22.3实际问题与二次函数 自主学习同步练习题 2022-2023学年人教版九年级数学上册（Word版含答案）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》
自主学习同步练习题（附答案）
一．选择题
1．长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（　　）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
2．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3．小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（　　）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
4．一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB＝4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用y＝﹣0.2x2+3.5来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（　　）
A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
5．如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，其中点P在AC上，点NM分别在BCAB上，记PM＝x，PN＝y，图中阴影部分的面积为S，若NP在一定范围内变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
6．北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+30近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（　　）米时，运动员与小山坡C1的竖直距离为20米．
A．50 B． C． D．
7．一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利（m﹣8）（900﹣15m）．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（　　）
A．﹣15（m﹣34）2+10140 B．（m﹣8）（900﹣15m）
C．﹣15m2+1020m﹣7200 D．﹣15（m﹣60）（m﹣8）
8．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是（　　）
A．s≥3 B．3＜s＜8 C．s≤3 D．s≥8
10．如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20cm，如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为．如果想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加10cm，则小孔离水面的距离是（　　）
A．14cm B．15cm C．16cm D．18cm
二．填空题
11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为 　 　米．
12．已知函数y＝mx2+2mx+1在﹣3≤x≤2上有最大值4，则常数m的值为 　 　．
13．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 　 　元（利润＝总销售额﹣总成本）．
14．图1是一个坡度为1：2的斜坡的横截面，斜坡顶端B与地面的距离BC为2.5米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 　 　．
15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　 　米，水面宽8米．
16．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 　 　米．
17．图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 　 　．
三．解答题
18．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴代数式y2+4y+8的最小值为4．
（1）求代数式x2﹣6x+11的最小值；
（2）若a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，则ab＝　 　．
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20米的栅栏围成．如图，设AB＝x米，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
19．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
20．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵长方形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（6﹣x）cm，
面积y＝x（6﹣x），
故选：D．
2．解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），
平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的顶点坐标为（m﹣1，6），
根据关于x轴对称可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上，
再向上平移4个单位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，
此时顶点坐标为（m﹣1，﹣2），最小值为﹣2，
故答案为：B．
3．解：把A代入得：
＝﹣×9+k，
∴k＝，
∴y＝﹣（x﹣3）2+，
令y＝0得﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝8，
∴实心球飞行的水平距离OB的长度为8m，
故选：C．
4．解：当y＝3.05时，
即3.05＝﹣0.2x2+3.5，
解得：x＝1.5m，
∴4﹣1.5＝2.5，
当x＝﹣2.5时，y＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25，
∴2.25﹣0.25﹣1.8＝0.2m，
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
5．解：设AB＝m（m为常数），
在△AMP中，∠A＝45°，AM⊥PM，
∴△AMP为等腰直角三角形，
∴AM＝PM，
∵四边形PMBN是矩形，
∴PN＝BM，
∴x+y＝PM+PN＝AM+BM＝AB＝m，
即y＝﹣x+m，
∴y与x成一次函数关系，
∵S＝S△ABC﹣S矩形PMBN＝m2﹣xy＝m2﹣x（﹣x+m）＝x 2﹣m x+m2，
∴S与x成二次函数关系．
故选：D．
6．解：把（0，50）、（60，60）代入y＝﹣x2+bx+c，
得
解得
∴抛物线C2所对应的函数表达式y＝﹣x2+x+50；
设运动员运动的水平距离是x米，此时小山坡的高度是y＝﹣x2+x+30，运动员运动的水平高度是y＝﹣x2+x+50，
∴﹣x2+x+50＝﹣x2+x+30+20，
解得x＝或0（舍去），
答：运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡C1的竖直距离为20米，
故选：C．
7．解：根据题意，设一个月可以获利为y元，则y＝（m﹣8）（900﹣15m），
＝﹣15（m﹣34）2+10140，
根据顶点式直接看出最大获利润和此时销售价格，
故选：A．
8．解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
9．解：∵x+y2＝3，
∴y2＝3﹣x，
∵3﹣x≥0，
∴x≤3，
∴s＝x2+8y2＝x2+8（3﹣x）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
∴s≥9．
故选：D．
10．解：∵s＝，
∴s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm．
设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4（h﹣）2+（20+m）2，
∴当h＝cm时，s最大为20+m＝20+10，
∴m＝10cm，此时h＝＝15cm．
∴小孔离水面的竖直距离为15cm．
故选：B．
二．填空题
11．解：如右图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y＝ax2+3，
∵函数图象过点A（﹣，0），
∴0＝a（﹣）2+3，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3，
当y＝1时，1＝﹣x2+3，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴水面的宽度是：米．
故答案为：．
12．解：y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m．
当m＞0时，
当x＝2时，y有最大值，
∴4m+4m+1＝4，
∴m＝；
当m＜0时，
当x＝﹣1时，y有最大值，
∴m﹣2m+1＝4，
∴m＝﹣3，
综上所述：m的值为或﹣3．
故答案是：或﹣3．
13．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
14．解：由图2可知，函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，0）代入得，16a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+4．
15．解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，
当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，
∴水面下降米，
故答案为：．
16．解：根据题意可知，AB＝0.2×8＝1.6，以O坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，如图所示，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴抛物线过（0.8，0）、（﹣0.8，0）、（﹣0.6，﹣0.28），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为y＝x2+0.64．
令x＝0，则y＝0.64．
∴OC＝0.64．
故答案为：0.64．
17．解：因为两个抛物线形状相同，可设：yAB＝m（x﹣xA）（x﹣xB）①，yCD＝m（x﹣xC）（x﹣xD）②，其中xA，xB，xC，xD分别为A，B，C，D的横坐标，
对于①令x＝0，则y＝mxA xB，
所以E点坐标为（0，mxAxB）；
同理，对于②令x＝0，则y＝mxC xD，
所以E点坐标为（0，mxCxD），
因为mxAxB＝mxCxD，即xAxB＝xCxD，
因为AB＝50米，BC＝10米，CD＝40米．
所以AC＝60米，
所以xC﹣xA＝60，xC﹣xB＝10，xD﹣xC＝40，
所以xA＝xC﹣60，xB＝xC﹣10，xD＝xC十40，
将上式代入xAxB＝xCxD得，
（xC60）（xC﹣10）＝xC（xC40），
解得xC＝，
又因为xB＝﹣，
所以＝﹣＝．
故答案为：．
三．解答题
18．解：（1）x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2﹣6x+11的最小值为2；
（2）∵a2+2a+1+|b﹣2022|＝0，
∴（a+1）2+|b﹣2022|＝0，
∴a+1＝0，b﹣2022＝0，
∴a＝﹣1，b＝2022，
∴ab＝（﹣1）2022＝1，
故答案为：1；
（3）设花园的面积为ym2，由题意可得，
y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为50，
此时BC的长是20﹣2×5＝10＜15，
∴当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
19．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
20．解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．