2021-2022学年天津市耀华嘉诚国际中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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绝密★启用前
2021-2022学年天津市耀华嘉诚国际中学高二（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
对具有线性相关关系的变量，，测得一组数据如表所示，由最小二乘法求得回归方程为，则表中看不清的数据为( )
A. B. C. D.
为切实做好新冠肺炎疫情防控工作，有效、及时控制和消除新冠肺炎的危害，增强高中学生对新冠肺炎预防知识的了解，某学校某班级组织了“抗击新冠疫情“知识竞赛，王同学在道“抗击新冠疫情”知识题中道选择题和道填空题，每次从中随机抽取道题，抽出的题不再放回，设事件为“第次抽到选择题”，设事件为“第次抽到填空题”，则为( )
A. B. C. D.
当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
的展开式中常数项是______．
随机变量服从正态分布，若，则______．
已知随机变量，且，，则 ______ ．
市面上某类饮料共有种品牌、、在售，且均为有奖销售．已知种品牌、、的市场占有率分别为、、，且种品牌每瓶的中奖率分别为、、现从市场上任意购买一瓶，则该瓶饮料中奖的概率为______．
已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为______．
个大人和个小孩乘船游玩，现有船只，号船最多装人，号船最多装人，号船最多装人，可从中任选只或只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有______种不同的分乘方法．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
设函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数在区间上的最小值．
本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求；
Ⅲ求的值．
本小题分
某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手名，其中男生名；高二年级参赛选手名，其中男生名从这名参赛选手中随机选择人组成搭档参赛．
Ⅰ设为事件“选出的人中恰有名男生，且这名男生来自同一个年级“求事件发生的概率；
Ⅱ设为选出的人中男生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数既有一个极小值又有一个极大值，求的取值范围；
若存在，使得当时，的值域是，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，故选项A错误；
因为，故选项B错误；
因为，故选项C正确；
因为，故选项D错误．
故选：．
利用常见函数的求导公式对四个选项逐一判断即可．
本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的求导公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，由三角函数的定义得，
故选：．
由点坐标求出长，由任意角的三角函数定义求出
本题考查任意角的三角函数的计算，属容易题
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出和，以及的值，可得结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：把图象上所有的点向右平移各单位可得的图象．
故选：．
由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，
则样本中心在回归方程为上，
所以，
解得．
故选：．
先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，求解即可．
本题考查了线性回归方程的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在第一次抽到选择题的条件下，还剩下道选择题和道填空题，
再抽取一次，抽到填空题的概率为，
则．
故选：．
利用条件概率的定义，结合古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了古典概型概率公式的应用，条件概率的定义的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，则，
则，
当时函数取得最值，可得也是函数的一个极值点，
，即．
，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
故处，函数取得极大值，也是最大值，
则．
故选：．
由已知求得，再由题意可得求得，得到函数解析式，求其导函数，即可求得．
本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：把丙和丁捆绑在一起，个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种，
故选：．
利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．
求函数导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数的等式，解之求得实数的取值范围．
【解答】
解：由题 ，
令解得；令解得或，
由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，
故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值，
，解得，
又当时，，故有，
综上知．
故选C．

10.【答案】
【解析】解：的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中常数项是，
故答案为：．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：随机变量，且，，
，且，解得，．
故答案为：．
根据随机变量符合二项分布和二项分布的期望和方差公式，得到关于和的方程组，解方程组时和一般的解法不同，需要整体代入达到目的．
解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．
13.【答案】
【解析】解：用事件，，分别表示，，三个品牌的饮料，表示任意购买一瓶饮料中奖，
则，且，，两两互斥，
依题意，，，
，，，
由全概率公式得：
，
该瓶饮料中奖的概率为．
故答案为：．
用事件，，分别表示，，三个品牌的饮料，表示任意购买一瓶饮料中奖，再利用全概率公式能求出结果．
本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由图象可知，，周期，
，，则，
从而，代入点，
得，则，，即，，
又，则，
，
故答案为：
由图象可知，可求周期，利用周期公式可求，从而可求，代入点，结合范围，可求，即可得解解析式．
本题主要考查了函数的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：选只船游玩，号船坐大人，小孩有种；
号船坐大人，小孩有种；
选只船游玩，每只船各坐大人，号船坐小孩有种；
每只船各坐大人，号船坐小孩有种；
由分类加法计数原理得不同的分乘方法种数是：种．
故答案为：．
根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合排列、组合列式计算作答．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ函数，求导得：，则有，而，
于是得，即，
所以曲线在点处的切线方程是．
Ⅱ函数，求导得：，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，．
【解析】Ⅰ求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答．
Ⅱ根据给定条件，利用导数探讨单调性，求出最小值作答．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数求函数的最值等知识，属于中等题．
17.【答案】解：Ⅰ由余弦定理知，，
所以，即，
解得或舍负，
所以．
Ⅱ由正弦定理知，，所以，
所以．
Ⅲ由余弦定理知，，
所以，，
所以．
【解析】Ⅰ运用余弦定理，即可得解；
Ⅱ结合Ⅰ中所得与正弦定理，即可得解；
Ⅲ先利用余弦定理求出的值，再由二倍角公式，可得和的值，然后根据两角差的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由已知，有，
所以事件发生的概率为；
Ⅱ随机变量的所有可能取值为，，，，
，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望．
【解析】Ⅰ由已知，有，所以事件发生的概率为；
Ⅱ根据超几何分布的概率公式求得概率，得分布列和期望．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
19.【答案】解：时，函数，，，可得：的增区间为，减区间为．
，则，
令，若函数有两个极值点，
则方程必有两个不等的正根，设两根为：，于是，解得．
时有两个不相等的正实数根，不妨设．
．
当时，，，在上为减函数；
当时，，，在上为增函数；
当时，，，函数在上为减函数．
由此，是函数的极小值点，是函数的极大值点．符合题意．
综上，所求实数的取值范围是．
，
当时，，
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数．
所以，当时，，的值域是，不符合题意．
当时，，
当，即时，当变化时，如下表格：
减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
若满足题意，只需满足，即，
整理得，令，
当时，，在上为增函数，
当时，可得：当时，恒成立．
故当时，当时，的值域是，故当时，满足题意．
当，即时，，当且仅当时取等号，
所以在上为减函数，从而在上为减函数，符合题意；
当，即时，当变化时，变化情况如下表：
减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
若满足题意，只需满足，且若，不符合题意，
即，且，
又，所以，此时，，
综上，，
所以，实数的取值范围是．
【解析】时，函数，，，可得：的增区间为，减区间为．
，则，令，若函数有两个极值点，则方程必有两个不等的正根，设两根为：，于是，解得时有两个不相等的正实数根，不妨设对分类讨论即可得出单调性．
，对分类讨论，利用导数研究函数单调性值域即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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