t）cm，
故答案为：（5﹣t）cm，tcm；
【分析】（1）首先由勾股定理求出AB，由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，然后根据AP＝AB-BP可表示出AP；
（2）当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出t的值；
（3）①当AP＝AQ时，5-t＝t，求解可得t的值；②当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，则AM＝QM=
，证明△APM∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值；③当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，同理证明△ANQ∽△ACB，根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值.
24．【答案】（1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM= DC，
∵BD=DC，
∴ ，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，
∴DE∥AM，
∴ .
（3）解：过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴ ，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又∵BC=10，
∴AM=4.
∵DE∥AM，
∴
∴ ，
∴DE= .
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合 ，即可求解.
1 / 12022-2023学年北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章末检测
一、单选题
1．（2021九上·萍乡期末）若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
等式的两边都除以3b：，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求解即可。
2．（2021九上·宝山期末）如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故答案为：D．
【分析】】根据比例中项的性质可得，再结合可得。
3．（2021九上·胶州期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，3，6，9
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、2×1≠1×3，故本选项不符合题意；
B、1×4≠2×3，故本选项不符合题意；
C.、2×5≠3×4，故本选项不符合题意；
D、2×9=3×6，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案。
4．（2021九上·三水期末）如图，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵BF=3DF，∴BD=2DF，
∵，
∴=，
∴==2，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，再将数据代入计算即可得到==2。
5．（2021九上·江州期中）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．正方形都相似 B．矩形都相似
C．等腰三角形都相似 D．直角三角形都相似
【答案】A
【知识点】相似图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、正方形的对应边成比例，且对应角都是直角，故A选项正确；
B、矩形的对应角都是直角，但对应边不一定成比例，故B选项错误；
C、等腰三角形对应的底角不一定相等，故C选项错误；
D、直角三角形只有直角对应相等，其他两个角不一定对应相等，故D选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据对应边成比例、对应角相等的多边形是相似多边形逐一判断即可.
6．（2021九上·铁西期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（ ）
A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴它们的周长之比为 ，
∴较大的多边形周长为 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可.
7．（2021九上·金山期末）如果点是线段AB的黄金分割点，且，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，
且，
则，
故答案为：D．
【分析】由于P为线段的黄金分割点，且，即可得出答案。
8．（2021九上·南京期末）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
∴ ，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方进行判断.
9．（2021九上·崇川月考）如图，为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离树底B端8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，则树AB的高度约为（ ）
A．4.2米 B．4.8米 C．6.4米 D．16.8米
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，
∴△CED∽△AEB，
∴ ，即： ，
∴AB=4.2
故答案为：A.
【分析】根据光的反射原理得出△CED∽△AEB，再根据相似三角形的性质列比例式，最后代值计算即可.
10．（2021九上·灵石期中） ABC~ ，若AB： =3：4，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴它们的相似比为 ，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得， ，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案。
11．（2021九上·包头期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0），则点C的坐标为（ ）
A．（6，3） B．（－6，－3）
C．（4，2） D．（－4，－2）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】顶点A，B的坐标分别为（－2，－1），（－1.5，0）．△OCD与△OAB位似，位似中心是原点O，若点D的坐标为（4.5，0）
A点的对应点C的坐标为，即
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出 A点的对应点C的坐标为 A点的对应点C的坐标为，再求解即可。
二、填空题
12．（2021九上·奉贤期末）如果 ， 那么 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ，
设 则
故答案为：
【分析】根据比例的性质即可得出答案。
13．（2021九上·长沙月考）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE=4，EF=6，AB=2，则AC= .
【答案】5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：5.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，结合已知线段的长求出BC的长，然后根据AC=AB+BC，代入计算求出AC的长.
14．（2021九上·涟水月考）如果四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，另一个和它相似的四边形的最长边长为21cm，那么这个四边形的最短边的长度为 .
【答案】15cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与另一个四边形相似，
∴设另一个四边形的最短边的长度为x，
∴，解得：.
∴这个四边形的最短边的长度为15cm.
故答案为：15cm.
【分析】设另一个四边形的最短边的长度为x，根据相似多边形的性质得出“长边比等于短边比”，依此建立关于x的方程求解即可.
15．（2021九上·运城期末）我们把宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形中，，，的平分线交边于点，则的长为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵黄金矩形，
∴宽与长的比为黄金比，AD∥BC，AD=BC=2，
∴AB=BC=，
∵BE为的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=∠ABE，
∴AE=AB=，
∴DE=AD-AE=2-（）=．
故答案为：．
【分析】由黄金矩形的定义可得AD=BC=2，AB=BC=，再证明是等腰直角三角形，得出AE=AB=，即可得出答案。
16．（2021九上·舟山期末）如图，在直角 ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M从点C出发沿线段CA向点A移动，连接BM，MN BM交边AB于点N．若CM＝2，那么线段AN＝ ；当点M从点C移动到AC的中点时，则点N的运动过程中路径长为 。
【答案】；
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图，作ND⊥AC
易得AB=10
易得
∴
设ND=x，则MD=3x
则AD=AC-CM-MD=6-3x
易得
∴
∴
∴AN=
（2）同（1）理，得出AN=
故答案为：；.
【分析】由三垂直，得出，得出，设出未知数，由平行，得出，得出方程，从而得出结果。
17．（2021九上·温州期末）某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP= cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 cm.
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长；
（2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值.
三、解答题
18．（2020九上·利辛期中）已知a、b、c为三角形ABC的三边长，且 ， ，求三角形ABC三边的长．
【答案】解：由 ，得 ， ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
，
，
所以三角形ABC三边的长为： ， ， ．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】根据已知条件可得 ， ，再代入a+b+c=36 ，计算出c的值，即可求出 三角形ABC三边的长。
四、综合题
19．（2021九上·崇川月考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系.
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2∶1，请在给定的网格内画出△A1B1C1.
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是 .
【答案】（1）解：如图，将点 的横纵坐标都乘以 ，即得到 的坐标，进而顺次连接 ，则△A1B1C1即为所求；
（2）(-2a，-2b)
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）根据（1）的变换可知，将 的的横纵坐标都乘以-2，即 (-2a，-2b)
故答案为：(-2a，-2b).
【分析】（1）根据题意和网格纸的特点，得到位似图形与原图形位于O点的两侧，则知位似比为-2，然后将点A、B、C横纵坐标都乘以- 2，即得到A1， B1和C1的坐标，在平面直角坐标系中描出A1， B1和C1，再把这三点顺次连接起来即可；
（2）根据（1）的变换方法，将P的的横纵坐标乘以-2，即可得出结果.
20．（2021九上·瓯海月考）如图，在5×5的方格纸中，已知格点ABC，请按要求画图.
（1）在图1画一个格点DEF，使DEF与ABC相似，且DEF与ABC的周长比是2.
（2）在图2画一个格点MNL，使MNL与ABC相似，且MNL与ABC的面积比是2.
【答案】（1）解：如图所示：
，，，，，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∴△DEF与△ABC的周长比是2；
（2）解：如图所示，
，，，，，，
∴，
∴△MNL∽△ABC，
∴△MNL与△ABC的面积比是2.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出BC，AC的长，再根据△DEF与△ABC相似，且△DEF与△ABC的周长比是2，可得到DE，EF，DF的长，再画出△DEF即可；
（2）利用相似三角形的面积等于相似比的平方，利用勾股定理可得到MN，ML，NL的长，然后画出△MNL.
21．（2020九上·翼城期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：
如图（1），如果一条直线与 的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，则有 ．
任务：
（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在 中， ， ，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点E，则 ．
【答案】（1）解：补充的证明过程如下：
，
，
（2）6
【知识点】平行线分线段成比例；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）根据梅涅劳斯定理得 ，
∵点D为BC的中点， ，
， ，
，
∵ ， ，
∴AD⊥BC，BD=5，
∴在 中， ，
．
故答案为6．
【分析】（1）先求出 ， 再证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， ，再求出AD⊥BC，BD=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．（2021九上·长清期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．
（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，
线段FH为小亮在灯光下形成的影子；
（2）解：由已知可得，
＝ ，
∴ ＝ ，
∴OD＝4m．
∴灯泡的高为4m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】(1)连接CB并延长交DE与O，点O即为所求；
(2)利用可得关系式 ＝ ， 即可求解。
23．（2021九上·内江期末）如图，在
中，
，
cm，
cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ.设运动的时间为t（s），其中
.解答下列问题：
（1）AP= ，AQ= ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，
∽
；
（3）当P、Q在运动过程中，
能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）（5﹣t）cm；tcm
（2）解：如图1，
当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，
则 ＝ ，
即 ，
解得：t＝ ；
（3）解：△APQ能成为等腰三角形，理由如下：
分三种情况：
①如图3，当AP＝AQ时，
5﹣t＝t，
解得：t＝ ；
②如图4，当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，
则∠AMP＝90°，AM＝QM＝ AQ＝ ，
∵∠ACB＝90°，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ；
③如图5，当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，
则∠ANQ＝∠ACB＝90°，AN＝NP＝ AP＝ （5﹣t），
∵∠NAQ＝∠CAB，
∴△ANQ∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ，
解得：t＝ ，
综上所述，当t的值为 或 或 时，△APQ能成为等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5（cm），
由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，
∴AP＝AB﹣BP＝（5﹣t）cm，
故答案为：（5﹣t）cm，tcm；
【分析】（1）首先由勾股定理求出AB，由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，然后根据AP＝AB-BP可表示出AP；
（2）当∠PQA＝90°时，△APQ∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出t的值；
（3）①当AP＝AQ时，5-t＝t，求解可得t的值；②当AP＝PQ时，过点P作PM⊥AC于M，则AM＝QM=
，证明△APM∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值；③当QP＝AQ时，过点Q作QN⊥AB于N，同理证明△ANQ∽△ACB，根据相似三角形的性质进行求解就可得到t的值.
24．（2020九上·合浦期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
（3）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：∵AD=AC，AM⊥DC，
∴DM= DC，
∵BD=DC，
∴ ，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，
∴DE∥AM，
∴ .
（3）解：过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴ ，
∵S△FCD=5，
∴S△ABC=20，
又∵BC=10，
∴AM=4.
∵DE∥AM，
∴
∴ ，
∴DE= .
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式求出AM的值，结合 ，即可求解.
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