北师大版八年级数学上册 1.1 探索勾股定理 习题2（word版含答案）

1.1《探索勾股定理》习题2
一．选择题
1．在△ABC中，若∠B+∠C＝90°，则（　　）
A．BC＝AB+AC B．AC2＝AB2+BC2
C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　）
A．2π B．3π C．4π D．8π
3．一直角三角形的一条直角边长是6，另一条直角边与斜边长的和是18，则直角三角形的面积是（　　）
A．8 B．48 C．24 D．30
4．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（　　）
A．13海里 B．16海里 C．20海里 D．26海里
5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若大正方形面积是9，小正方形面积是1，则ab的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（　　）
A．16 B．20 C．20 D．24
7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（　　）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．23 B．46 C．65 D．69
二．填空题
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　．
10．如图，李明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　 　m．
11．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　 　．
12．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于　 　．
13．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　 　．
三．解答题
15．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长．
16．国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．
（1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数．
（2）若BC＝2.5，CE＝2，求AD的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
19．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：
（1）图2中间小正方形的周长　 　，大正方形的边长为　 　．
（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）
①S＝　 　；
②S＝　 　；
（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式　 　．
（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条腿直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．
20．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．
答案
一．选择题
1．D．2．A．3．C．4．D．5．A．6．B．7．D．8．D．
二．填空题
9．2.5． 10．12． 11．68或54． 12．6． 13．7． 14．1.5．
三．解答题
15．解：∵CD⊥AB，AC＝20，CD＝12，BD＝9，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△CDB中，
由勾股定理得：BC15，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得：AD16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
答：AB的长为25，BC的长为15．
16．解：如图，AB＝21，BC＝75，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
ACm，
72÷4＝18米/秒＝64.8千米/时＞60千米/时，
∴超速了．
17．解：（1）∵∠ACD＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝65°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC57.5°．
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57.5°＝32.5°；
（2）∵∠ACB＝90°，BC＝2.5，CE＝2，
∴BD＝BC＝2.5，AC＝AD+2，
∴AB＝AD+2.5，
由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（AD+2.5）2＝（AD+2）2+2.52，
解得：AD＝4．
18．解：（1）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm．
（2）由题意得：BP＝tcm．
①当∠APB为直角时，
如图①，点P与点C重合，
BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP为直角时，
如图②，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2＝32+（t﹣1）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即52+32+（t﹣4）2＝t2，
解得t．
答：当△ABP为直角三角形时，t＝4或．
19．解：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为（a+b），
故答案为：4c；a+b；
（2）图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝2ab+c2，
故答案为：（a+b）2或2ab+c2；
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10（负值不合题意，舍去）．
20．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+abb2，
也可以表示为ababc2，
∴ababc2a2+abb2，
即a2+b2＝c2；
（2）∵CA＝x，
∴AH＝x﹣0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，
即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，
解得x＝1.25，
即CA＝1.25，
CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解得：x．