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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第三节 不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2021高一上·嘉兴期中）已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意 在 上恒成立，
，
在区间 上， ，当且仅当 时等号成立，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用 在 上恒成立，得出在区间 上，，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合均值不等式求最值的方法，从而求出实数a的取值范围。
2．（2021高二上·郑州期中）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的图象；一元二次不等式
【解析】【解答】解：当 时， 对任意实数 都成立， ；
当 时， 不等式 对任意实数 都成立，
，
∴ ，
综上， 的取值范围为 ．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件，分 和讨论，再借助于二次函数的图形考虑判别式和开口方向即可求解。
3．（2021高一下·湛江期末）若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：对于任意的 ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 ，
因为 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故答案为：B
【分析】 由参数分离和基本不等式的运用求最值，结合不等式恒成立思想，可得所求a的最小值.
4．（2021高一下·内江期末）已知 ， .且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为9，故 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数m的取值范围。
5．（2020高一上·宝安期末）已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 恒成立，只需
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号.所以 .即 的最大值为16.
故答案为：D
【分析】由已知条件即可得出恒成立，只需 ，再整理化简原式，然后由基本不等式求出，由此得到m的取值范围，从而求出m的最大值。
二、多选题
6．（2021高一上·湖北月考）设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C,D
【知识点】不等式的综合；不等式的基本性质
【解析】【解答】显然，因对任意的不恒成立，
因对任意的，都有恒成立，则当时，，
当时，，必有，若，则，矛盾，若，当时，，矛盾，
因此，，当时，，当时，，
当时，若，则，此时，不符合题意，
因此，，当时，，当时，，
要恒成立，当且仅当，即，而，
从而得或，解得或，
所以或.
故答案为：CD
【分析】根据题意对a和b 分情况讨论，结合不等式的性质即可得出a与b的取值范围，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2021高一上·宁波期中）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的可能值是（ ）
A．-4 B．-1 C．0 D．4
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ， ，且 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以， ，解得 .
故答案为：BCD.
【分析】根据乘“1”法 ，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得关于实数m的不等式，解之可得答案。
8．（2021高一上·浙江期中）已知 ，且 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：令 ，
因为关于 的不等式 在 上恒成立，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
如图，作出不等式的可行域，
联立 ，解得 ，即
所以 ，B符合题意；
当 时， 取得最大值，为 ，所以 ，A符合题意；
当 时， 取得最小值，为3，所以 ，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意由已知条件即可得出不等式在 上恒成立，结合线性规划的性质，作出可行域结合线性规划的简单性质求解出代数式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．（2021高一上·龙江期中）已知 ， ，且 ，若 对任意的 ， 恒成立，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，即 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ， ，即 ，且分母不为0，解得 或 ，选项中满足条件的有ACD．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意即可得到不等式，然后整理化简，然后由基本不等式即可求出，从而得出，求解出m的取值范围，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
10．（2022高一下·深圳期中）若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】[-2，8]
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：根据题意先求 的最小值，
由x>0 ，y>0，
得
当且仅当又 ，即x=24，时，等号成立，
所以若要不等式 恒成立，
只要，即 ，
解得-2≤m≤8 ，
所以m∈[-2，8] .
故答案为：[-2，8]
【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“1 ”的妙用，求得 ，解不等式即可得解.
11．（2021高一上·河南月考）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】m＞-6
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ，不等式 可化为 ，
而当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴实数 的取值范围是m＞-6．
故答案为：m＞-6．
【分析】 ，不等式 可化为 ，利用基本不等式可求得 ，进而求出实数 的取值范围。
12．（2021高一上·徐州期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，解得或（舍去），当且仅当时等号成立，
所以，解得．
故答案为：．
【分析】利用基本不等式解不等式求出的最小值，进而求出实数的取值范围 。
13．（2021高二上·南阳期中）正数 ， 满足 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】[-3，+∞)
【知识点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，当且仅当 时取到等号，故 ，则 对 恒成立等价于 对 恒成立，即 对 恒成立， ， 在 单增，
则 ，则 。
故答案为：[-3，+∞)。
【分析】利用 结合均值不等式变形求最值的方法，从而得出 ，则 对 恒成立等价于 对 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，得出 ，再利用二次函数的图象的开口方向和对称轴，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最值，从而求出实数m的取值范围。
四、解答题
14．（2021高一上·柳州月考）已知二次函数满足对任意实数x，不等式恒成立.
（1）求的值；
（2）若该二次函数与x轴有两个不同的交点，其横坐标分别为 .
①求a的取值范围；
②证明：为定值.
【答案】（1）解：对任意实数x，不等式恒成立.令得x=1
令x=1，得2≤a+b+c≤2，∴a+b+c=2.
（2）①当a+b+c=2时，，即恒成立，
所以，
所以.
因为二次函数有两个不同的零点，所以，解得
∴a的取值范围为
②由韦达定理得，∴为定值.
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据题意即可得出不等式恒成立，由此计算出x的取值，由特殊值法代入计算出结果即可。
(2) ① 由已知条件即可得出不等式恒成立，结合一元二次方程的简单性质，即可求出，然后由函数零点的定义即可求出a的取值范围。
② 根据题意由韦达定理，计算出结果即可。
15．（2020高一上·沈阳期中）已知 恒成立.
（1）求a的取值范围;
（2）解关于x的不等式 .
【答案】（1）解：当 时, 恒成立，
当 时,要使不等式 对一切 恒成立,则 ,解得 综上,a的取值范围是
（2）解：原不等式可化为 ,当 时,不等式的解为: ,或 当 时,不等式的解为: ，当 时,不等式的解为: ,或 综上,当 时,不等式的解集为: 或 ;当 时,不等式的解集为: ;当 时,不等式的解集为: 或
【知识点】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）当 时，验证成立，当 时，只需满足 成立；（2）原不等式可化为 ，对应方程两根为 ， ，在分 ， ， 三种情况讨论不等式的解集.
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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第三节 不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2021高一上·嘉兴期中）已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021高二上·郑州期中）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·湛江期末）若对于任意的 ， 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·内江期末）已知 ， .且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高一上·宝安期末）已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、多选题
6．（2021高一上·湖北月考）设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
7．（2021高一上·宁波期中）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的可能值是（ ）
A．-4 B．-1 C．0 D．4
8．（2021高一上·浙江期中）已知 ，且 ，关于 的不等式 在 上恒成立，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高一上·龙江期中）已知 ， ，且 ，若 对任意的 ， 恒成立，则实数 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
10．（2022高一下·深圳期中）若两个正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
11．（2021高一上·河南月考）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
12．（2021高一上·徐州期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
13．（2021高二上·南阳期中）正数 ， 满足 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
14．（2021高一上·柳州月考）已知二次函数满足对任意实数x，不等式恒成立.
（1）求的值；
（2）若该二次函数与x轴有两个不同的交点，其横坐标分别为 .
①求a的取值范围；
②证明：为定值.
15．（2020高一上·沈阳期中）已知 恒成立.
（1）求a的取值范围;
（2）解关于x的不等式 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意 在 上恒成立，
，
在区间 上， ，当且仅当 时等号成立，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用 在 上恒成立，得出在区间 上，，再利用不等式恒成立问题求解方法，再结合均值不等式求最值的方法，从而求出实数a的取值范围。
2．【答案】B
【知识点】二次函数的图象；一元二次不等式
【解析】【解答】解：当 时， 对任意实数 都成立， ；
当 时， 不等式 对任意实数 都成立，
，
∴ ，
综上， 的取值范围为 ．
故答案为：B．
【分析】利用已知条件，分 和讨论，再借助于二次函数的图形考虑判别式和开口方向即可求解。
3．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：对于任意的 ， 恒成立，等价于当 时， 恒成立，即 ，
因为 ，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故答案为：B
【分析】 由参数分离和基本不等式的运用求最值，结合不等式恒成立思想，可得所求a的最小值.
4．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为9，故 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数m的取值范围。
5．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 恒成立，只需
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号.所以 .即 的最大值为16.
故答案为：D
【分析】由已知条件即可得出恒成立，只需 ，再整理化简原式，然后由基本不等式求出，由此得到m的取值范围，从而求出m的最大值。
6．【答案】C,D
【知识点】不等式的综合；不等式的基本性质
【解析】【解答】显然，因对任意的不恒成立，
因对任意的，都有恒成立，则当时，，
当时，，必有，若，则，矛盾，若，当时，，矛盾，
因此，，当时，，当时，，
当时，若，则，此时，不符合题意，
因此，，当时，，当时，，
要恒成立，当且仅当，即，而，
从而得或，解得或，
所以或.
故答案为：CD
【分析】根据题意对a和b 分情况讨论，结合不等式的性质即可得出a与b的取值范围，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ， ，且 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以， ，解得 .
故答案为：BCD.
【分析】根据乘“1”法 ，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得关于实数m的不等式，解之可得答案。
8．【答案】A,B,D
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：令 ，
因为关于 的不等式 在 上恒成立，
则 ，即 ，
又 ，所以 ，
如图，作出不等式的可行域，
联立 ，解得 ，即
所以 ，B符合题意；
当 时， 取得最大值，为 ，所以 ，A符合题意；
当 时， 取得最小值，为3，所以 ，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意由已知条件即可得出不等式在 上恒成立，结合线性规划的性质，作出可行域结合线性规划的简单性质求解出代数式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，即 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ， ，即 ，且分母不为0，解得 或 ，选项中满足条件的有ACD．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意即可得到不等式，然后整理化简，然后由基本不等式即可求出，从而得出，求解出m的取值范围，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】[-2，8]
【知识点】一元二次不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：根据题意先求 的最小值，
由x>0 ，y>0，
得
当且仅当又 ，即x=24，时，等号成立，
所以若要不等式 恒成立，
只要，即 ，
解得-2≤m≤8 ，
所以m∈[-2，8] .
故答案为：[-2，8]
【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“1 ”的妙用，求得 ，解不等式即可得解.
11．【答案】m＞-6
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ，不等式 可化为 ，
而当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴实数 的取值范围是m＞-6．
故答案为：m＞-6．
【分析】 ，不等式 可化为 ，利用基本不等式可求得 ，进而求出实数 的取值范围。
12．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，
所以，解得或（舍去），当且仅当时等号成立，
所以，解得．
故答案为：．
【分析】利用基本不等式解不等式求出的最小值，进而求出实数的取值范围 。
13．【答案】[-3，+∞)
【知识点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，当且仅当 时取到等号，故 ，则 对 恒成立等价于 对 恒成立，即 对 恒成立， ， 在 单增，
则 ，则 。
故答案为：[-3，+∞)。
【分析】利用 结合均值不等式变形求最值的方法，从而得出 ，则 对 恒成立等价于 对 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，得出 ，再利用二次函数的图象的开口方向和对称轴，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最值，从而求出实数m的取值范围。
14．【答案】（1）解：对任意实数x，不等式恒成立.令得x=1
令x=1，得2≤a+b+c≤2，∴a+b+c=2.
（2）①当a+b+c=2时，，即恒成立，
所以，
所以.
因为二次函数有两个不同的零点，所以，解得
∴a的取值范围为
②由韦达定理得，∴为定值.
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式与一元二次方程；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】(1)根据题意即可得出不等式恒成立，由此计算出x的取值，由特殊值法代入计算出结果即可。
(2) ① 由已知条件即可得出不等式恒成立，结合一元二次方程的简单性质，即可求出，然后由函数零点的定义即可求出a的取值范围。
② 根据题意由韦达定理，计算出结果即可。
15．【答案】（1）解：当 时, 恒成立，
当 时,要使不等式 对一切 恒成立,则 ,解得 综上,a的取值范围是
（2）解：原不等式可化为 ,当 时,不等式的解为: ,或 当 时,不等式的解为: ，当 时,不等式的解为: ,或 综上,当 时,不等式的解集为: 或 ;当 时,不等式的解集为: ;当 时,不等式的解集为: 或
【知识点】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）当 时，验证成立，当 时，只需满足 成立；（2）原不等式可化为 ，对应方程两根为 ， ，在分 ， ， 三种情况讨论不等式的解集.
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