2022-2023学年北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·永定期末）如图，直线y=x+2与反比例函 的图象在第一象限交于点P.若 ，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题意设
整理得：
在第一象限，则
故答案为：B.
【分析】根据直线上的点的坐标特点设 P（x，x+2），由坐标平面内两点间的距离公式求出OP2，结合OP的长可列出方程，解之可求出点P坐标，再将点P坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可.
2．（2021九上·阳东期末）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为
C．当时， D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：A.由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
设反比例函数的解析式为：，代入得，，
，故A不符合题意；
B.当时，，
另一个交点坐标为：，
设直线解析式为：，分别代入，，得
解得
，故B不符合题意；
C.由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，故C不符合题意；
D.由图象可知，若，则，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
3．（2021九上·石阡月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b＜0时，图象交y轴的负半轴；反比例函数 当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限；据此分情况讨论：当k＞0时，-k＜0；当k＜0时，-k＞0，分别可得到两函数的图象所经过的象限，由此可得答案.
4．（2021九上·岱岳期中）函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象如图，点P是y＝ 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝ 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝ AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵A、B是反比函数 上的点，∴S△OBD=S△OAC= ，故①符合题意；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②不符合题意；
∵P是 的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣ ﹣ =3，故③符合题意；
连接OP， =4，∴AC= PC，PA= PC，∴ =3，∴AC= AP；故 ④符合题意；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数k的几何意义和反比例函数图象上点坐标的特征及矩形的性质逐一分析求解即可。
5．（2020九上·龙沙期末）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（ ）
A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝ ，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝ ，
当I≤3时，则 ≤3，
∴R≥2，
故答案为：C．
【分析】根据图像中的点的坐标，先求反比例函数关系式，再由电流不能超过三A列不等式，结合图像求出结论。
6．（2021九上·会同期末）小明乘车从县城到怀化，行车的速度和行车时间之间函数图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】∵小明乘车从县城到怀化的路程固定，设为s，且，
∴，，
故答案为：B.
【分析】根据速度=路程÷时间，列出v关于t的函数关系式，据此判断即可.
7．（2020九上·太谷期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项正确的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、设反比例函数的解析式为y= ，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y= ，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，不合题意；
C、当y=100时，则100= ，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意，结合函数图象，利用待定系数法求解析式，再对每个选项一一判断即可。
8．（2020九上·承德期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h）与行驶速度 （km/h）满足函数关系 点 ，其图象为如图所示的一段双曲线，端点为 和 ，若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要（ ）
A． 分钟 B．40分钟 C．60分钟 D． 分钟
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，函数的解析式为t＝ 函数经过点（40，1），
把（40，1）代入t＝ ，得k＝40，
则解析式为t＝ ，
再把（m，0.5）代入t＝ ，得m＝80；
把v＝60代入t＝ ，得t＝ ，
小时＝40分钟，
则汽车通过该路段最少需要40分钟；
故答案为：B．
【分析】把（40，1）代入t＝ ，得k的值，再把点B代入求出解析式中，求得m的值，再把v＝60代入t＝ ，得t的值即可。
9．（2018九上·娄底期中）A，B两城间的距离为15千米，一人行路的平均速度每小时不少于3千米，也不多于5千米，则表示此人由A到B的行路速度x（千米/小时）与所用时间y（小时）的关系y= 的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知3≤x≤5
∵y=
∴x=
∴3≤ ≤5
∴5≥y≥3
故答案为：D．
【分析】根据题意得出x得取值范围，代入函数式，得到y得取值范围，在取值范围内进行作图
10．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·南海期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1， 2)，若，则x的取值范围是 ．
【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数得：，
则反比例函数的解析式为，
画出两个函数的图象如下：
由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为，
所以结合函数图象得：若，则的取值范围是x＜-1或0＜x＜1
故答案为：x＜-1或0＜x＜1
【分析】先求出一次函数与反比例函数的两个交点坐标，再结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
12．（2021九上·新乐期末）已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，则k的值为 ；当时， ．（填“＞”或“＜”）
【答案】1；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点P代入双曲线可得：
，
∴，
将点P代入直线解析式可得：
，
解得：；
当时，，
结合图像可得：
当时，
，
故答案为：①1；②．
【分析】先求出点P的坐标，再将点P的坐标代入一次函数解析式求出k的值，再结合图象可直接求出当时，。
13．（2020八下·慈溪期末）如图，边长为1的正方形拼成的矩形如图摆放在直角坐标系里，A，B，C，D是格点。反比例函数y= (x>0，k>0)的图象经过格点A并交CB于点E。若四边形AECD的面积为6.4，则k的值为 。
【答案】6.6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵CD=2，AD=1，四边形AECD的面积为6.4，
∴=
解之：CE=5.4.
设点A（m，3），点E（4.4+m，1）
∵反比例函数经过点A，E
∴3m=4.4+m
解之：m=2.2.
∴k=3m=3×2.2=6.6.
故答案为：6.6.
【分析】观察图形，可得到CD=2，AD=1，再根据四边形AECD的面积，可求出CE的长，设点A（m，3），点E（4.4+m，1）根据反比例函数经过点A，E，建立关于m的方程，解方程求出m的值；然后求出k的值.
14．（2019八下·诸暨期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为6mg．研究表明当每立方米空气中含药量低于1.2mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室．
【答案】50
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图像可知两函数图象经过点（10，6），
设药物燃烧后y与x的函数解析式为y=，
k=10×6=60；
∴y=；
∵当y=1.2时，y=.
故答案为：50
【分析】观察函数图象可知两函数图象经过点（10，6），设药物燃烧后y与x的函数解析式为y=，将此点坐标代入，就可求出k的值，可得到函数解析式，再将y=1.2代入可求出x的值，即可求解。
15．（2018九上·鼎城期中）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1= （x＞0）的图象上，顶点B在函数y2= （x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则 = ．
【答案】 =﹣
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】如图，
Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC= a，∴A（ a，a），
∵A在函数y1= （x＞0）的图象上，∴k1= a a= a ，
Rt△BOC中，OB=2OC=2 a，∴BC= =3a，∴B（ a，﹣3a），
∵B在函数y2= （x＞0）的图象上，∴k2=﹣3a· a=﹣3 a ，∴ =﹣ ；
故答案为：- ．
【分析】根据反比例图像上点的特点和直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用 同步练习）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为 .
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】由题意和图可知：线段 和曲线 都过点(1，4)，
∴ ，
∴ ，
当 时，有 ，
解得： 和 ，
∵ ，
∴服一次药的有效治疗时间为 小时.
故答案为：
【分析】将（1，4）代入两函数解析式，可求出两函数的关系式，再把y=0.25分别代入两函数解析式求出t的值，再把所求的两个t的值相减即可解答。
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2020九上·临湘期中）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．
【答案】解：由题意，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，
则 在 上，
∴ ，
又∵ 在 上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式： ，
函数图象如图：
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先求出m的值为4，再将点的坐标代入反比例函数的解析式可得k=8，最后作图即可。
18．（2021九上·铜仁月考）如图，一次函数 的函数图象与反比例函数 的图象交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）.求这两个函数的解析式；
【答案】解：把 代入 ，得： ，
∴反比例函数的表达式是： .
把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴一次函数的表达式是： .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】将点A的坐标代入y2中可得m的值，进而可得反比例函数的表达式，接下来将点A、C的坐标代入y1中可得k、b，进而得到一次函数的表达式.
19．（2021九上·吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．
【答案】解：由已知设y与x的函数关系式为：，
把代入，得，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：，
当时，有，
，
小慧所戴眼镜的度数降低了150度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】设y与x的函数关系式为：，再将代入求出k的值，再将代入反比例函数解析式求出y的值，再利用计算即可。
20．（2020九上·岚山期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线 的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
【答案】解：∵OC=5，BC=1.8，
∴点B的坐标是（1.8，5），代入 ，得，
，
∴双曲线的解析式为 ，
∵DE=0.75，
∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入 ，得
，
解得m=12，
即OE=12，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=1.8
∴AE=OE-OA=12 1.8=10.2（米）
答：B、D之间的水平距离为10.2米．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】用待定系数法解的双曲线的解析式，进而解得点D的坐标，得到OE的长，最后根据矩形的性质解题即可。
21．（2021九上·泰山期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点P在线段AB上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：函数的图象过点，
∴，
∴
∴B（4，-1）
一次函数的图象过点，点
， 解得：；
一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线与轴的交点为，
∵一次函数的解析式y=-x+3
，
，
，
，
，
，，
，
，
点在线段上，
，
，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入中求出k2值，即得解析式，再将B坐标代入解析式中，求出n值即得B坐标，然后将A、B的坐标分别代入一次函数解析式中，求出k1、b的值即得解析式；
（2）先求出直线与轴的交点为（0，3），然后求出，，从而求出 ，根据，求出xP，再将其代入一次函数解析式中求出yp即得结论.
22．（2021九上·颍上月考）如图，在矩形ABCD中，已知点A（2，1），且AB＝4，AD＝3，把矩形ABCD的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．
（1）若曲线L过AB的中点．
①求k的值．
②求该曲线L下方（包括边界）的靓点坐标．
（2）若分布在曲线L上方与下方的靓点个数相同，求k的取值范围．
【答案】（1）解：①∵点A（2，1），且AB=4，AD=3，
∴B（6，1），
∴AB的中点为（4，1），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象过AB的中点，
∴k=4×1=4；
②曲线L下方（包括边界）的靓点坐标为（4，1），（3，1），（2，1），（2，2）；
（2）解：∵点A（2，1），且AB=4，AD=3，
∴B（6，1），C（6，4），D（2，4），
∴矩形ABCD的靓点有5×4=20个，
当k=8时，落在反比例函数图象上有（4，2）和（2，4）两个靓点，图象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（5，1）、（6，1）共8个靓点，
当k=9时，落在反比例函数图象上有（3，3）一个靓点，图象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（5，1）、（6，1）共10个靓点，
∴8＜k＜9．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质得出AB中点的坐标，根据待定系数法即可求得；②根据矩形的靓点，结合k的值即可得到结论；
（2）根据矩形的靓点数结合k=8或k=9，图象上和图象下的靓点数即可得出结论。
23．（2022八下·乐清期末）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为12m2的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
（3）若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】（1）解：由题意得：xy=12，
∴
∴y关于x的函数表达式为.
（2）由题意得，解得（舍去），，BC=12÷4=3答：AB的长度为4m，BC的长度为3m
（3）解：∵用篱笆围成一个面积为12m的矩形劳动基地ABCD，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，
∴当AB=2m时，BC=12÷2=6m；
当AB=3m时，BC=12÷3=4m；
∴方案1：AB=2m，BC=6m；
方案2：AB=3m，BC=4m；
【知识点】反比例函数的实际应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的面积=长×宽，可得到xy=12，由此可得到y与x之间的函数解析式.
（2）利用已知条件：围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，可表示出BC的长；再利用篱笆围成一个面积为12m的矩形劳动基地ABCD，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据已有的一堵长为6m的墙，可求出AB，BC的长.
（3）利用已知条件：用篱笆围成一个面积为12m的矩形劳动基地ABCD，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，可得到所有满足条件的围建方案.
24．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【知识点】一元二次方程的其他应用；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
1 / 12022-2023学年北师大版数学九年级上册6.3反比例函数的应用 同步练习
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·永定期末）如图，直线y=x+2与反比例函 的图象在第一象限交于点P.若 ，则k的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2021九上·阳东期末）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为
C．当时， D．若，则
3．（2021九上·石阡月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
4．（2021九上·岱岳期中）函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象如图，点P是y＝ 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝ 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝ AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
5．（2020九上·龙沙期末）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（ ）
A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1
6．（2021九上·会同期末）小明乘车从县城到怀化，行车的速度和行车时间之间函数图是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020九上·太谷期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项正确的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有3个月的利润低于100万元
D．8月份该厂利润达到200万元
8．（2020九上·承德期末）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（h）与行驶速度 （km/h）满足函数关系 点 ，其图象为如图所示的一段双曲线，端点为 和 ，若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要（ ）
A． 分钟 B．40分钟 C．60分钟 D． 分钟
9．（2018九上·娄底期中）A，B两城间的距离为15千米，一人行路的平均速度每小时不少于3千米，也不多于5千米，则表示此人由A到B的行路速度x（千米/小时）与所用时间y（小时）的关系y= 的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九下·江西月考）小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021九上·南海期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1， 2)，若，则x的取值范围是 ．
12．（2021九上·新乐期末）已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，则k的值为 ；当时， ．（填“＞”或“＜”）
13．（2020八下·慈溪期末）如图，边长为1的正方形拼成的矩形如图摆放在直角坐标系里，A，B，C，D是格点。反比例函数y= (x>0，k>0)的图象经过格点A并交CB于点E。若四边形AECD的面积为6.4，则k的值为 。
14．（2019八下·诸暨期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为6mg．研究表明当每立方米空气中含药量低于1.2mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室．
15．（2018九上·鼎城期中）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1= （x＞0）的图象上，顶点B在函数y2= （x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则 = ．
16．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册1.3 反比例函数的应用 同步练习）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为 .
三、解答题（共8题，共52分）
17．（2020九上·临湘期中）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．
18．（2021九上·铜仁月考）如图，一次函数 的函数图象与反比例函数 的图象交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）.求这两个函数的解析式；
19．（2021九上·吉林期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，求小慧所戴眼镜的度数降低了多少度．
20．（2020九上·岚山期末）如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线 的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长．
21．（2021九上·泰山期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点P在线段AB上，且，求点P的坐标．
22．（2021九上·颍上月考）如图，在矩形ABCD中，已知点A（2，1），且AB＝4，AD＝3，把矩形ABCD的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x＞0）的图象为曲线L．
（1）若曲线L过AB的中点．
①求k的值．
②求该曲线L下方（包括边界）的靓点坐标．
（2）若分布在曲线L上方与下方的靓点个数相同，求k的取值范围．
23．（2022八下·乐清期末）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为12m2的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
（3）若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
24．（2022八下·温州期末）某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y（克）与漂洗次数x（次）满足y=（k为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．
（1）求k的值．
（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？
（3）现将20升水等分成x次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题意设
整理得：
在第一象限，则
故答案为：B.
【分析】根据直线上的点的坐标特点设 P（x，x+2），由坐标平面内两点间的距离公式求出OP2，结合OP的长可列出方程，解之可求出点P坐标，再将点P坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：A.由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
设反比例函数的解析式为：，代入得，，
，故A不符合题意；
B.当时，，
另一个交点坐标为：，
设直线解析式为：，分别代入，，得
解得
，故B不符合题意；
C.由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，故C不符合题意；
D.由图象可知，若，则，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】一次函数y=kx+b中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b＜0时，图象交y轴的负半轴；反比例函数 当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限；据此分情况讨论：当k＞0时，-k＜0；当k＜0时，-k＞0，分别可得到两函数的图象所经过的象限，由此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵A、B是反比函数 上的点，∴S△OBD=S△OAC= ，故①符合题意；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②不符合题意；
∵P是 的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣ ﹣ =3，故③符合题意；
连接OP， =4，∴AC= PC，PA= PC，∴ =3，∴AC= AP；故 ④符合题意；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数k的几何意义和反比例函数图象上点坐标的特征及矩形的性质逐一分析求解即可。
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝ ，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝ ，
当I≤3时，则 ≤3，
∴R≥2，
故答案为：C．
【分析】根据图像中的点的坐标，先求反比例函数关系式，再由电流不能超过三A列不等式，结合图像求出结论。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】∵小明乘车从县城到怀化的路程固定，设为s，且，
∴，，
故答案为：B.
【分析】根据速度=路程÷时间，列出v关于t的函数关系式，据此判断即可.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、设反比例函数的解析式为y= ，
把（1，200）代入得，k=200，
∴反比例函数的解析式为：y= ，
当x=4时，y=50，
∴4月份的利润为50万元，不合题意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，不合题意；
C、当y=100时，则100= ，
解得：x=2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不符合题意．
D、设一次函数解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
故一次函数解析式为：y=30x-70，
故y=200时，200=30x-70，
解得：x=9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据题意，结合函数图象，利用待定系数法求解析式，再对每个选项一一判断即可。
8．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，函数的解析式为t＝ 函数经过点（40，1），
把（40，1）代入t＝ ，得k＝40，
则解析式为t＝ ，
再把（m，0.5）代入t＝ ，得m＝80；
把v＝60代入t＝ ，得t＝ ，
小时＝40分钟，
则汽车通过该路段最少需要40分钟；
故答案为：B．
【分析】把（40，1）代入t＝ ，得k的值，再把点B代入求出解析式中，求得m的值，再把v＝60代入t＝ ，得t的值即可。
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可知3≤x≤5
∵y=
∴x=
∴3≤ ≤5
∴5≥y≥3
故答案为：D．
【分析】根据题意得出x得取值范围，代入函数式，得到y得取值范围，在取值范围内进行作图
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故答案为：A．
【分析】利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．
11．【答案】x＜-1或0＜x＜1
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点代入反比例函数得：，
则反比例函数的解析式为，
画出两个函数的图象如下：
由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为，
所以结合函数图象得：若，则的取值范围是x＜-1或0＜x＜1
故答案为：x＜-1或0＜x＜1
【分析】先求出一次函数与反比例函数的两个交点坐标，再结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
12．【答案】1；
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点P代入双曲线可得：
，
∴，
将点P代入直线解析式可得：
，
解得：；
当时，，
结合图像可得：
当时，
，
故答案为：①1；②．
【分析】先求出点P的坐标，再将点P的坐标代入一次函数解析式求出k的值，再结合图象可直接求出当时，。
13．【答案】6.6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵CD=2，AD=1，四边形AECD的面积为6.4，
∴=
解之：CE=5.4.
设点A（m，3），点E（4.4+m，1）
∵反比例函数经过点A，E
∴3m=4.4+m
解之：m=2.2.
∴k=3m=3×2.2=6.6.
故答案为：6.6.
【分析】观察图形，可得到CD=2，AD=1，再根据四边形AECD的面积，可求出CE的长，设点A（m，3），点E（4.4+m，1）根据反比例函数经过点A，E，建立关于m的方程，解方程求出m的值；然后求出k的值.
14．【答案】50
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由图像可知两函数图象经过点（10，6），
设药物燃烧后y与x的函数解析式为y=，
k=10×6=60；
∴y=；
∵当y=1.2时，y=.
故答案为：50
【分析】观察函数图象可知两函数图象经过点（10，6），设药物燃烧后y与x的函数解析式为y=，将此点坐标代入，就可求出k的值，可得到函数解析式，再将y=1.2代入可求出x的值，即可求解。
15．【答案】 =﹣
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】如图，
Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，
∵AB⊥OC，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC= a，∴A（ a，a），
∵A在函数y1= （x＞0）的图象上，∴k1= a a= a ，
Rt△BOC中，OB=2OC=2 a，∴BC= =3a，∴B（ a，﹣3a），
∵B在函数y2= （x＞0）的图象上，∴k2=﹣3a· a=﹣3 a ，∴ =﹣ ；
故答案为：- ．
【分析】根据反比例图像上点的特点和直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】由题意和图可知：线段 和曲线 都过点(1，4)，
∴ ，
∴ ，
当 时，有 ，
解得： 和 ，
∵ ，
∴服一次药的有效治疗时间为 小时.
故答案为：
【分析】将（1，4）代入两函数解析式，可求出两函数的关系式，再把y=0.25分别代入两函数解析式求出t的值，再把所求的两个t的值相减即可解答。
17．【答案】解：由题意，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，
则 在 上，
∴ ，
又∵ 在 上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式： ，
函数图象如图：
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】先求出m的值为4，再将点的坐标代入反比例函数的解析式可得k=8，最后作图即可。
18．【答案】解：把 代入 ，得： ，
∴反比例函数的表达式是： .
把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴一次函数的表达式是： .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】将点A的坐标代入y2中可得m的值，进而可得反比例函数的表达式，接下来将点A、C的坐标代入y1中可得k、b，进而得到一次函数的表达式.
19．【答案】解：由已知设y与x的函数关系式为：，
把代入，得，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：，
当时，有，
，
小慧所戴眼镜的度数降低了150度．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】设y与x的函数关系式为：，再将代入求出k的值，再将代入反比例函数解析式求出y的值，再利用计算即可。
20．【答案】解：∵OC=5，BC=1.8，
∴点B的坐标是（1.8，5），代入 ，得，
，
∴双曲线的解析式为 ，
∵DE=0.75，
∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入 ，得
，
解得m=12，
即OE=12，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=1.8
∴AE=OE-OA=12 1.8=10.2（米）
答：B、D之间的水平距离为10.2米．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】用待定系数法解的双曲线的解析式，进而解得点D的坐标，得到OE的长，最后根据矩形的性质解题即可。
21．【答案】（1）解：函数的图象过点，
∴，
∴
∴B（4，-1）
一次函数的图象过点，点
， 解得：；
一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线与轴的交点为，
∵一次函数的解析式y=-x+3
，
，
，
，
，
，，
，
，
点在线段上，
，
，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入中求出k2值，即得解析式，再将B坐标代入解析式中，求出n值即得B坐标，然后将A、B的坐标分别代入一次函数解析式中，求出k1、b的值即得解析式；
（2）先求出直线与轴的交点为（0，3），然后求出，，从而求出 ，根据，求出xP，再将其代入一次函数解析式中求出yp即得结论.
22．【答案】（1）解：①∵点A（2，1），且AB=4，AD=3，
∴B（6，1），
∴AB的中点为（4，1），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象过AB的中点，
∴k=4×1=4；
②曲线L下方（包括边界）的靓点坐标为（4，1），（3，1），（2，1），（2，2）；
（2）解：∵点A（2，1），且AB=4，AD=3，
∴B（6，1），C（6，4），D（2，4），
∴矩形ABCD的靓点有5×4=20个，
当k=8时，落在反比例函数图象上有（4，2）和（2，4）两个靓点，图象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（5，1）、（6，1）共8个靓点，
当k=9时，落在反比例函数图象上有（3，3）一个靓点，图象下方有（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（5，1）、（6，1）共10个靓点，
∴8＜k＜9．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质得出AB中点的坐标，根据待定系数法即可求得；②根据矩形的靓点，结合k的值即可得到结论；
（2）根据矩形的靓点数结合k=8或k=9，图象上和图象下的靓点数即可得出结论。
23．【答案】（1）解：由题意得：xy=12，
∴
∴y关于x的函数表达式为.
（2）由题意得，解得（舍去），，BC=12÷4=3答：AB的长度为4m，BC的长度为3m
（3）解：∵用篱笆围成一个面积为12m的矩形劳动基地ABCD，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，
∴当AB=2m时，BC=12÷2=6m；
当AB=3m时，BC=12÷3=4m；
∴方案1：AB=2m，BC=6m；
方案2：AB=3m，BC=4m；
【知识点】反比例函数的实际应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的面积=长×宽，可得到xy=12，由此可得到y与x之间的函数解析式.
（2）利用已知条件：围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，可表示出BC的长；再利用篱笆围成一个面积为12m的矩形劳动基地ABCD，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；然后根据已有的一堵长为6m的墙，可求出AB，BC的长.
（3）利用已知条件：用篱笆围成一个面积为12m的矩形劳动基地ABCD，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，可得到所有满足条件的围建方案.
24．【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，
∴v=5，x=1，y=2，
∴2=，
∴k=-0.1．
（2）解：∵v=5，
∴y=，
∵反比例函数y=，在x>0的范围内y随x的增大而减少，
∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，
∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．
（3）解：由（1）得y=，
∴xy=-0.1v+2.5，即x2y=-0.1vx+2.5x，
∵将20升水等分成x次，
∴vx=20，
∴x2y=-2+2.5x，
∵y=0.5，
∴0.5x2=-2+2.5x，
即x2-5x+4=0，
∴x1=4，x2=1（舍去，x＞1），
∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答：每次漂洗用水5升.
【知识点】一元二次方程的其他应用；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，即得v=5，x=1，y=2，代入解析式中即可求出值；
（2）把v=5代入函数解析式得y=，根据反比例函数的性质，即在x>0的范围内y随x的增大而减少，可求出当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，再由漂洗次数为正整数，即可得出至少漂洗的次数；
（3）由（1）得y=，整理得x2y=-0.1vx+2.5x，由将20升水等分成x次可得vx=20，再由y=0.5，再次化简得x2-5x+4=0，解之即可求得符合题意的x值，进而求出每次漂洗用水升数.
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