答案解析：
考点一：三角形的内角
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，
由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故选项A不符合题意；
B、由DF∥AC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB，
由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，
那么∠C＝∠EDF，
由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故选项B不符合题意；
C、由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE，
由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故选项C不符合题意；
D、由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行线的性质得∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B，然后结合∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°可判断A；由平行线的性质得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB，∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，则∠C＝∠EDF，然后结合∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°可判断B；由平行线的性质可得∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE，然后结合∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°可判断C；由垂线定义得∠ADC＝∠CDB＝90°，据此判断D.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 ∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A选项符合题意；
B、 则
故B选项不符合题意；
C、 a：b：c＝5：12：13，设 则
所以能构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、 ∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和定理求出三角形中最大内角的度数，据此判断A、B、D；设a=5k，则b=12k，c=13k，利用勾股定理逆定理可判断C.
3．【答案】A
【解析】【解答】三角形的最小的角＝×180°＝20°，
故答案为：A．
【分析】利用三角形的内角和列出算式×180°求解即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由折叠得∠B=∠BCD，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，
∴65°+2∠B+25°=180°，
∴∠B=45°，
故答案为：A.
【分析】由折叠的性质得∠B=∠BCD，然后根据三角形内角和定理可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
∴∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°．
故答案为：C．
【分析】先求出∠CGF=∠DGB=45°，再计算求解即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=BC，∠B=x°，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠ACB=（180°-∠B）=（180°-x°）=90°-x°；
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCP=∠ACB=（90°-x°）=45°-x°；
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠APE=∠DPC=90°-∠DCP=90°-（45°-x°）=45°+x°.
故答案为：D.
【分析】利用等边对等角可证得∠BAC=∠ACB，利用三角形的内角和为180°，可表示出∠ACB的度数；利用角平分线的定义表示出∠DCP的度数；然后利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余，可表示出∠APE的度数.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠B＝α，∠C＝β，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠BAC，再根据角平分线的定义得出∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和即可得解。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝20°+90°＝110°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行分析即可。
9．【答案】260°
【解析】【解答】 解：如图，
∵∠C＋∠3＝∠2，∠C＋∠4＝∠1，
∴∠1＋∠2＝∠C＋∠3＋∠4＋∠C，
∵∠C＋∠3＋∠4＝180°，∠C＝80°，
∴∠1＋∠2＝180°＋80°＝260°，
故答案为：260° .
【分析】根据 △ABC中，∠C=80°， 计算求解即可。
10．【答案】55°
【解析】【解答】解：∵∠A′DB=50°，
∴∠ADA′=180°﹣∠A′DB=180°-50°=130°，
由折叠性质得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°.
故答案为：55°.
【分析】先求出∠ADA′=130°，根据折叠的性质得出∠A′DE=∠ADE=65°，∠DA′E=∠A=60°，再根据三角形内角和定理得出∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=55°，即可得出答案.
11．【答案】120°
【解析】【解答】解：如图，连接AA'，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
沿DE折叠，
， ，
， ，
，
故答案为： .
【分析】，连接AA'，由角平分线的定义得 ， ，利用三角形内角和得 ，即得 ，由三角形内角和得∠A=60°，由折叠性质及三角形外角的性质得 .
12．【答案】42°或84°或92°
【解析】【解答】解：①42°角是α，则友好角度数为42°；
②42°角是β，则α＝β＝42°，
所以，友好角α＝84°；
③42°角既不是α也不是β，
则α＋β＋42°＝180°，
所以，α＋α＋42°＝180°，
解得α＝92°，
综上所述，友好角度数为42°或84°或92°．
故答案为：42°或84°或92°．
【分析】①42°角是α，则友好角度数为42°；②42°角是β，则α＝β＝42°，③42°角既不是α也不是β，分类讨论即可。
13．【答案】90°或140°或150°
【解析】【解答】解：根据题意，分三种情况进行讨论：
如图所示：
①与为等腰三角形，，且为底角，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
在中，，，，
∴最大内角为；
②∵，，为等腰三角形，为顶角，
∴，
，
在中，，，，
∴最大内角为；
③∵，，为等腰三角形，为顶角，
在中，，，，
∴最大内角为；
综上可得：最大内角为或或.
故答案为：或或.
【分析】①△ABD和△ACD为等腰三角形，∠B=10°，且∠B为底角，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB=160°，根据邻补角的性质求出∠ADC的度数，利用内角和定理求出∠CAD的度数，根据∠BAC=∠BAD+∠CAD求出∠BAC的度数，进而可得最大内角；
②∠ADC=20°，△ADC为等腰三角形，∠C为顶角，易得∠ABC=∠BAD+∠CAD=30°，据此得最大内角；
③∠ADC=20°，△ADC为等腰三角形，∠ADC为顶角，求出∠B、∠C、∠BAC的度数，进而可得最大内角.
14．【答案】或
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°.
【分析】利用等边对等角可求出∠C的度数，再利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AD=AE时，可得到∠AED=40°，利用三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，可知此时不符合； 当DA=DE时，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠DAE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠BAC，∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数；当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， 由此可求出∠BAD的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠BDA的度数.
15．【答案】解：∵AB=AC=CD，BD=AD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，
设∠B＝x°，则∠CDA＝∠BAD+∠B＝2x°
从而∠CAD＝∠CDA＝2x°，∠C＝x°
在△ADC中，∵∠CAD+∠CDA+∠C＝180°
∴2x+2x+x=180°
解得x=36°
∴在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，
∴∠CAB＝108°
【解析】【分析】先求出 ∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA， 再求出 2x+2x+x=180° ，最后解方程即可。
16．【答案】解：∵AC⊥DE，
∴∠AFE=90°，
∵∠1是△AFE的外角，
∴∠1=∠A+∠AFE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°；
在△BDE中，
∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=37°，
∴∠D=180°-110°-37°=33°．
【解析】【分析】 根据∠1是△AFE的外角，AC⊥DE， 得出 ∠1=∠A+∠AFE．根据∠A=20°， 得出 ∠1=20°+90°=110°，在△BDE中， 因为 ∠1+∠D+∠B=180°， 再根据 ∠B=37°， 即可得出 ∠D的度数 ，
17．【答案】解∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ．
【解析】【分析】由三角形外角和内角的关系求得 ∠D与 ∠E的度数，即可求得∠DAE 的度数．
18．【答案】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2＝360 °﹣180°＝180°.
【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，则∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，根据周角的概念可得∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，据此求解.
19．【答案】证明：连接EF，则∠CFE+∠CEF+∠FCE＝180°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠FCE＝∠BCD，
∴∠BAD+∠FCE＝180°，
∵∠E，∠F的平分线交于点H，
∴∠CFH＝ ∠CFA，∠HEC＝ ∠BED，
在△AEF中，
∵∠A+∠CFA+∠CFE+∠CEF+∠BED＝180°，
∴∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE＝90°，
在△HEF中，
∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H＝180°，
∴∠H＝90°，
∴EH⊥FH.
【解析】【分析】连接EF，由三角形内角和定理得∠CFE+∠CEF+∠FCE＝180°，又∠BAD+∠FCE＝180°，由角平分线的概念可得∠CFH=∠CFA，∠HEC＝∠BED，在△AEF中，由三角形内角和定理可得∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE＝90°，在△HEF中，应用三角形内角和定理可得∠H＝90°，据此证明.
挑战题：
1．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90° x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
考点二：三角形的外角
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴，
，
在四边形CDFE中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据，可得出、，的度数，即可得解。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，∠DAE=45°，∠BAC=60°，
∴∠CAO=∠BAC－∠DAE=60°－45°=15°，
∴=∠C+∠CAO=90°+15°=105°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠CAO的度数，再利用三角形的外角的性质计算=∠C+∠CAO即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=20°，∠3=30°，
∴∠4=∠1+∠3=20°+30°=50°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠4=50°．
故答案为：A．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠4=∠1+∠3=20°+30°=50°，再利用平行线的性质可得∠2=∠4=50°。
4．【答案】C
【解析】【解答】如图，
∵∠3＝70°，
∴∠ACB=180°-60°-∠3=50°，
∠ABC=180°-45°-∠2=135°-∠2，
∠BAC=180°-45°-∠1=135°-∠1，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴50°+135°-∠2+135°-∠1=180°，
∴∠1+∠2=135°+135°+50°-180°=140°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质，解出答案即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得： ，
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，根据三角形外角的性质可得∠9=∠4+∠6，∠10=∠1+∠5，根据四边形内角和为360°可得∠2+∠3+∠9+∠10=360°，据此计算.
6．【答案】15°
【解析】【解答】解：根据一副三角板角度的特殊性可知，
∠a=45°-30°=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据三角板的特殊角度，再利用外角定理即可求出∠a度数.
7．【答案】118°
【解析】【解答】解：设AB与交于点O，
由折叠性质得：∠=∠BAC=33°，
∵∠2=∠BAC+∠AOE，∠AOE=∠1+∠，
∴∠2=∠BAC+∠1+∠=∠1+66°，即∠1=∠2－66°，
∵∠1+∠2=170°，
∴∠2=118°，
故答案为：118°．
【分析】根据折叠的性质可得∠A=∠BAC=33°，再利用三角形的外角的性质可得∠2=∠BAC+∠AOE，∠AOE=∠1+∠A，即可得到∠1=∠2－66°，再结合∠1+∠2=170°，即可得到∠2=118°。
8．【答案】0°＜α＜
【解析】【解答】解：∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，
∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，
∴0°＜α＜ ，
故答案为：0°＜α＜ .
【分析】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.
9．【答案】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【解析】【分析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。
10．【答案】（1）解：∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°﹣∠ABC﹣∠ACB=360°﹣（180°﹣α）=180°+α
∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC= ∠MBC，∠PCB= ∠NCB
∴∠PBC+∠PCB= ∠MBC+ ∠NCB= （180°+α）=90°+ α.
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（90°+ α）=90°﹣ α
∵∠BAC=α，∠ACB=β，
∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP= ∠MBC= （α+β）
∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC
∴∠BAP= α，∠MBP=∠BAP+∠APB
∴∠PBD=90°﹣∠APB=90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）=90°﹣∠MBP+∠BAP=90°﹣ （α+β）+ α=90°﹣ β
（2）解：如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化。
；∠PBD= .
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质以及角平分线的性质，用代数式表示出∠BPC和∠PBD的度数。
（2）根据角平分线的性质可猜想（1）的两个结论已发生变化，并在图中补全图形。
挑战题：
1．【答案】（1）解：如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE= ∠ABP=25°，∠CDE= ∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
故答案为55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，
∴∠ABE1= ∠ABP= α，∠CDE1= ∠CDP= ，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AFE1= ，
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1= ﹣ α= （β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，
∴∠ABE2= ∠ABE1= α，∠CDE2= ∠CDE1= ，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE2= ，
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2= （β﹣α），
同理可得，∠E3= （β﹣α），
以此类推，∠En的度数为 （β﹣α）．
（3）∠DEB=90°﹣ ∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE= ∠PDF= （180°﹣∠CDP），∠ABQ= ∠ABP，
∴∠DEB= ∠ABP+ （180°﹣∠CDP）=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ ∠P．
【解析】【分析】过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED的度数；【探究】依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1= （β﹣α），∠E2= （β﹣α），∠E3= （β﹣α），以此类推∠En的度数为 （β﹣α）；【变式】过E作EG∥AB，进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB=90°﹣ （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ ∠P．
2．【答案】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°.
（2）解：∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C）=90°﹣ （∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣ （∠C+∠B）=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C），
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）.
（3）解：∠EFD= （∠C﹣∠B），理由如下：
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+ （180°-∠B-∠C）=90°+ （∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣ （∠B﹣∠C）
∴∠EFD= （∠C﹣∠B）．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，进行角的运算，得出∠EFD的度数。
（2）根据角平分线以及外角的性质，通过角的运算，得出∠EFD与∠C﹣∠B数量关系。
（3）根据角平分线性质和三角形外角的性质，得出∠EFD与∠C﹣∠B数量关系。
三、几个常见的模型：
相应练习1：
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴∠ABC+∠ACB=180°-
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=35°
∴180°-（∠OBC+∠OCB）=145°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，由角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，从而得出∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），最后根据三角形内角和可求解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：延长 交 于D，
是 的外角，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】延长 交 于D，先根据三角形的外角性质求出，再根据三角形的外角性质计算即可得出答案。
3．【答案】70°
【解析】【解答】解：∵∠O2BO1=∠2-∠1=20°，
∴∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°，
∴∠BCO2=180°-20°-135°=25°，
∴∠ACB=2∠BCO2=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=70°，
故答案为：70°．
【分析】由三角形外角的性质可得∠O2BO1=∠2-∠1=20°，根据三等分线可得∠ABC=3∠O2BO1=60°，∠O1BC=∠O2BO1=20°，利用三角形内角和定理可得∠BCO2=25°，由角平分线的定义可得∠ACB=2∠BCO2=50°，再利用三角形内角和定理求出 ∠A的度数即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：延长CD交AB于F，设BE交CD于O，
∵∠A=70°，∠C=29°，
∴∠BFO=∠A+∠C=99°，
∵∠B=41°，
∴∠DOE=∠B+∠BFO=99°+41°=140°，
∴∠EDO+∠E=180°-∠DOE=180°-140°=40°，
故答案为：B．
【分析】延长CD交AB于F，设BE交CD于O，由三角形外角的性质先求出∠BFO=∠A+∠C=99°，再求出∠DOE=∠B+∠BFO=140°，再利用三角形的内角和可得∠EDO+∠E=180°-∠DOE，即可求解.
5．【答案】65°
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，∠B=40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=50°，
∴∠DCE=∠ACB=50°，
又∵CE=CD，
∴，
故答案为：65°．
【分析】利用三角形的内角和求出∠ACB=180°-∠A-∠B=50°，由对顶角相等可得∠DCE=∠ACB
=50°，由CE=CD可得∠D=∠E，利用三角形内角和即可求解.
6．【答案】解：∵DF⊥AB
∴∠AFD=90°
∵∠AFD+∠A+∠AEF=180°=∠D+∠ACD+∠CED，∠AEF=∠CED
∴∠AFD+∠A=∠D+∠ACD
即90°+∠A=56°+70°
∴∠A=36°．
【解析】【分析】根据垂直的定义，由DF⊥AB得出∠AFD+∠A=∠D+∠ACD，即90°+∠A=56°+70°，即可得出答案。
7．【答案】270°
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
同理可得：，
∴，
故答案为270°．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
相应练习2：
1．【答案】90°
【解析】【解答】∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
∠ACB=180°-∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠PBC=20°，
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°．
【分析】先求出∠BCP=130°，再求出∠P=30°，最后计算求解即可。11.2 与三角形有关的角
考点一：三角形的内角
知识点：
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③三角形中至少有2个锐角；
④三角形中最多有1个钝角。
相应练习：
1．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EF AB
B．过AB上一点D作DE BC，DF AC
C．延长AC到F，过C作CE AB
D．作CD⊥AB于点D
2．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定△ABC为直角三角形是的（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
3．一个三角形三个内角之比为1：3 ：5，则最小的角的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
4．如图，将的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（ ）.
A．45° B．60° C．35° D．40°
5．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
6．如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点P，若∠B=x°，则∠APE的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A． B．
C． D．
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则其底角的大小为（ ）
A．65° B．105 C．55°或35° D．65°或115°
9．如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2= °。
10．如图，△ABC中，∠A=60°将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′DB=50°，那么∠A′ED的度数为 ．
11．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 .
当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为 ．
13．如图，一块木板把ABC遮去了一部分，过点A的木板边沿恰好把ABC分成两个等腰三角形，已知，且∠B是其中一个等腰三角形的底角，则ABC中最大内角的度数为 .
14．如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于.在点的运动过程中，的度数为 时，的形状是等腰三角形.
15．如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB的度数
16．如图，已知∠A＝20°，∠B＝37°，AC⊥DE，垂足为点F，求∠1和∠D的度数各是多少．
17．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，∠ACB=82°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠D，∠E，∠DAE 的度数．
18．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处.求∠1+∠2的度数.
19．如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AD，BC的延长线交于点F，DC，AB的延长线交于点E，∠E，∠F的平分线交于点H.求证：EH⊥FH.
挑战题：
1．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
考点二：三角形的外角
知识点：
定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角。
如 : ∠ACD、∠ BCE都是△ACB的外角，且∠ ACD=∠BCE。
所以说一个三角形有六个外角，但我们每一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了。
三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
相应练习：
1．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，则∠AFB的大小为( )
A．75° B．80° C．100° D．110°
2．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
3．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠3＝30°，则∠2＝（ ）
A．50° B．60° C．30° D．20°
4．一个等边三角形和两个等腰直角三角形的位置如图所示，若∠3＝70°，则∠1＋∠2＝（ ）
A．290° B．200° C．140° D．110°
5．如图， （ ）度.
A．180 B．270 C．360 D．540
6．将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为 .
7．如图，，点和点分别在边和边上，连接，将沿折叠，点的对应点是，若，则 ．
8．如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为 .
9．“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．
10．已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．
（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数.
（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．
挑战题：
1.（1）已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度数．
（2）（探究）如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1，∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2，∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3，…以此类推，求∠En的度数．
（3）（变式）如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
2．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
几个常见的模型：
相应练习1：
1．的两内角平分线、相交于点O，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若点O是△ABC内一点且∠BOC＝140°，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．无法确定
3．如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点，，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
4．如图，已知∠A＝70°，∠B＝41°，∠C＝29°，则∠D+∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=40°．点D和点E分别在AC和BC的延长线上，并且CD=CE，连接DE．则∠D的度数为 ．
6．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠D＝56°，∠ACD＝70°，求∠A的度数．
7．如图，线段，垂足为点，线段分别交、于点，，连结，．则的度数为 ．
其他的模型：
A1是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，A2是△A1BC的内角∠A1BC和外角∠A1CD的平分线的交点，可得∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，以此类推，∠An=∠A
相应练习2：
1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= ．
