北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》综合练习题（word、含解析）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册
第1章《勾股定理》综合练习题
一、单选题
1．下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52
2．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（　　　）
A．36 B．64 C．100 D．100或28
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm
4．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．13 C．7 D．14
5．以下列各组数的长为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15
6．△ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．26
7．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从A点沿盒子的表面爬行到M点的最短距离为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，中，，，，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______
12．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是______cm2．
13．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．
14．如图，在△ABC中，，，，P为边AB上一动点，于点E，于点F，连接EF，则EF的最小值为______．
15．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．
三、解答题
16．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
17．如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．
(1)判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的周长．
18．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．
(1)求证：；
(2)求DF的长．
19．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）
20．某海上有一小岛，为了测量小岛两端A，B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图，已知B是CD的中点，E是BA延长线上的一点，且∠CED＝90°，测得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．
(1)求小岛两端A，B的距离．
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．A
解：A、62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B、0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C、，，不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
2．C
解：直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82＝100，
故选：C．
3．D
根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．
4．A
解：由题意得，
直角三角形的斜边为：
故选：A．
5．B
解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、92+122=152，故是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
6．C
解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC==30．
故选：C．
7．A
解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；
B、根据面积得到；
C、根据面积得到，整理得；
D、根据面积得到，整理得.
故选：A.
8．B
解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行时距离最短；
∵正方体盒子棱长为2，M为BC的中点，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：C
10．D
解： ，，，
设，则，则
故选D
11．30
解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，
∴另一直角边= =5(cm)，
∴面积=×5×12=30 (cm2)．
故答案为：30．
12．24
解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，
∴AB2+CB2＝100＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，
∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），
故答案为：24．
13．45°
取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，
根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，
由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，
则∠ABD+∠CBE=∠MAB，
在Rt△ANB中，有，
同理可求得：，
∵，
∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，
∴∠MAB=45°，
即：∠ABD+∠CBE=45°，
故答案为：45°．
14．
解：如下图，连接CP，
∵在△ABC中，，，，
∴，即∠BCA＝90°．
又∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴四边形CEPF是矩形，
∴EF＝CP．
当CP⊥AB时，CP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
∵，
∴，
即EF的最小值为．
故答案为：．
15．7.5；
解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，
解得：x=7.5，
∴旗杆的高度为7.5m，
故答案为7.5．
16
证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c2．
17
(1)
解：△BDC为直角三角形，理由如下，
∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，
而102=62+82，
∴BC2=BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
(2)
解：设AB=xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB=AC=x，则AD=x-6，
∵AB2=AD2+BD2，
即x2=（x-6）2+82，
∴x=，
∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．
18．
(1)
证明：∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
(2)
解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF=AB=5．
∴DF的长为5．
19．
解：在Rt△ABC中，AB=，
∵，
∴AD=，
∴BD=AB-AD=(12-)m．
20．
(1)
在△DCE中，∠CED＝90°，DE＝60海里，CE＝80海里，
由勾股定理可得（海里），
∵B是CD的中点，
∴（海里），
∴AB＝BE－AE＝50－16.6＝33.4（海里）
答：小岛两端A、B的距离是33.4海里；
(2)
设BF＝x海里．
在Rt△CFB中，∠CFB＝90°，
∴CF2＝CB2－BF2＝502－x2＝2500－x2，
在Rt△CFE中，∠CFE＝90°，
∴CF2＋EF2＝CE2，即，
解得x＝14，
∴
答：值为．
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