北师大版八年级数学上册 1.1 探索勾股定理 习题1（word版含答案）

1.1 《探索勾股定理》 习题1
一、填空题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知a：b＝3：4，c＝10，则a＝　 　，b＝　 　；
（2）已知a＝6，b＝8，则斜边c上的高h＝　 　．
2.在Rt△ABC中，斜边AB＝3，则AB2+BC2+CA2＝　 　．
3.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于　 　．
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足为H，CH＝　 　．
5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为　 　．
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　 　．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是　 　．
二、选择题
1.在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　）
A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2
2.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（　　）
A． B．
C．h2＝ab D．h2＝a2+b2
3.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　）
A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2
5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（　　）
A．94 B．26 C．22 D．16
6.已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　）
A．21 B．15 C．6 D．21或9
7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（　　）
A．3 B．10 C．12 D．15
8.如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　）
A．18 B．36 C．72 D．125
9.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
10.1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
三、解答题
1.已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC边上的高及△ABC的面积。
2.在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4ab，即（a+b）2＝c2+4ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．
（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；
（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．
3.教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
4.如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．
5.如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？
6.如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．
7.为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？
答案
一、填空题
1.6，8；4.8． 2.18 3.9π．4.12cm． 5.． 6.9． 7.．
二、选择题
1.D．2.B．3.B．4.D．5.B．6.D．7.D．8.A．9.D．10.B．
三、解答题
1.解：作AD⊥BC于D，
设CD＝x，则BD＝21﹣x，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，
解得，x＝6，即CD＝6，
则AD8，
△ABC的面积BC×AD21×8＝84．
2.解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；
四个直角三角形面积和为：4ab；
由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，
即有：c2＝（b﹣a）2+4ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；
（2）如图示：
大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2
所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；
3.解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
4.解：依题意得AC＝2，AE＝3，
设原标杆的高为x，
∵∠A＝90°，
∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，
整理，得x2﹣2ABx＝4，
同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，
整理，得x2﹣2ABx+x＝9，
解得x＝5．
∴原来标杆的高度为5米．
5.解：在直角△ABO中，AB为斜边，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，
则根据勾股定理求得AO2.4（米），
∵A点下移0.4米，
∴A′O＝2米，
在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，
则根据勾股定理B′O1.5（米），
∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
所以梯子向外平移0.8米．
6.解：不正确；
理由：如答图，延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），
∴小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米．
7.解：小明能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴小明能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始小明听到广播，行驶到Q点小明听不到广播，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ800（米），∴PQ＝1600米，
∴小明听到广播的时间为：1600÷250＝6.4（分钟），
∴他总共能听到6.4分钟的广播．