2021-2022学年陕西省榆林十中高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
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班级：
___________
考号：
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绝密★启用前
2021-2022学年陕西省榆林十中高二（下）期末数学试卷（文科）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
已知，且，那么( )
A. B. C. D.
已知是第二象限角，则( )
A. B. C. D.
在区间上随机取一个数，则的概率为( )
A. B. C. D.
已知，，且，，，那么的最大值为( )
A. B. C. D.
函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
“数列为常数列”是“数列为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 的图像关于直线对称
榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为( )
A. B. C. D.
已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足：，，则该椭圆离心率是( )
A. B. C. D.
已知函数满足，且函数的图像关于直线对称，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
设，向量，，且，则______．
已知双曲线：的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于______．
若直线与函数的图象有三个交点，则实数的取值范围是______．
如图，，分别是正方体的面，面的中心，则四边形在该正方体的各面上的射影可能是______写出所有可能的图的序号
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
在等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
某村为巩固脱贫成果，防止返贫致贫，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了件作为样本检测其质量指标值质量指标值越大，质量越好，检测结果如表所示：
指标区间
频数
甲种生产方式
乙种生产方式
已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如表所示：
指标区间
等级 二级 一级 特级
纯利润
将频率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率；
从平均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．
如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，为的中点．
求证：直线平面；
求三棱锥的体积．
已知点在抛物线：上．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，设直线，的斜率分别为，，为坐标原点，求证：为定值．
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
已知曲线：为参数，：为参数．
求，的普通方程；
若上的点对应的参数为，上的点对应的参数，求．
已知函数的定义域为．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
根据交集的运算求出，的交集即可．
本题考查了集合的交集的运算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：当是第二象限角时，，所以选项A错误；
，所以选项B错误；
，所以选项C正确；
，所以选项D错误．
故选：．
当是第二象限角时，根据三角函数值的符号法则，判断即可．
本题考查了三角函数值的符号判断问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：在区间上随机取一个数，则区间长度为，
即在区间上，则区间长度为，
故所求的概率．
故选：．
根据已知条件，结合几何概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为．
故选：．
根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
利用奇偶性判断选项D，由函数值的正负判断选项A，，．
【解答】
解：因为，定义域为，
所以函数为奇函数，
故选项D错误；
当时，，故选项C错误；
当时，，故选项A错误，选项B正确．
故本题选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件，考查数列以及转化思想，属于基础题．
根据充分必要条件的定义以及数列问题判断即可．
【解答】
解：若数列为常数列，则数列不一定为等比数列，比如：数列的各项都是，故不是充分条件，
若数列为等比数列，则数列不一定为常数列，比如：，不是必要条件．
故“数列为常数列”是“数列为等比数列”的既不充分也不必要条件．
故本题选D．

8.【答案】
【解析】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为．
故选：．
由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可．
本题考查球的表面积与圆柱侧面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
函数的最小正周期为，故选项A错误；
的最大值为，故选项B错误；
因为，所以，由正弦函数的单调性可知，在上单调递增，故选项C正确；
因为，故函数的图象不关于对称，故选项D错误．
故选：．
由周期公式即可判断选项A，利用三角函数的有界性即可判断选项B，由正弦函数的单调性即可判断选项C，由三角函数的对称性即可判断选项D．
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，辅助角公式的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的有界性、单调性、对称性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，中，，，即，
解得，
在中，，即．
故选：．
先在中利用正弦定理求，再在中求即可．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设，，
由椭圆定义知：，
由余弦定理得：，即，
所以，
故选：．
设，，则，在中由余弦定理可得，把代入即可求出离心率的值．
本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，考查了余弦定理的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数满足，故函数是周期为的周期函数．
函数的图像关于直线对称，故函数是偶函数．
当时，，
则，
故选：．
由题意，利用函数的周期性、奇偶性，求出所给式子的值．
本题主要考查函数的周期性、奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，且，
，得，
故答案为：．
利用向量平行的坐标表示可解．
本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为双曲线：，
所以，
渐近线方程为，
所以，
所以，
所以焦距，
故答案为：．
由双曲线的方程，得，由渐近线方程，得的值，再计算，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：的导数为，
当时，，函数递增；当或时，，函数递减，
可得在处取得极大值，在处取得极小值，
若直线与函数的图象有三个交点，则，
即的取值范围是．
故答案为：．
求得的导数和单调性、极值，由题意可得介于的极值之间，可得所求取值范围．
本题考查函数的图象的交点个数，以及函数的导数的运用：求单调性和极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据几何体的直观图中，点和在面的中心位置，
所以在左右面的射影为，在上下面的射影为；在前后面的射影为．
故答案为：．
直接利用几何体中直观图和平面图的关系求出结果．
本题考查的知识要点：几何体中直观图和平面图的关系，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．
17.【答案】解：由，得；
又，，成等比数列，得，
即，
由解得舍去或，
；
由知，，
，
所以，
数列是首项为，公比为的等比数列，
则．
【解析】由等差数列的通项公式与等比中项的性质求解即可；
先判断数列是等比数列，再由等比数列的前项和公式求解即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前项和公式等知识，属于基础题．
18.【答案】解：由表格可得，甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为，
故频率为，
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为，
故频率为，
由此估计：甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为：，
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为：；
甲种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：
元，
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：
元，
，
故从平均数的角度看，村民选择甲种中药材加工方式获利更多．
【解析】根据频数估计估计即可；求出平均数，根据平均数判断即可．
本题考查了通过频数，频率估计概率，考查平均数的计算，是基础题．
19.【答案】证明：如图所示，
连接交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，
所以点为的中点，
又因为为的中点，
所以为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：因为是等边三角形，为的中点，
所以，，
所以的面积为，
所以三棱锥的体积为
．
【解析】连接交于点，连接，由线面平行的判定定理证明平面．
利用等体积法，即可求三棱锥的体积．
本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，以及锥体体积计算问题，是中档题．
20.【答案】解：代入，得到
整理得到：，解得或，因为，所以．
则抛物线的方程为：．
证明：由题意可知直线的斜率必定存在，所以设直线的方程为．
联立直线方程和抛物线方程，得到．
设，，根据韦达定理得到，．
因为直线，的斜率分别为，，所以，．
则，．
将式代入式得到：．
所以为定值．
【解析】代入点坐标求出的值，即可求出抛物线方程．
联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理得到到，再根据和点坐标，将转化成，再根据韦达定理得到的式子即可证明．
本题主要考查直线和抛物线的性质和以及韦达定理，属于中档题．
21.【答案】解：，，
，，
，在点处的切线方程为，即．
由题意在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
在单调递增，在上单调递减，
，
，即实数的取值范围是．
【解析】求出切点处的导数值，然后利用点斜式求出切线方程即可；
函数在上单调递增，即其导数值在该区间上大于等于零恒成立，然后分离参数，最终化为函数的最值问题．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性的方法，属于中档题．
22.【答案】解：曲线：为参数，转换为普通方程为；
曲线：为参数，转换为普通方程为．
由曲线：为参数，对应的参数为，
所以，
曲线：为参数，点对应的参数，
故，
故．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用转换关系，首先求出点和的直角坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23.【答案】解：Ⅰ当时，．
当时，由，得，解得；
当时，由，得，此时不等式无解；
当时，由，得，解得．
综上，当时，不等式的解集为或．
Ⅱ，当时等号成立，
不等式恒成立，等价于．
或经检验符合题意．
实数的取值范围为．
【解析】Ⅰ对分类讨论去绝对值，求解不等式即可；
Ⅱ由绝对值不等式的性质可求得，则不等式恒成立，等价于，解绝对值不等式即可得的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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