《14.2.1 平方差公式》同步练习 2022-2023学年人教版八年级上册数学（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 《14.2.1 平方差公式》同步练习 2022-2023学年人教版八年级上册数学（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-11 09:21:34 | ||
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文档简介
《平方差公式》同步练习
一、选择题。
1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
2．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm2 B．（2R+4）cm2 C．（4R+4）cm2 D．以上都不对
3．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a） （a﹣b）＝a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）＝m4﹣n4
C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）＝9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1
4．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
5．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（2y+x） B．（x+1）（﹣x﹣1）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（3x﹣y）（﹣3x+y）
二、填空题。
6．阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝ ．
7．计算：2008×2010﹣20092＝ ．
8．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），则A的个位数字是 ．
9．计算：＝ ．
10．计算：（1）＝ ；
（2）＝ ．
三、解答题。
11．观察探索：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
…
（1）根据规律写出第⑤个等式： ；
（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；
（3）请求出22018+22017+22016+…+22+2的个位数字．
12．通过计算我们知道：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1
（1）请根据以上计算规律填空：（a﹣1）（an+an﹣1+…+a3+a2+a+1）＝
（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+…+33+32+3+1的个位上的数字．
13．探索
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
（1）试写出第五个等式；
（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；
（3）判断22017+22016+22015+…+22+2+1的值的个位数字是几．
14．阅读下文件，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝．
（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+…+22018②214+215+…+2100．
15．阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝ ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
《平方差公式》同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．
【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
2．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm2 B．（2R+4）cm2 C．（4R+4）cm2 D．以上都不对
【分析】半径为Rcm的圆的面积是S1＝πR2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S2＝π（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可．
【解答】解：∵S2﹣S1＝π（R+2）2﹣πR2，
＝π（R+2﹣R）（R+2+R），
＝4π（R+1），
∴它的面积增加4π（R+1）cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式．
3．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a） （a﹣b）＝a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）＝m4﹣n4
C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）＝9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：A．（b+a）（a﹣b）＝a2﹣b2，计算正确，故本选项不符合题意；
B．（m2+n2）（m2﹣n2）＝m4﹣n4，计算正确，故本选项不符合题意；
C．（2﹣3x）（﹣3x﹣2）＝9x2﹣4，计算正确，故本选项不符合题意；
D．（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
4．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝即可求得a﹣b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝，
∴a﹣b＝÷＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．
5．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（2y+x） B．（x+1）（﹣x﹣1）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（3x﹣y）（﹣3x+y）
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（2x+y）（2y+x）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x+1）（﹣x﹣1）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、（﹣x﹣y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项正确；
D、（3x﹣y）（﹣3x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
二、填空题。
6．阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝ 1﹣xn+1 ．
【分析】根据平方差公式和所给出的式子的特点，找出规律，写出答案即可．
【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；
故答案为：1﹣xn+1．
【点评】此题考查数字的变化规律，关键是根据平方差公式找出本题的规律，是一道基础题．
7．计算：2008×2010﹣20092＝ ﹣1 ．
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．
【解答】解：原式＝（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092
＝20092﹣1﹣20092
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．
8．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），则A的个位数字是 5 ．
【分析】将A进行化简，确定出个位数字即可．
【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
∴个位上数字以2，4，8，6循环，
∵64÷4＝16，
∴个位上数字为6，
则A个位数字为5，
故答案为：5
【点评】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，弄清题中的规律是解本题的关键．
9．计算：＝ 2 ．
【分析】在原式的前面添上2×，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果．
【解答】解：
＝2×
＝2×+
＝2×+
＝2×+
＝2×+
＝2×+
＝2﹣+
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，解决问题的关键是在原式的前面添上2×，便于运用平方差公式．
10．计算：（1）＝ ﹣3 ；
（2）＝ 399 ．
【分析】（1）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；
（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）（）100×（﹣3）101，
＝（）100×（﹣3）100×（﹣3），
＝[×（﹣3）]100×（﹣3），
＝﹣3；
（2）原式＝（20+）（20﹣），
＝400﹣，
＝399．
【点评】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是解题的关键．
三、解答题。
11．观察探索：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
…
（1）根据规律写出第⑤个等式： （x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1 ；
（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；
（3）请求出22018+22017+22016+…+22+2的个位数字．
【分析】（1）根据探索材料规律写出第⑤个等式；
（2）把27+26+25+24+23+22+2变形为2×（26+25+24+23+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1）]，依此即可求解；
（3）把22018+22017+22016+…+22+2变形为2×（22017+22016+…+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（22017+22016+…+22+2+1）]，得出原式＝22019﹣2，研究22019的末尾数字规律，进一步解决问题依此即可求解．
【解答】解：（1）第⑤个等式是：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
（2）27+26+25+24+23+22+2
＝2×（22017+22016+…+22+2+1）
＝2×[（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1）]
＝2×（27﹣1）
＝28﹣2
＝254；
（3）22018+22017+22016+…+22+2
＝2×（22017+22016+…+22+2+1）
＝2×[（2﹣1）×（22017+22016+…+22+2+1）]
＝2×[（22018﹣1）
＝22019﹣2，
∵21的个位数字是2，22的个位数字是4，23的个位数字是8，24的个位数字是6，25的个位数字是2，…，
∴2n的个位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2019÷4＝504…3，
所以22019的个位数字是8，
22019﹣2的个位数字是6．
故答案为：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1．
【点评】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
12．通过计算我们知道：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1
（1）请根据以上计算规律填空：（a﹣1）（an+an﹣1+…+a3+a2+a+1）＝ an+1﹣1
（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+…+33+32+3+1的个位上的数字．
【分析】（1）通过计算先找到规律，根据规律得结论；
（2）先把32018+32017+…+33+32+3+1乘以（3﹣1）变形为（1）中规律的形式，计算出结果．再找到3n的个位数字变化规律，得结论．
【解答】解：（1）由以上计算规律可知：
（a﹣1）（an+an﹣1+…+a3+a2+a+1）＝an+1﹣1；
故答案为：an+1﹣1；
（2）32018+32017+…+33+32+3+1
＝（3﹣1）（32018+32017+…+33+32+3+1）
＝（32019﹣1）
因为31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，
35的个位数字为3，36的个位数字为9，37的个位数字为7，38的个位数字为1…
所以32019的个位数字是7
所以原式的个位数字是3．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，特殊数的个位数字特点．题目难度较大．解决本题的关键是把（2）变形为（1）的规律通项．
13．探索
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
（1）试写出第五个等式；
（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；
（3）判断22017+22016+22015+…+22+2+1的值的个位数字是几．
【分析】（1）利用规律得出第五个等式即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：（1）第五个等式（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）（25+25+24+23+22+2+1）
＝27﹣1
＝127；
（3）原式＝（2﹣1）（22017+22016+22015+…+22+2+1）
＝22018﹣1，
则个位上数字是4﹣1＝3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，尾数特征，规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．阅读下文件，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝． 1﹣xn+1
（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+…+22018②214+215+…+2100．
【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝1﹣xn+1．
（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；
②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．
【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝1﹣xn+1．
故答案为：1﹣xn+1；
（2）①1+2+22+23+24+…+22018．
＝﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22018）
＝﹣（1﹣22019）
＝22019﹣1；
②214+215+…+2100
＝（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213）
＝﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+213）
＝﹣（1﹣2101）+（1﹣214）
＝2101﹣214．
【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．
15．阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝ （1﹣）（1+） ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
【解答】解：①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝，
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝×，
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
＝××××…××
＝．
故答案为：，，（1﹣）（1+），．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．
一、选择题。
1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
2．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm2 B．（2R+4）cm2 C．（4R+4）cm2 D．以上都不对
3．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a） （a﹣b）＝a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）＝m4﹣n4
C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）＝9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1
4．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
5．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（2y+x） B．（x+1）（﹣x﹣1）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（3x﹣y）（﹣3x+y）
二、填空题。
6．阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝ ．
7．计算：2008×2010﹣20092＝ ．
8．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），则A的个位数字是 ．
9．计算：＝ ．
10．计算：（1）＝ ；
（2）＝ ．
三、解答题。
11．观察探索：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
…
（1）根据规律写出第⑤个等式： ；
（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；
（3）请求出22018+22017+22016+…+22+2的个位数字．
12．通过计算我们知道：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1
（1）请根据以上计算规律填空：（a﹣1）（an+an﹣1+…+a3+a2+a+1）＝
（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+…+33+32+3+1的个位上的数字．
13．探索
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
（1）试写出第五个等式；
（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；
（3）判断22017+22016+22015+…+22+2+1的值的个位数字是几．
14．阅读下文件，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝．
（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+…+22018②214+215+…+2100．
15．阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝ ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
《平方差公式》同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题。
1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．
【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
2．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（ ）
A．4cm2 B．（2R+4）cm2 C．（4R+4）cm2 D．以上都不对
【分析】半径为Rcm的圆的面积是S1＝πR2，若这个圆的半径增加2cm，则其面积是S2＝π（R+2）2，用增加后的圆的面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可．
【解答】解：∵S2﹣S1＝π（R+2）2﹣πR2，
＝π（R+2﹣R）（R+2+R），
＝4π（R+1），
∴它的面积增加4π（R+1）cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是熟悉圆的面积公式．
3．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a） （a﹣b）＝a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）＝m4﹣n4
C．（2﹣3x） （﹣3x﹣2）＝9x2﹣4 D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1
【分析】根据平方差公式，即可解答．
【解答】解：A．（b+a）（a﹣b）＝a2﹣b2，计算正确，故本选项不符合题意；
B．（m2+n2）（m2﹣n2）＝m4﹣n4，计算正确，故本选项不符合题意；
C．（2﹣3x）（﹣3x﹣2）＝9x2﹣4，计算正确，故本选项不符合题意；
D．（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
4．若a2﹣b2＝，a+b＝，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣ B． C．1 D．2
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝即可求得a﹣b的值．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a+b＝，
∴a﹣b＝÷＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的结构特点．
5．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x+y）（2y+x） B．（x+1）（﹣x﹣1）
C．（﹣x﹣y）（﹣x+y） D．（3x﹣y）（﹣3x+y）
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（2x+y）（2y+x）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x+1）（﹣x﹣1）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、（﹣x﹣y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项正确；
D、（3x﹣y）（﹣3x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
二、填空题。
6．阅读下文，寻找规律，并填空：
已知x≠1，计算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝ 1﹣xn+1 ．
【分析】根据平方差公式和所给出的式子的特点，找出规律，写出答案即可．
【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1；
故答案为：1﹣xn+1．
【点评】此题考查数字的变化规律，关键是根据平方差公式找出本题的规律，是一道基础题．
7．计算：2008×2010﹣20092＝ ﹣1 ．
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．
【解答】解：原式＝（2009﹣1）×（2009+1）﹣20092
＝20092﹣1﹣20092
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键．
8．若A＝（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），则A的个位数字是 5 ．
【分析】将A进行化简，确定出个位数字即可．
【解答】解：A＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）（216+1）（232+1）
＝（216﹣1）（216+1）（232+1）
＝（232﹣1）（232+1）
＝264﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
∴个位上数字以2，4，8，6循环，
∵64÷4＝16，
∴个位上数字为6，
则A个位数字为5，
故答案为：5
【点评】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，弄清题中的规律是解本题的关键．
9．计算：＝ 2 ．
【分析】在原式的前面添上2×，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果．
【解答】解：
＝2×
＝2×+
＝2×+
＝2×+
＝2×+
＝2×+
＝2﹣+
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，解决问题的关键是在原式的前面添上2×，便于运用平方差公式．
10．计算：（1）＝ ﹣3 ；
（2）＝ 399 ．
【分析】（1）先化成指数相同的幂相乘，再利用积的乘方的性质的逆用计算即可；
（2）先写成20与的和与差的积，再根据平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）（）100×（﹣3）101，
＝（）100×（﹣3）100×（﹣3），
＝[×（﹣3）]100×（﹣3），
＝﹣3；
（2）原式＝（20+）（20﹣），
＝400﹣，
＝399．
【点评】本题考查了积的乘方的性质的逆用和平方差公式，整理成性质和公式的形式是解题的关键．
三、解答题。
11．观察探索：
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
…
（1）根据规律写出第⑤个等式： （x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1 ；
（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；
（3）请求出22018+22017+22016+…+22+2的个位数字．
【分析】（1）根据探索材料规律写出第⑤个等式；
（2）把27+26+25+24+23+22+2变形为2×（26+25+24+23+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1）]，依此即可求解；
（3）把22018+22017+22016+…+22+2变形为2×（22017+22016+…+22+2+1），再根据探索材料规律得到原式＝2×[（2﹣1）×（22017+22016+…+22+2+1）]，得出原式＝22019﹣2，研究22019的末尾数字规律，进一步解决问题依此即可求解．
【解答】解：（1）第⑤个等式是：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
（2）27+26+25+24+23+22+2
＝2×（22017+22016+…+22+2+1）
＝2×[（2﹣1）×（26+25+24+23+22+2+1）]
＝2×（27﹣1）
＝28﹣2
＝254；
（3）22018+22017+22016+…+22+2
＝2×（22017+22016+…+22+2+1）
＝2×[（2﹣1）×（22017+22016+…+22+2+1）]
＝2×[（22018﹣1）
＝22019﹣2，
∵21的个位数字是2，22的个位数字是4，23的个位数字是8，24的个位数字是6，25的个位数字是2，…，
∴2n的个位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2019÷4＝504…3，
所以22019的个位数字是8，
22019﹣2的个位数字是6．
故答案为：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1．
【点评】此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
12．通过计算我们知道：
（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1
（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1
（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1
（1）请根据以上计算规律填空：（a﹣1）（an+an﹣1+…+a3+a2+a+1）＝ an+1﹣1
（2）根据上述规律，请你求出32018+32017+…+33+32+3+1的个位上的数字．
【分析】（1）通过计算先找到规律，根据规律得结论；
（2）先把32018+32017+…+33+32+3+1乘以（3﹣1）变形为（1）中规律的形式，计算出结果．再找到3n的个位数字变化规律，得结论．
【解答】解：（1）由以上计算规律可知：
（a﹣1）（an+an﹣1+…+a3+a2+a+1）＝an+1﹣1；
故答案为：an+1﹣1；
（2）32018+32017+…+33+32+3+1
＝（3﹣1）（32018+32017+…+33+32+3+1）
＝（32019﹣1）
因为31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，
35的个位数字为3，36的个位数字为9，37的个位数字为7，38的个位数字为1…
所以32019的个位数字是7
所以原式的个位数字是3．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，特殊数的个位数字特点．题目难度较大．解决本题的关键是把（2）变形为（1）的规律通项．
13．探索
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1
（1）试写出第五个等式；
（2）试求26+25+24+23+22+2+1的值；
（3）判断22017+22016+22015+…+22+2+1的值的个位数字是几．
【分析】（1）利用规律得出第五个等式即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：（1）第五个等式（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；
（2）原式＝（2﹣1）（25+25+24+23+22+2+1）
＝27﹣1
＝127；
（3）原式＝（2﹣1）（22017+22016+22015+…+22+2+1）
＝22018﹣1，
则个位上数字是4﹣1＝3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，尾数特征，规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．阅读下文件，寻找规律：
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝． 1﹣xn+1
（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+…+22018②214+215+…+2100．
【分析】（1）依据变化规律，即可得到（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝1﹣xn+1．
（2）①依据（1）中的规律，即可得到1+2+22+23+24+…+22018的值；
②将214+215+…+2100写成（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213），即可运用①中的方法得到结果．
【解答】解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）＝1﹣xn+1．
故答案为：1﹣xn+1；
（2）①1+2+22+23+24+…+22018．
＝﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22018）
＝﹣（1﹣22019）
＝22019﹣1；
②214+215+…+2100
＝（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213）
＝﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+213）
＝﹣（1﹣2101）+（1﹣214）
＝2101﹣214．
【点评】此题考查了平方差公式，认真观察、仔细思考，善用联想，弄清题中的规律是解决这类问题的方法．
15．阅读下面的材料并填空：
①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝ ×
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝ （1﹣）（1+） ＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
【分析】直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．
【解答】解：①（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝，
②（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝×，
③（1﹣）（1+）＝1﹣，反过来，得1﹣＝（1﹣）（1+）＝
利用上面的材料中的方法和结论计算下题：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）（1﹣）
＝××××…××
＝．
故答案为：，，（1﹣）（1+），．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．