2021-2022学年重庆市巫山县官渡中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
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绝密★启用前
2021-2022学年重庆市巫山县官渡中学高二（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
已知是定义在上的奇函数，则的值是( )
A. B. C. D.
数字和的等比中项是( )
A. B. C. D.
已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
某几何体的三视图单位：如图所示，则该几何体的体积单位：是( )
A. B. C. D.
在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
已知则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
命题“，”的否定为 ．
已知是虚数单位，若复数，则______．
已知，，则以为直径的圆的方程为______．
若幂函数的图象过点，则______．
已知，，，，则______．
三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知等比数列中，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分分数为整数，满分为 分，从中随机抽取一个容量为的样本，发现所有数据均在内．现将这些分数分成以下组：，，，，，，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：
算出第三组的频数，并补全频率分布直方图；
请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数，
已知函数．
求函数的图象在点处的切线方程；
求的单调区间．
如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍．
求椭圆的方程；
，分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
又集合，
所以．
故选：．
先利用一元二次不等式的解法求出集合，然后由集合交集的定义求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解由茎叶图得到甲同学成绩的出现最多数是，即为众数：，
乙同学成绩的中间两次成绩为，，所以平均数为即中位数．
故选：．
由茎叶图分别得甲、乙两名同学八次数学测试成绩，找出甲同学成绩的出现最多数即为众数，
乙同学成绩的中间两次成绩的平均数为中位数．
本题考查了茎叶图的认识；明确众数、中位数的概念是关键．
3.【答案】
【解析】解：是定义在上的奇函数，
，解得，
则，
故选D．
根据定义在上的奇函数结论：，求出的值，再求出的值．
本题考查奇函数的结论：的应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：数字和的等比中项是．
故选：．
利用等比中项的定义即可得出．
本题考查了等比中项的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：向量，，且，
，
解得．
故选：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
根据不等式对应的集合以及四个条件的定义即可判断求解．
本题考查了四个条件的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，的展开式的通项为
令可得，
则含项的系数为
故选：．
先利用二项式定理的展开式中的通项，再求出特定项的系数，求出所求即可．
本题主要考查了二项式定理，考查特定项的系数等，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱柱，一个半圆柱的组合体，
半圆柱底面的半径为，
半圆柱和三棱柱的高均为，三棱柱的底面是等腰直角三角形，边长为，
半圆柱的体积为：，
三棱柱的体积为：，
故组合体的体积为：．
故选：．
由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱柱，一个半圆柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由余弦定理得．
故选：．
由已知结合余弦定理即可直接求解．
本题主要考查了余弦定理，属于基础题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用诱导公式求值，属于基础题．
利用诱导公式即可得出．
【解答】
解：
，
故选C．
11.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可，命题的否定仅否定原命题的结论，主要与否命题概念的混淆。
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“，”的否定为：命题“，”．
故答案为：，．
12.【答案】
【解析】解：，
所以．
故答案为：．
利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再由复数模的运算公式求解即可．
本题主要考查复数的乘法运算法则，复数的模的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
线段的中点 ，则以为直径的圆的半径为，
故以为直径的圆的方程为，
故答案为：．
先确定确定圆心和半径，可得以为直径的圆的方程．
本题主要考查求圆的标准方程，关键是确定圆心和半径，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设幂函数的解析式为：，
由题意得：，解得，
，
，
故答案为：．
由幂函数图象过点，推导出，由此能求出．
本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，，，
可得，
，
．
故答案为：．
利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．
本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．
16.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，则
，解得，
，，
由，可得
，
．
【解析】本题主要考查等比数列的基本量的运算，以及等差数列求和．属基础题．
先设等比数列的公比为，然后根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果及对数的运算计算出数列的通项公式，然后依据等差数列的求和公式即可计算出数列的前项和．
17.【答案】解：因为各组的频率之和等于，所以分数在内的频率为：
，
所以第三组的频数为人．
完整的频率分布直方图如图．
因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，
从图中可看出众数的估计值为分．
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：
分．
所以，样本的众数为分，平均数为分．
【解析】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识，属于基础题．
频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；
同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
18.【答案】解：，
，又，
函数的图象在点处的切线方程为，
即．
由，得，
令，解得或；当时，或；当时，，
的单调递减区间为和，单调递增区间为．
【解析】求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是基础题．
19.【答案】证明：在中，，，，
由余弦定理可得，
故，所以，故BC，
因为侧面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面；
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，，
设平面的一个法向量为，则有，即，
令，则，
设平面的一个法向量为，则有，即，
令，则，
所以．
所以二面角的余弦值为．
【解析】利用余弦定理求出的值，由勾股定理证得，再由侧面，可得，利用线面垂直的判定定理证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出所需向量的坐标，然后利用待定系数法求出两个平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
20.【答案】解：焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍．
，，又，，，，
椭圆的方程为；
直线过，倾斜角为，
直线方程为，
联立直线与椭圆方程得：，消去得：，
设点，点，
，，
，
，
．
【解析】由题意可知，，，又因为，所以，所以，所以，从而求出椭圆的方程；
由题意可求直线方程，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出的值，从而求出的面积．
本题主要考查了求椭圆的方程，以及求焦点三角形面积，是基础题．
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