2022--2023学年人教版八年级数学上册 13.3.1 等腰三角形 能力提升（word版含解析）

人教版八上 13.3.1 等腰三角形 能力
一、选择题（共7小题）
1. 如图，已知 ，，若 ，则 等于
A. B. C. D.
2. 如图，在 中，，，，下列结论错误的是
A. 是 边上的中线 B. 是 的平分线
C. 共有 个等腰三角形 D.
3. 如图，在等腰 中， 为 的平分线，，，，则
A. B. C. D.
4. 如图， 平分 ， 于 ，，则图中的等腰三角形的个数为
A. B. C. D.
5. 等腰三角形的一个角比另一个角 倍少 度，等腰三角形顶角的度数是
A. 或 或 B. 或
C. 或 D.
6. 如图，在 中，，，，则
A. B. C. D.
7. “三等分角”大约是在公元前 世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在 点相连并可绕 转动， 点固定，，点 ， 可在槽中滑动若 ，则 的度数是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题）
8. 在等腰 中，，，则 的大小为 ．
9. 已知：如图，在 中，点 在边 上，，，则 度．
10. 如图，， 分别平分 和 ，，，则 ．
11. 如图，已知点 是直线 外一点， 是直线 上一点，且 ，点 是直线 上一动点，当 是等腰三角形时，它的顶角的度数为 ．
12. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰 中，，则它的特征值 ．
三、解答题（共5小题）
13. 如图所示，在 中，，，，求 的度数．
14. 如图，在 中，，， 是 的平分线，交 于点 ， 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ，求证：
（1）；
（2） 为等腰三角形．
15. 如图，在 中，， 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若点 在边 上， 交 的延长线于点 ．求证：．
16. 如图，在 中，，，点 在线段 上运动（ 不与 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于 ．
（1）当 时， ， ；当点 从 向 运动时， 逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当 等于多少时， 请说明理由；
（3）在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由，
17. 【定义】
数学课上，陈老师对我们说，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“好线”，如果 条线段将一个三角形分成 个等腰三角形，那么这 条线段就称为这个三角形的“好好线”．
（1）【理解】
如图①，在 中，，，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知 是一个顶角为 的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
（2）【应用】
（）在 中，已知一个内角为 ，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值： ；
（）在 中，， 和 分别是 的“好好线”，点 在 边上，点 在 边上，且 ，，请你根据题意画出示意图，并求 的度数．
答案
1. C
【解析】，
，
，
，
，
，
．
2. A
【解析】无法得出 ，故 不一定是 边上的中线，故A结论错误；
，
，
，
，
，
是 的平分线，故B，D结论正确；
，
，
，
共有 ，， 个等腰三角形，故C结论正确．
3. C
【解析】 在等腰 中，，
，
为 的平分线，
，
，，
，
，
，，
．
4. C
【解析】如图所示，
，
，
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形．
，
，，
，
，
是等腰三角形．
5. A
【解析】设另一个角是 ，表示出一个角是 ，
① 是顶角， 是底角时，
，解得 ，
顶角是 ；
② 是底角， 是顶角时，
，解得 ，
顶角是 ；
③ 与 都是底角时，
，解得 ，
顶角是 ．
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是 或 或 ．
故选：A．
6. D
【解析】 在 中，，，
，
，
，
．
7. D
【解析】，
，，
，
，
，
，
，
．
8.
【解析】，，
，
．
9.
【解析】，
，
．
，
，
．
10.
【解析】 平分 ，
，
平分 ，
．
，
，，
，，
，（等角对等边），
．
11. 或 或
【解析】当 时，
，
顶角 ，
当 时，
是等腰三角形的顶角，
又 ，
，，
当 时，
是等腰三角形的顶角，
且 ，
．
12. 或
【解析】当 为顶角时，等腰三角形两底角的度数均为 ，
特征值 ．
当 为底角时，顶角的度数为 ，
特征值 ．
综上所述，特征值 ．
13. 设 ，
由 ，可得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，，
解得 ，
．
14. （1） ，，
．
又 是 的平分线，
，
，
，
又 是 的中点，
，即 ．
（2） ，，
垂直平分 ，
，
．
又 ，
．
又 ，
，
，
，
为等腰三角形．
15. （1） ，，
，，
又 ，
．
（2） ，，
，
，
，
，
．
16. （1） ；；小
（2） 当 时，．
理由：，
，
，
，
，
又 ，，
．
（3） 可以 的度数为 或 ．
17. （1） 如图①，如图②所示（答案不唯一）．
（2） （），，，，
（）设 ．
（i）当 时，如图⑨，
，
，
，
，
，
，
，
；
（ii）当 时，如图⑩，
，
，
，
，
，
，
，
；
（iii）当 时，
，
不存在，应舍去．
综上所述，．
【解析】（）（）如图③，
当 时， 为“好线”，则 ，故这个三角形最大内角是 ；
（ii）如图④，
当 时， 为“好线”，则 ，，故这个三角形的最大内角是 ；
（iii）如图⑤，
当 时， 为“好线”，
则 ，，
故这个三角形的最大内角是 ；
（iv）如图⑥，
当 时， 为“好线”，
则 ，
故这个三角形的最大内角是 ；
（v）如图⑦，
当 时， 为“好线”，
则 ，，
故这个三角形的最大内角是 ；
（vi）如图⑧，
当 时， 为“好线”，
则 ，，
故这个三角形的最大内角是 ，
此时存在“好好线”，故舍去．
综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是 ；；；；．