第1章勾股定理 知识点分类练习题 2022-2023学年北师大版八年级数学上册 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》知识点分类练习题（附答案）
一．勾股定理
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC＝6，CD＝3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
2．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
3．如图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为S1，正方形DEFG的面积为S2，则S2﹣S1的值为 　 　．
4．Rt△ABC的两条直角边的长分别为4、5，则它的斜边长为　 　．
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是　 　cm2．
6．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　．
7．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择　 　题．
A．如图1，若点D在AC边上，且BD⊥AC，则BD的长为　 　．
B．如图2，若点E在BC边上，且AE＝CE，则AE的长为　 　．
8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 　 　．
9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
10．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　；△ABC的面积为　 　．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
二．勾股定理的证明
11．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为 　 　．
12．如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若CF＝5，AB＝13，则EF的长为　 　．
13．数学课上，同学们就勾股定理的验证方法展开热烈的讨论．下面是创新小组验证过程的一部分．请你认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整．
如图是两张三角形纸片拼成的图形，其中△ABC≌△EAD，∠ACB＝∠EDA＝90°，BC＝AD＝a，AC＝ED＝b（b＞a），AB＝EA＝c，点D在线段AC上，点B，E在边AC异侧，拼成的∠BAE＝90°．试说明：a2+b2＝c2．
验证如下：连接CE，BE点，
∵D在线段AC上，
∴DC＝AC﹣AD＝b﹣a．
∵S四边形ABCE＝S△ABC+S△ADE+S△CDE
＝　 　．
三．勾股定理的逆定理
14．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．5，12，13 C．2，3，4 D．1，，3
15．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．以a为斜边的直角三角形
16．阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　 　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
四．勾股数
17．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝　 　，c＝　 　．
五．勾股定理的应用
18．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（　　）
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
六．平面展开-最短路径问题
20．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　）
A．dm B．20dm C．25dm D．35dm
21．2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
参考答案
一．勾股定理
1．解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝9+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴ED＝．
故选：B．
2．解：设AE＝x，由折叠可知：ED＝BE＝9﹣x，
∵在Rt△ABE中，32+x2＝（9﹣x）2
∴x＝4，
∴S△ABE＝AE AB＝×3×4＝6（cm2）
故选：A．
3．解：∵S1＝DC2，S2＝DE2，
正方形ABCD中DC⊥BC，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DE2＝DC2+CE2，
∴S2＝S1+CE2，
即S2﹣S1＝CE2＝9．
故答案为：9．
4．解：由勾股定理得：斜边长为，
故答案为：．
5．解：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49．
∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案为：17．
6．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
7．解：若选择A题，如图1，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE＝，
∴S△ABC＝，
∴12×8＝10×BD，
∴BD＝，
若选择B题，如图2，过点A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AH＝，
设AE＝x，则EH＝x﹣6，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
（x﹣6）2+82＝x2，
解得x＝，
∴AE＝．
8．解：（1）面积为10的正方形的边长为，
∵＝，
∴如图1所示的四边形即为所求；
（2）∵＝，
＝，
∴如图2所示的三角形即为所求
这个三角形的面积＝×2×2＝2；
故答案为：2．
9．解：∵两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，
现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD＝DE，AE＝AC＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
设DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
即CD的长为3cm．
10．解：（1）AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝，
故答案为：5；；；；
（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1＝5．
二．勾股定理的证明
11．解：由题意作出如下图，
得AC＝，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，
则大正方形面积＝AC2＝34，
△ADC面积＝（5×3﹣2×3）＝4.5，
阴影部分的面积S＝34﹣4×4.5＝16，
故答案为：16．
12．解：如图，
∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，
∴AH＝BE＝CG＝DF，AE＝BG＝CF＝DH，
∴EG＝GF＝GH＝HE，
∴四边形EGFH为菱形，
∵△ABE为直角三角形，
∴∠AEB＝∠GEH＝90°，
∴四边形EGFH为正方形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB＝13，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，CF＝5，
根据勾股定理得，DF＝12，
∴GF＝DF﹣DH＝GC﹣FC＝7，
在△GEF中，GE＝GF＝7，∠EGF＝90°，
根据勾股定理得，EF＝＝7．
故答案为：7．
13．解：验证过程补充如下：
S四边形ABCE＝S△ABC+S△ADE+S△CDE
＝
＝，
S四边形ABCE＝S△ABE+S△BCE
＝
＝，
∴，
∴，
∴b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：
＝，
S四边形ABCE＝S△ABE+S△BCE
＝
＝，
∴，
∴，
∴b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2．
三．勾股定理的逆定理
14．解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
B、∵52+122＝132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
D、∵12+（）2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．
故选：B．
15．解：由题意，a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
故选：D．
16．解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
四．勾股数
17．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；
在52＝12+13中，12＝，13＝；
…
则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．
五．勾股定理的应用
18．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝4（米），
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7（米）．
故选：D．
19．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
六．平面展开-最短路径问题
20．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25（dm）．
故选：C．
21．解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，
则AA′＝＝10（cm）．
故选：B．