(共18张PPT)
特殊平行四边形
平行四边形复行四边形
四边形
矩形
菱形
正方形
有一个内角是直角
对角线相等
有一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边都相等
有三个角是直角
有一组邻边相等
对角线互相垂直
有一个内角是直角
对角线相等
知识回顾
性质 判定
边 两组对边分别平行 两组对边分别相等 有一个角是直角的平行四边形是矩形
角 矩形的四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形
对角线 矩形的两条对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
(矩形)
知识回顾
性质 判定
边 菱形的四条边都相等. ①一组邻边相等的平行四边形是菱形.
②四条边都相等的四边形是菱形.
角 ①对角相等. ②邻角互补.
对角线 菱形的两条对角线互相垂直； 并且每条对角线平分一组对角. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(菱形)
知识回顾
性质 判定
边 正方形的四条边都相等. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
角 正方形的四个角都是直角. 有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线 正方形的两条对角线相等.并且互相垂直平分.每条对角线平分一组对角. ①对角线相等的菱形是正方形.
②对角线互相垂直的矩形是正方形.
(正方形)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，
OB=OD= BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形；
题型讲解
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
题型讲解
练习：过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求证：AP=EF
P ·
A
B
C
D
E
F
证明：
连接AC、PC，
∵正边形ABCD是正方形，
∴BD垂直且平分AC，
∴PA=PC.
∵ PE⊥BC， PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF.
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF.
拓展提高
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°.
在正方形ABCD中， AD∥BC，
∴∠1＝∠AGB＝30°.
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，
∴DF＝1，AF＝ .
由(1)得△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝1，
∴EF＝AF－AE＝ －1.
顺次连接任意四边形各边的中点，所构成的四边形以下简称为“中点四边形”。试判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由。
（1）添加一个条件，使四边形EFGH为菱形；
AC ⊥ BD
AC=BD
AC=BD且AC ⊥ BD
（2）添加一个条件，使四边形EFGH为矩形；
（3）添加一个条件，使四边形EFGH为正方形；
1.矩形的“中点四边形”是 形；
2.菱形的“中点四边形”是 形；
3.正方形的“中点四边形”是 形。
矩
菱
正方
那么，特殊平行四边形的“中点四边形”会是怎样的图形呢？
巩固练习 若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线AC= ，BD= 4 。
（1）求菱形ABCD的面积；
（3） 求∠ADC的度数。
（2）求菱形ABCD的周长；
巩固练习
4.如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D’处，那么tan∠BAD′等于（ ）
(A) 1 (B) (C) (D) 2
B
如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请
说明理由；
(1)证明：∵CE平分∠BCO，
CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形.
解：当点O运动到AC的中点时，
且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF
是矩形，
已知MN∥BC，
当∠ACB＝90°，
则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
(3)在(2)的条件下，△ABC满足什么条件时， 四边形AECF为正方形？
通过本节课的复习，你又增加了哪些收获？能与大家一起分享吗？(共18张PPT)
平行四边形复行四边形与特殊平行四边形的综合运用
温故而知新，可以为师矣
---------[论语]
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
四边形
两组对边
分别平行
平行四边形
矩形
一个角是直角
菱形
一组邻边相等
正方形
一组邻边相等
一个角是直角
一个角是直角
1.四边形与特殊四边形的关系
关 系 图
知识回顾
项目 四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
对边平行且
相等
对边平行
且四边相等
对边平行
且四边相等
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线互相平
分且相等
对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
中心对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
2.几种特殊四边形的性质：
四边形 条件
平行 四边形
矩形
菱形
正方形
3.几种特殊四边形的常用判定方法：
1.定义：两组对边分别平行的四边形
2.两组对边分别相等的四边形
3.一组对边平行且相等的四边形
4.对角线互相平分的四边形
5.两组对角分别相等d的四边形
1.定义：有一角是直角的平行四边形
2.三个角是直角的四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形
2.四条边都相等的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
题型讲解
第1题图
第2题图
25°
D
1.如图， ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．
2.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．
A.4 B.8 C.12 D.16
平行四边形有哪些性质？
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题型讲解
3. 如图，在周长为20cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
EO垂直平分BD
BE=ED
AB+AE+BE=AB+AE+ED
=AB+AD
△ABE的周长=10
要善于转化呀！
1.平行四边形的对角线互相平分
2.垂直平分线性质定理
A
B
C
D
O
E
D
4.如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2.求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积.
题型讲解
解:(1) ∠ABC= 120°
(2)BD=2，AC=
(3)菱形ABCD面积=
菱形面积=底×高=对角线乘积的一半
所有对角线垂直的四边形都可以用此方法求面积
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种证法）
拓展提高
解题思路
方法一：
通过证明△ABE≌△CDF ，
得到BE=DF.
已知：如图，E、F为 ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF，求证：BE=DF．（用两种证法）
拓展提高
方法二：
通过证明四边形BFDE是平行四边形，
得到BE=DF.
证明线段相等的方法有哪些？
在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE．
又∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE．
(1)当AE=2时，则平行四边形的周长=2×(2+5)=14．
(2)当AE=3时，则平行四边形的周长=2×(3+5)=16．
分类讨论思想
本章解题思想方法
平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的的模型如下：
方法总结
如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
（1）FC的长；
（2）EF的长．
方程思想
解：（1）由题意得AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，∵AB=8，
∴BF=6cm，
∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)．
（2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，
在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，
解得x=5，
即EF的长为5cm．
如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积．
转化思想
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AB∥CD，
∴∠EAO=∠HCO.
又∵ ∠AOE＝∠COH，
∴△AEO≌△CHO（ASA），
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
∴S阴影=S△BCD= S平行四边形ABCD= ×6×4=12．
Q
G
E
H
F
P
课堂练习
1. 如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是_________________.
2. 如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.
第1题图 第2题图
课堂练习
3. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，CE⊥BO 于E，且DE：EB=3：1，OF⊥AB于F，OF=3，求矩形对角线的长．
4.如图，在菱形 ABCD和菱形BEFG 中，点A、B、E 在同一条直线上, P是线段DF的中点,连结PG、PC ，若∠ABC＝∠BEF= 60°,求证: .
：
第3题图 第4题图
1.本节课复习了哪些数学知识？
总结反思
2.在解决问题的过程中突出的数学思想方法是什么？
平行四边形的问题往往转化为三角形来解决，同时平行四边形又为三角形全等提供边等和角等.
3.畅所欲言：本节课中你有什么收获？还有什么疑惑呢
结束语
人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。(共17张PPT)
平行四边形复习课
复习平行四边形的性质及判定
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
知识回顾
知识回顾
平行四边形的判定（1）
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
知识回顾
平行四边形的判定(2)
平行四边形的性质与判定的综合运用
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的性质与判定
题型讲解
例1 如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD= =4cm．
故选A．
A
方法总结
主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
1 如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∠B＝∠D，
AB＝CD ， ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
∠EAB＝∠FCD，
∵AD=BC ，∴AF=EC．
题型讲解
利用平行四边形的性质来证明线段或角相等是一种常用方法.
方法总结
题型讲解
2 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求
四边形AGCD的面积．
解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG＝DC.
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝ AG，DF＝ DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形.
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
∴BG＝CG＝ BC＝6.
∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10， AG＝DC＝10，
在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，
∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.
2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G.
求证：∠E=∠F.
A
B
H
F
C
D
E
G
分析：
四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD，AB=CD
BE=DF，AB=CD
AE∥CF，AE=CF
四边形AFCE是平行四边形
∠E=∠F
针对训练
AB∥CD
知识梳理
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
三角形的中位线
如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形.
拓展提高
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，
AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
练习：在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF=AD．
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
练习:在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=
BC．若AB=12，求EF的长．
解：连接CD，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，DC= AB.
∵CF= BC，
∴DE ∥FC，DE =FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∴EF= AB=6．
结束语
人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
