高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第三节 不等式的能成立问题

高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 第三节 不等式的能成立问题
一、单选题
1．（2020高二上·宁县期中）若 ，使得 成立，则实数 的最大值为（　　）
A． B．2 C．1 D．0
2．（2020高二上·莆田月考） x∈ ，使得ax2－2x＋1>0 成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
3．（2020高一上·长春期中）存在 ，使得关于 的不等式 有解，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2018高一上·营口期中）若存在x＞1使 成立，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2018高二上·辽宁期中）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2016高一下·普宁期中）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞）
C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
二、多选题
7．（2021高一上·淮安期中）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（　　）
A．0 B．1 C． D．
8．（2020高一上·张家口期中）函数 的最大值为 ，若 ，使得 成立，则满足条件的正整数 可能是（　　）
A．4 B．1 C．2 D．3
三、填空题
9．（2018高一下·泸州期末）已知函数 ， ，对任意的 都存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是　 　．
四、解答题
10．（2020高一上·铜山期中）已知命题 ：任意 成立；命题 ：存在 成立.
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围.
11．（2020高一上·滁州期末）设命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题 存在 ，使得不等式 成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题 有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
12．（2020高一上·镇江月考）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ， + 成立.
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
13．（2020高二上·赣县月考）已知 ，命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题 存在 ，使得 成立.
（1）若 为真命题，求 的取值范围；
（2）若 为假， 为真，求 的取值范围.
14．（2020高一上·芜湖期中）已知： 对 ，不等式 恒成立； ，使不等式 成立，若 是真命题， 是假命题，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
若 ，使得 成立，则 ，
.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求出的最大值从而即可求出a的最大值。
2．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题可知 x∈ ，使得 成立，即 成立，
令 ，则 ，
，
则当 ，即 时， 取得最小值为-3，
.
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合分离参数的方法即可得出，令整理化简由二次函数的图象和性质即可求出函数的最小值，从而得出a的取值范围。
3．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 有解，可得
因为 时，
所以
故答案为：C
【分析】由 有解，可得 ，然后求出右边的范围即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】当 时，不等式左边为 ，由于 ，所以 ，所以不符合题意，排除 两个选项.同理，当 时，不等式左边为 ， ，所以 ，所以不符合题意，排除 选项，
故答案为： .
【分析】分析当时，根据不等式可得 ，故A,B不正确，当时，根据不等式得，则C不正确，由此可得D正确。
5．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题得 ，
因为 ，
所以当 时，函数 取到最小值
故答案为：A
【分析】首先整理化简原式得出关于的一元二次方程，然后由 的取值范围得出的取值范围，再由一元二次方程在指定区间上的最值情况即可得出a的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以 ，
函数y= 是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，
所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．
故选：D．
【分析】转化不等式为 ，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．
7．【答案】A,B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】由题意，不等式恒成立，
所以，．
故答案为：ABC．
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程的关系，即可得出关于的不等式，求解出的取值范围，把数值代入验证即可得出答案。
8．【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ，当 时， ，所以 ，所以 的最大值是2，即 ，若 ，使得 成立，即 时， 能成立， ， ， ，即 ，满足条件的是BC.
故答案为：BC
【分析】根据题意整理化简函数的解析式，然后由基本不等式求出函数的最大值，再由一元二次方程的性质求出二次函数的最值，由此即可求出m和n的取值范围从而得到n的取值。
9．【答案】
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】 函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
时， 的最小值为 ，最大值为 ，
的值域为 .
为一次项系数为正的一次函数，在 上单调递增，
时， 的最小值为 ，最大值为 ，
的值域为 .
对任意的 都存在 ，使得 ，
在区间 上，函数 的值域为 值域的子集，
解得
故答案为 .
【分析】将不等式恒成立进行转化，求出函数的最值，解不等式组，即可求出实数a的取值范围.
10．【答案】（1）解：若命题 为真命题，则 ，解得 ，
故实数 的取值范围
（2）解：若命题 为真命题，则 ，解得 或
∵命题 中恰有一个为真命题，
∴命题 一真一假
①当 真 假时， ，解得：
②当 假 真时， ，解得： 或 .
综上，实数 的取值范围 .
【知识点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）只需 ，然后求解 的取值范围；（2）分 真 假、 假 真两种情况讨论求解.
11．【答案】（1）解：对任意 ，不等式 恒成立，
即 .
，当 时， 取到最小值 ，
，所以p为真时，实数m的取值范围是 .
（2）解：命题 存在 ，使得不等式 成立，
只需 ，而 ，所以当 时， 取到最大值 ，
即命题q为真时，实数m的取值范围是 ，
依题意命题 一真一假，
若p为假命题，q为真命题，则 ，得 ；
若q为假命题，p为真命题，则 ，得 ，
综上， 或 .
【知识点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出不等式恒成立即，结合二次函数的性质即可求出函数的最小值，由此得到关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
(2)根据题意结合已知条件即可得到 存在 ，使得不等式 成立，只需 ，由二次函数的性质即可得到函数的最大值，当命题q为真命题由此得到m的取值范围，结合题意由命题的真假即可得到关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
12．【答案】（1）由q真： ，得 或 ，
所以q假： ；
（2）p真 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
或 ，
或 或 .
【知识点】复合命题的真假；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，即可得出关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
(2)根据题意由 和 有且只有一个为真命题 ，即可得出 真 假，或 假 真， 由此得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
13．【答案】（1）解：对任意 ，不等式 恒成立，
当 ，由对数函数的性质可知当 时， 的最小值为 ，
，解得 .
因此，若 为真命题时， 的取值范围是 .
（2）解：存在 ，使得 成立， .
命题 为真时， ，
且 为假， 或 为真，
， 中一个是真命题，一个是假命题.
当 真 假时，则 解得 ；
当 假 真时， ，即 .
综上所述， 的取值范围为 .
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)首先由题意结合对数函数的性质即可得出关于m的一元二次不等式，求解出m的取值范围即可得出 若 为真命题时， 的取值范围 。
(2) 首先根据题意求出命题 为真时， 的取值范围，再由复合命题的真假分情况讨论即可得到m的取值范围，再把两种情况的m的取值范围并起来即可得到答案。
14．【答案】解：若 为真命题，∵ ，∴ ，
∵ ，不等式 恒成立，
可得 ，∴ 或 ，
故命题 为真命题时， 或
若 为真命题，即 ，使不等式 成立，
∴ ，∴ 或 ，
从而 为假命题时， ，
∴ 为真命题， 为假命题时， 的取值范围为
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；函数的值域；一元二次方程的解集
【解析】【分析】根据题意分析当 为真命题 时，结合二次函数的性质求出当时，进而可知恒成立时即，利用一元二次不等式的解法求出a的取值范围；当 为真命题 时，结合二次函数图象以及根的情况得到关于a的不等式求解出a的取值范围从而也得到当 为假命题时 ，a的取值范围；然后由复合命题的真假判断即可得出结果。
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一、单选题
1．（2020高二上·宁县期中）若 ，使得 成立，则实数 的最大值为（　　）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】可得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
若 ，使得 成立，则 ，
.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求出的最大值从而即可求出a的最大值。
2．（2020高二上·莆田月考） x∈ ，使得ax2－2x＋1>0 成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题可知 x∈ ，使得 成立，即 成立，
令 ，则 ，
，
则当 ，即 时， 取得最小值为-3，
.
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合分离参数的方法即可得出，令整理化简由二次函数的图象和性质即可求出函数的最小值，从而得出a的取值范围。
3．（2020高一上·长春期中）存在 ，使得关于 的不等式 有解，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 有解，可得
因为 时，
所以
故答案为：C
【分析】由 有解，可得 ，然后求出右边的范围即可得到答案。
4．（2018高一上·营口期中）若存在x＞1使 成立，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】当 时，不等式左边为 ，由于 ，所以 ，所以不符合题意，排除 两个选项.同理，当 时，不等式左边为 ， ，所以 ，所以不符合题意，排除 选项，
故答案为： .
【分析】分析当时，根据不等式可得 ，故A,B不正确，当时，根据不等式得，则C不正确，由此可得D正确。
5．（2018高二上·辽宁期中）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题得 ，
因为 ，
所以当 时，函数 取到最小值
故答案为：A
【分析】首先整理化简原式得出关于的一元二次方程，然后由 的取值范围得出的取值范围，再由一元二次方程在指定区间上的最值情况即可得出a的取值范围。
6．（2016高一下·普宁期中）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞）
C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以 ，
函数y= 是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，
所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．
故选：D．
【分析】转化不等式为 ，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．
二、多选题
7．（2021高一上·淮安期中）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】由题意，不等式恒成立，
所以，．
故答案为：ABC．
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程的关系，即可得出关于的不等式，求解出的取值范围，把数值代入验证即可得出答案。
8．（2020高一上·张家口期中）函数 的最大值为 ，若 ，使得 成立，则满足条件的正整数 可能是（　　）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】 ，当 时， ，所以 ，所以 的最大值是2，即 ，若 ，使得 成立，即 时， 能成立， ， ， ，即 ，满足条件的是BC.
故答案为：BC
【分析】根据题意整理化简函数的解析式，然后由基本不等式求出函数的最大值，再由一元二次方程的性质求出二次函数的最值，由此即可求出m和n的取值范围从而得到n的取值。
三、填空题
9．（2018高一下·泸州期末）已知函数 ， ，对任意的 都存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】 函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
时， 的最小值为 ，最大值为 ，
的值域为 .
为一次项系数为正的一次函数，在 上单调递增，
时， 的最小值为 ，最大值为 ，
的值域为 .
对任意的 都存在 ，使得 ，
在区间 上，函数 的值域为 值域的子集，
解得
故答案为 .
【分析】将不等式恒成立进行转化，求出函数的最值，解不等式组，即可求出实数a的取值范围.
四、解答题
10．（2020高一上·铜山期中）已知命题 ：任意 成立；命题 ：存在 成立.
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：若命题 为真命题，则 ，解得 ，
故实数 的取值范围
（2）解：若命题 为真命题，则 ，解得 或
∵命题 中恰有一个为真命题，
∴命题 一真一假
①当 真 假时， ，解得：
②当 假 真时， ，解得： 或 .
综上，实数 的取值范围 .
【知识点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）只需 ，然后求解 的取值范围；（2）分 真 假、 假 真两种情况讨论求解.
11．（2020高一上·滁州期末）设命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题 存在 ，使得不等式 成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题 有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：对任意 ，不等式 恒成立，
即 .
，当 时， 取到最小值 ，
，所以p为真时，实数m的取值范围是 .
（2）解：命题 存在 ，使得不等式 成立，
只需 ，而 ，所以当 时， 取到最大值 ，
即命题q为真时，实数m的取值范围是 ，
依题意命题 一真一假，
若p为假命题，q为真命题，则 ，得 ；
若q为假命题，p为真命题，则 ，得 ，
综上， 或 .
【知识点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】(1)由已知条件即可得出不等式恒成立即，结合二次函数的性质即可求出函数的最小值，由此得到关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
(2)根据题意结合已知条件即可得到 存在 ，使得不等式 成立，只需 ，由二次函数的性质即可得到函数的最大值，当命题q为真命题由此得到m的取值范围，结合题意由命题的真假即可得到关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
12．（2020高一上·镇江月考）命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ， + 成立.
（1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】（1）由q真： ，得 或 ，
所以q假： ；
（2）p真 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
或 ，
或 或 .
【知识点】复合命题的真假；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，即可得出关于m的不等式求解出m的取值范围即可。
(2)根据题意由 和 有且只有一个为真命题 ，即可得出 真 假，或 假 真， 由此得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围即可。
13．（2020高二上·赣县月考）已知 ，命题 对任意 ，不等式 恒成立；命题 存在 ，使得 成立.
（1）若 为真命题，求 的取值范围；
（2）若 为假， 为真，求 的取值范围.
【答案】（1）解：对任意 ，不等式 恒成立，
当 ，由对数函数的性质可知当 时， 的最小值为 ，
，解得 .
因此，若 为真命题时， 的取值范围是 .
（2）解：存在 ，使得 成立， .
命题 为真时， ，
且 为假， 或 为真，
， 中一个是真命题，一个是假命题.
当 真 假时，则 解得 ；
当 假 真时， ，即 .
综上所述， 的取值范围为 .
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】(1)首先由题意结合对数函数的性质即可得出关于m的一元二次不等式，求解出m的取值范围即可得出 若 为真命题时， 的取值范围 。
(2) 首先根据题意求出命题 为真时， 的取值范围，再由复合命题的真假分情况讨论即可得到m的取值范围，再把两种情况的m的取值范围并起来即可得到答案。
14．（2020高一上·芜湖期中）已知： 对 ，不等式 恒成立； ，使不等式 成立，若 是真命题， 是假命题，求 的取值范围．
【答案】解：若 为真命题，∵ ，∴ ，
∵ ，不等式 恒成立，
可得 ，∴ 或 ，
故命题 为真命题时， 或
若 为真命题，即 ，使不等式 成立，
∴ ，∴ 或 ，
从而 为假命题时， ，
∴ 为真命题， 为假命题时， 的取值范围为
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；函数的值域；一元二次方程的解集
【解析】【分析】根据题意分析当 为真命题 时，结合二次函数的性质求出当时，进而可知恒成立时即，利用一元二次不等式的解法求出a的取值范围；当 为真命题 时，结合二次函数图象以及根的情况得到关于a的不等式求解出a的取值范围从而也得到当 为假命题时 ，a的取值范围；然后由复合命题的真假判断即可得出结果。
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