5.2 二次函数的图像和性质（1） 一课一练 2022-2023学年苏科版九年级数学下册（Word版含答案）

5.2 二次函数的图像和性质（1）
1.如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A． B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
2.在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
3.已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
4.函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．C．D．
5.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A． B． C． D．
6.函数y=，当k=______时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x______时，y随x的增大而减小.
7.函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.
8.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x2的图象上的是____.
9.在同直角坐标系中，画出函数的图象．
10.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；（2）；（3）；（4）．
11.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
12.如图，函数y=－a(x+a)与y=－ax2(a≠0)在同一坐标系上的图象是（ ）
A．A B．B C．C D．D
13.已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )
A．y114.二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15.二次函数y=-6x2，当x1＞x2＞0时，y1与y2的大小关系为____.
16.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=–x2的图象，则阴影部分的面积是__________．
17.已知是二次函数，且当时，随增大而增大，则________．
18.已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）
19.已知二次函数，当时，．
（1）当时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
20.如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）连接，，求的面积．
21.已知 a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
22.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.2 二次函数的图像和性质（1）
1.如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围是 （ ）
A． B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【答案】A
【解析】因为抛物线y=(m 1)x 的开口向上，
所以m 1>0，即m>1，故m的取值范围是m>1，
故选A．
2.在同一坐标系中，作y＝x2，，的图象，它们的共同特点是( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
【答案】D
【解析】解：因为y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选D．
3.已知点（-2，），（0，），（1，）都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
【答案】B
【解析】函数的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大.
因为|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故选B.
4.函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
5.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越小”分析可得：
.
故选A.
6.函数y=，当k=______时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x______时，y随x的增大而减小.
【答案】k=-1 x＞0
【解析】（1）∵函数y=的图象是开口向下的抛物线，
∴ ，解得：.
（2）∵当时，函数为：，
∴抛物线开口向下，对称轴为：轴，
∴当时，随的增大而减小.
7.函数y=2x2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.
【答案】y轴 （0，0）
【解析】
函数的对称轴是“y轴”，顶点坐标是：（0，0）.
8.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x2的图象上的是____.
【答案】(-1，-2).
【解析】可将各点代入二次函数里，如果能使等式两边相等，即说明点在函数图象上.可得(－1，－2)在函数图象上.
9.在同直角坐标系中，画出函数的图象．
【答案】见解析
【解析】解：分别列表，然后描点，再画出它们的图象如图．
x … 0 1 2 3 4 …
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
x … 0 0.5 1 1.5 2 …
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
10.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）
【解析】解：（1）∵抛物线解析式为
∴a＝3＞0，
∴抛物线y＝3x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（2）∵抛物线解析式为：，
∴a＝-3＜0，
∴抛物线y＝-3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（3）∵抛物线解析式为：，
∴a＝
∴抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；
（4）∵抛物线解析式为：，
∴a＝，
∴抛物线y＝x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）．
11.函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(a，8)，则a的值为（ ）
A．±2 B．－2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】把点(a，8)代入：y=ax2得：a3=8，解得：a=2.
故选C.
12.如图，函数y=－a(x+a)与y=－ax2(a≠0)在同一坐标系上的图象是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【解析】A选项中，抛物线开口向上说明a<0，则一次函数y=－a(x+a)=-ax-a2应该与y轴交于负半轴，所以A不正确；
B选项中，抛物线开口向下说明a>0，则一次函数y=－a(x+a)=-ax-a2的图象应该从左至右下降，所以B不正确；
C选项中，抛物线开口向上说明a<0，则一次函数y=－a(x+a)=-ax-a2的图象应该从左至右上升，所以C不正确；
D选项中，抛物线开口向下说明a>0，则一次函数y=－a(x+a)=-ax-a2应该与y轴交于负半轴，且直线从左至右下降，所以D正确；
故选D.
13.已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则( )
A．y1【答案】A
【解析】本题考查二次函数图象性质, 二次函数y=x2的开口方向向上,对称轴是y轴,根据图象可知,二次函数上的点距离对称轴越远,函数值越大,因此可得y114.二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】关于二次函数y=x2和y=2x2，
①它们的图象都是开口向上，正确；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)，正确；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大，正确；④它们开口的大小是一样的，错误，开口大小与|a|的绝对值有关，|a|的绝对值越大，开口越小，所以正确的有3个，
故选C.
15.二次函数y=-6x2，当x1＞x2＞0时，y1与y2的大小关系为____.
【答案】y1＜y2
【解析】由函数的解析式可知a=-6，函数的开口线下，在x＞0时，y随x增大而减小，因此可知当x1＞x2＞0时，y1＜y2.
故答案为 y1＜y2
16.如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=–x2的图象，则阴影部分的面积是__________．
【答案】8
【解析】函数y=x2与y=–x2的图象关于x轴对称，又因正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，所以阴影部分的面积为正方形面积的一半，即4×4×=8.
17.已知是二次函数，且当时，随增大而增大，则________．
【答案】
【解析】解：由题意得：k2+k﹣4=2，解得：k=﹣3或k=2；
∵当时，随增大而增大，∴k+2＞0，解得：k＞﹣2；
∴k=2．
故答案为2．
18.已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）
【答案】a1＞a2＞a3＞a4
【解析】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.
19.已知二次函数，当时，．
（1）当时，求y的值；
（2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
【答案】（1）当时，；（2）函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是，当时，函数y随x的增大而增大．
【解析】
（1）∵把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为．
当时，．
（2）∵，
∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．
当时，函数y随x的增大而增大．
20.如图，已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1）交点A，B的坐标分别为；（2）．
【解析】
（1）由题意得
解得或
即交点A，B的坐标分别为．
（2）如图
设直线与y轴交于点，即．
．
21.已知 a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
22.如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）符合条件的点P的坐标为．
【解析】（1）设直线的解析式为．
把代入得解得
所以直线的解析式为．
把代入得，
所以抛物线的解析式为．
（2）依题意得解得或
即直线与抛物线的两个交点的坐标是．
．
设．
∵，∴，解得或（舍去），∴．
（3）．
①当时，；
②当时，；
③当时，点P是线段的垂直平分线与x轴负半轴的交点．
过点C作轴于点F．设．
在中，，
∵，∴，解得，∴
综上所述，符合条件的点P的坐标为．