2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 同步知识点分类练习题（word,含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 同步知识点分类练习题（word,含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 528.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-10 21:22:15 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步知识点分类练习题（附答案）
一．等腰三角形的性质
1．已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．16或20 B．16 C．20 D．12或24
2．已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足|2x﹣y+1|+（x+y﹣13）2＝0，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．22或26 B．17 C．17或22 D．22
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，连接BD，且BD＝AB．若∠ABC＝130°，∠C＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
5．如图，在四边形ACBD中，AD＝BD，∠ADB＝120°，点C为动点，∠ACB＝90°，E是BD的中点，连接CE，当CE的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝60°，D为AC边上一点，DE⊥BC于点E．若AD＝BD，BE＝2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB，AC分别于D，E，连接CD，若∠B＝70°，则∠DCB等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．100° B．80° C．80°或100° D．40°
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
二．等腰三角形的判定
13．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
17．如图：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
20．如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．
22．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
23．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
25．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
三．等腰三角形的判定与性质
26．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为 ．
27．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
四．等边三角形的性质
31．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝ cm．
32．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
33．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD．试判断△DEB的形状，并说明理由．
34．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
35．如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD．
五．等边三角形的判定
36．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
37．在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
38．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为 ．
39．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝ ．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质
41．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
42．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
43．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝ cm．
44．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm．
45．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝ ．
46．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
47．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
48．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
49．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
50．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
参考答案
一．等腰三角形的性质
1．解：当腰为4时，4+4＝8，
∴4、4、8不能组成三角形；
当腰为8时，4+8＝12＞8，
∴4、8、8能组成三角形，
该三角形的周长为＝4+8+8＝20．
故选：C．
2．解：∵|2x﹣y+1|+（x+y﹣13）2＝0，
∴，
解得，
∵等腰三角形的两边长分别为x、y，
当等腰三角形的腰为4时，4+4＜9，不能构成三角形，
∴等腰三角形腰不为4，
当等腰三角形的腰为9时，9+9＞4，满足条件，
∴等腰三角形的周长为9+9+4＝22，
故选：D．
3．解：∵AB＝CD，BD＝AB，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABD＝100°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝（180°﹣100°）＝40°，
故选：D．
4．解：设三角形的腰为xcm，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况：
（1）x+x＝9，
解得x＝6，
∵三角形的周长为9+15＝24（cm），
∴三边长分别为6cm，6cm，12cm，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
（2）x+x＝15，
解得x＝10，
∵三角形的周长为24cm，
∴三边长分别为10cm，10cm，4cm．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故选：B．
5．解：如图1，取AB的中点O，连接OD，OC，OE，
∴OC+OE≥CE，
当C，O，E共线时，CE的长度最大，如图2所示，
∵AD＝BD，∠ADB＝120°，
∴∠BOD＝90°，∠ABD＝30°，
∵E为BD的中点，
∴OE＝BD＝BE，
∴∠BOE＝∠OBE＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°，
Rt△ACB中，点O为AB的中点，
∴OB＝OC，
∴∠CBA＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°．
故选：D．
6．解：过D点作DF⊥AB于F，
在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，AF＝BF＝AB，
∴∠CBD＝40°，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∵DE⊥BC，
∴BF＝BE＝2，
∴AB＝4．
故选：D．
7．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××DE AB＝DE AB，
∵S△ABC＝AC BF，
∴AC BF＝DE AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝DE，
∵DE＝4，
∴BF＝8，
故选：D．
8．解：∵∠B＝70°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×70°＝40°，
又∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
9．解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，
∴∠ABC＝2x+y，
∵MN＝BN，
∴∠BMN＝∠MBN＝y，
∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x+y，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，
∴3x+3y＝180°，
∴x+y＝60°，
∴∠CBN+∠MBN＝60°，
即∠MBC＝60°，
故选：D．
10．解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故选：A．
11．解：∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
故选：C．
12．解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
二．等腰三角形的判定
13．解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选：A．
14．解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
15．解：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°；
②AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝40°；
（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°．
故答案为：40°或70°或100°．
16．解：由题意可得，
第一种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴CP＝6cm，
∴t＝6÷2＝3秒；
第二种情况：当CP＝PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AB＝10cm，∠PAC＝∠PCA，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴PA＝PC＝PB＝5cm，
∴t＝（CB+BP）÷2＝（8+5）÷2＝6.5秒；
第三种情况：当AC＝AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AP＝6cm，AB＝10cm，
∴t＝（CB+BA﹣AP）÷2＝（8+10﹣6）÷2＝6秒；
第四种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，
作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝10cm，
设CD＝4a，则AD＝3a，
∴（4a）2+（3a）2＝62，
解得，a＝，
∴AD＝3a＝，
∴AP＝2AD＝7.2cm，
∴t＝＝5.4s，
故答案为：3，6或6.5或5.4．
17．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝30°，
当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝∠BAC＝×30°＝15°，
当AB＝AP2时，∠ABP2＝∠AP2B＝×（180°﹣30°）＝75°，
当AP4＝BP4时，∠BAP4＝∠ABP4，
∴∠AP4B＝180°﹣30°×2＝120°，
∴∠APB的度数为：15°、30°、75°、120°．
故答案为：15°、30°、75°、120°．
18．解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
19．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
20．证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴△ADC是等腰三角形．
21．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠B+∠F＝∠C+∠EGC，
∴∠F＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF，
∴△AFG是等腰三角形．
22．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
23．证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
24．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
25．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
三．等腰三角形的判定与性质
26．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠CFE＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
27．（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
28．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
29．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
30．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
四．等边三角形的性质
31．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
故填3．
32．证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
33．解：结论：△DEB是等腰三角形．
理由：∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴DB＝DE．
∴△DEB是等腰三角形．
34．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
35．证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴∠ACE＝∠BCD＝60°，BC＝AC，EC＝CD．
∴∠BCD+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴BE＝AD．
五．等边三角形的判定
36．解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；
故选：D．
37．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
38．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
39．解：过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵点P（a，b）在第一象限，
∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，
∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，
∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝BP＝PA＝5，
由PN2+BN2＝BP2＝PA2＝PM2+AM2得，
b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2＝25，
由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，
∴2（a﹣b）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，
故答案为：1﹣．
40．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质
41．解：如图所示：连接AC．
∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，
∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．
又∵BC＝BA，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB＝100海里．
故选：A．
42．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
43．解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3cm．
∴BC＝6cm．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
44．解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
45．解：∵AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，
∵CD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD，
∴BD＝AD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，
故答案为：10．
46．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
47．证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵AE＝EB＝BD，
∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED；
（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC＝ED；
理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．
48．解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
49．解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
50．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．
一．等腰三角形的性质
1．已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．16或20 B．16 C．20 D．12或24
2．已知等腰三角形的两边长分别为x、y，且满足|2x﹣y+1|+（x+y﹣13）2＝0，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．22或26 B．17 C．17或22 D．22
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，连接BD，且BD＝AB．若∠ABC＝130°，∠C＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
4．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
5．如图，在四边形ACBD中，AD＝BD，∠ADB＝120°，点C为动点，∠ACB＝90°，E是BD的中点，连接CE，当CE的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝60°，D为AC边上一点，DE⊥BC于点E．若AD＝BD，BE＝2，则AB的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4，则BF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB，AC分别于D，E，连接CD，若∠B＝70°，则∠DCB等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
10．已知等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．100° B．80° C．80°或100° D．40°
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠CDB等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5° B．10° C．15° D．18°
二．等腰三角形的判定
13．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②DE＝BD+CE；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF．
其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．在△ABC中，∠A＝40°，当∠B＝ 时，△ABC是等腰三角形．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
17．如图：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
20．如图，已知AB∥CD，AC平分∠DAB．求证：△ADC是等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）求证：△AFG是等腰三角形．
22．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
23．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
25．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
三．等腰三角形的判定与性质
26．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为 ．
27．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
29．如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
30．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
四．等边三角形的性质
31．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝ cm．
32．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
33．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD．试判断△DEB的形状，并说明理由．
34．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
35．如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD．
五．等边三角形的判定
36．下列条件不能得到等边三角形的是（ ）
A．有两个内角是60°的三角形
B．有一个角是60°的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
37．在下列结论中：
（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
38．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为 ．
39．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝ ．
40．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．
（1）求∠CAE的度数；
（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质
41．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（ ）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里
42．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
43．如图，AB＝AC，DB＝DC，若∠ABC为60°，BE＝3cm，则AB＝ cm．
44．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm．
45．如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝5，则AB＝ ．
46．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE＝AF．
47．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．
48．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
49．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
50．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数．
（2）求证：DC＝CF．
参考答案
一．等腰三角形的性质
1．解：当腰为4时，4+4＝8，
∴4、4、8不能组成三角形；
当腰为8时，4+8＝12＞8，
∴4、8、8能组成三角形，
该三角形的周长为＝4+8+8＝20．
故选：C．
2．解：∵|2x﹣y+1|+（x+y﹣13）2＝0，
∴，
解得，
∵等腰三角形的两边长分别为x、y，
当等腰三角形的腰为4时，4+4＜9，不能构成三角形，
∴等腰三角形腰不为4，
当等腰三角形的腰为9时，9+9＞4，满足条件，
∴等腰三角形的周长为9+9+4＝22，
故选：D．
3．解：∵AB＝CD，BD＝AB，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABD＝100°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝（180°﹣100°）＝40°，
故选：D．
4．解：设三角形的腰为xcm，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况：
（1）x+x＝9，
解得x＝6，
∵三角形的周长为9+15＝24（cm），
∴三边长分别为6cm，6cm，12cm，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
（2）x+x＝15，
解得x＝10，
∵三角形的周长为24cm，
∴三边长分别为10cm，10cm，4cm．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故选：B．
5．解：如图1，取AB的中点O，连接OD，OC，OE，
∴OC+OE≥CE，
当C，O，E共线时，CE的长度最大，如图2所示，
∵AD＝BD，∠ADB＝120°，
∴∠BOD＝90°，∠ABD＝30°，
∵E为BD的中点，
∴OE＝BD＝BE，
∴∠BOE＝∠OBE＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°，
Rt△ACB中，点O为AB的中点，
∴OB＝OC，
∴∠CBA＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°．
故选：D．
6．解：过D点作DF⊥AB于F，
在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，AF＝BF＝AB，
∴∠CBD＝40°，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∵DE⊥BC，
∴BF＝BE＝2，
∴AB＝4．
故选：D．
7．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××DE AB＝DE AB，
∵S△ABC＝AC BF，
∴AC BF＝DE AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝DE，
∵DE＝4，
∴BF＝8，
故选：D．
8．解：∵∠B＝70°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×70°＝40°，
又∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
9．解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，
∴∠ABC＝2x+y，
∵MN＝BN，
∴∠BMN＝∠MBN＝y，
∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x+y，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，
∴3x+3y＝180°，
∴x+y＝60°，
∴∠CBN+∠MBN＝60°，
即∠MBC＝60°，
故选：D．
10．解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故选：A．
11．解：∵AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝35°，
∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
故选：C．
12．解：∵AC＝AB，
∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B+30°＝∠AED+α，
∴∠B＝∠C＝∠AED+α﹣30°，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+α，
即∠AED＝∠AED+α﹣30°+α，
∴2α＝30°，
∴α＝15°，
∠DEC＝α＝15°，
故选：C．
二．等腰三角形的判定
13．解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，
∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．
∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，
∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．
故选：A．
14．解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠BAC＝∠ABC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°
∴△CAD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，
∴△BAD为等腰三角形，
∴则图中等腰三角形的个数是3个．
故选：C．
15．解：（1）当∠A是底角，①AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝100°；
②AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝40°；
（2）当∠A是顶角时，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°．
故答案为：40°或70°或100°．
16．解：由题意可得，
第一种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴CP＝6cm，
∴t＝6÷2＝3秒；
第二种情况：当CP＝PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AB＝10cm，∠PAC＝∠PCA，
∴∠PCB＝∠PBC，
∴PA＝PC＝PB＝5cm，
∴t＝（CB+BP）÷2＝（8+5）÷2＝6.5秒；
第三种情况：当AC＝AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，
∴AP＝6cm，AB＝10cm，
∴t＝（CB+BA﹣AP）÷2＝（8+10﹣6）÷2＝6秒；
第四种情况：当AC＝CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，
作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝10cm，
设CD＝4a，则AD＝3a，
∴（4a）2+（3a）2＝62，
解得，a＝，
∴AD＝3a＝，
∴AP＝2AD＝7.2cm，
∴t＝＝5.4s，
故答案为：3，6或6.5或5.4．
17．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝30°，
当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝∠BAC＝×30°＝15°，
当AB＝AP2时，∠ABP2＝∠AP2B＝×（180°﹣30°）＝75°，
当AP4＝BP4时，∠BAP4＝∠ABP4，
∴∠AP4B＝180°﹣30°×2＝120°，
∴∠APB的度数为：15°、30°、75°、120°．
故答案为：15°、30°、75°、120°．
18．解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°
∴∠ABC＝60°，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，
由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，
故∠BDE的度数为30°．
19．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
20．证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴△ADC是等腰三角形．
21．（1）证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD是等腰三角形底边BC的中线，
∴AD⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BC，
∴∠B+∠F＝∠C+∠EGC，
∴∠F＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠F，
∴AG＝AF，
∴△AFG是等腰三角形．
22．证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
23．证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°．
∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF．
∴∠A＝∠C．
∴△ABC为等腰三角形．
24．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
25．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
三．等腰三角形的判定与性质
26．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠CFE＝∠BCF，
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝3，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
27．（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．
28．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴∠BED+∠CEF＝∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）＝180°，
∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝50°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∴∠DEF＝65°．
29．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
30．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
四．等边三角形的性质
31．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
故填3．
32．证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
33．解：结论：△DEB是等腰三角形．
理由：∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴DB＝DE．
∴△DEB是等腰三角形．
34．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
35．证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴∠ACE＝∠BCD＝60°，BC＝AC，EC＝CD．
∴∠BCD+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴BE＝AD．
五．等边三角形的判定
36．解：A、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，不符合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
D、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；
故选：D．
37．解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选：C．
38．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
39．解：过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵点P（a，b）在第一象限，
∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，
∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，
∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝BP＝PA＝5，
由PN2+BN2＝BP2＝PA2＝PM2+AM2得，
b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2＝25，
由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，
∴2（a﹣b）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，
故答案为：1﹣．
40．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∴∠EAB＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
即∠CAE＝90°；
（2）方法一：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为线段EC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
又∵∠DEA＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
∴△ADE是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知，∠CAE＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AEC＝60°，AE＝CE，
∴∠DEA＝60°，
∵点D为EC的中点，
∴AD＝CE＝DE，
∴AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等边三角形．
六．等边三角形的判定与性质
41．解：如图所示：连接AC．
∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，
∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．
又∵BC＝BA，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝BC＝AB＝100海里．
故选：A．
42．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
43．解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD＝∠CAD．
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝3cm．
∴BC＝6cm．
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝6cm．
故答案为：6．
44．解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC＝AB＝8cm，
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝BC＝4cm．
故答案为：4．
45．解：∵AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，
∵CD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD，
∴BD＝AD＝5，
∴AB＝AD+BD＝10，
故答案为：10．
46．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形；
（2）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD
∵∠EDF＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF．
47．证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵AE＝EB＝BD，
∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED；
（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC＝ED；
理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
∵AB＝AC，AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．
48．解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
49．解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
50．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°，
∴EC＝CF，
∴CD＝CF．